Всем привет! Разбираем задачу со стены №15 — первую задачу с первой виртуальной международной олимпиады по математике!

https://m.vk.com/@olympgeom-razbor-zadachi-so-steny-15

№19. Всем привет! В третьем туре Гранд-лиги Южного математического турнира этого года предлагалась такая геометрия. Доказать, что пунктирная прямая проходит через фиксированную точку. Не сложно, но вполне себе задача.

По-моему, очень круто!

нет времени объяснять, смотрите, какая у меня модель икосаэдра!

#картинка

Готовлю текст про гармонические четырехугольники. Гифка из него.

Всем привет! Предлагаю вам хитрое решение задачи 16. Хитрое, потому что задача становится сильно проще после вполне неожиданного обобщения. Внутри обобщение, гифка и простое решение.
https://m.vk.com/@olympgeom-hitroe-reshenie-zadachi-16

№20. Предлагаю вам сегодня посмотреть на третью задачу с Brazilian Olympic Revenge 2020. Наверняка это очень известный факт, но мне он в таком виде раньше не встречался. Прямая, проходящая через основания биссектрис внутренних углов треугольника, пересекает описанную окружность в точках касания общих внешних касательный к описанной и вневписанной окружностям.

№21. Всем привет! Сегодня предлагаю вам посмотреть на задачу, которая была первой в среднем (Intermediate) и продвинутом (Advanced) варианте Иранской олимпиады по геометрии, прошедшей 31-го октября 2020 года. Я ее слегка переформулировал, чтобы было проще увидеть все на картинке. Требуется доказать, что пунктирные красные отрезки равны.

№22. Еще одна задача с иранской олимпиады по геометрии, прошедшей неделю назад. Вторая на продвинутом уровне.

Точка Q симметрична вершине A относительно середины дуги BAC. Точка R — проекция вершины A на прямую IQ (I — центр вписанной окружности треугольника). Точка P такова, что ABPC является параллелограммом. Тогда окружность, описанная около треугольника PQR, касается прямой AI.

Всем привет! Наконец-то на канале выходит воскресная статья. Сегодня несложный текст про гармонические четырехугольники.

https://m.vk.com/@olympgeom-pro-garmonicheskie-chetyrehugolniki

№ 23. По мотивам чужого вопроса придумал прикольную задачку. Объявляю конкурс на самое изящное решение!

Зеленые треугольники — равные равносторонние. Доказать, что коричневый треугольник — равносторонний.

Всем привет! Гифка по вторникам: теорема Дроз-Фарни.

Пытливый наблюдатель спросит, а что же за кривую огибает пунктирная красная прямая из теоремы Дроз-Фарни? А огибает она в случае остроугольного треугольника вписанный эллипс с фокусами в ортоцентре и центре описанной окружности треугольника.

№ 24. Ибероамериканская математическая олимпиада 2020 в эти дни проходит онлайн. Первый день, первая задача.

На средней линии MN треугольника ABC выбраны так точки P и Q, что углы равны (см. рисунок). Окружность AQC повторно пересекает AB в точке E, а окружность APB пересекает AC в точке D. Докажите, что прямые DP и QE пересекаются на BC.

№ 25. Ибероамериканская математическая олимпиада 2020 в эти дни проходит онлайн. Второй день, шестая задача. Довольно симпатичная...

На отрезке HO, соединяющем ортоцентр треугольника ABC с его центром описанной окружности, выбрана точка P. Окружность с радиусом PA пересекает прямые AB и AC в точках R и S. Точка Q симметрична точке P относительно серединного перпендикуляра к BC. Докажите, что точки P, Q, R и S лежат на одной окружности.

№26. Всем привет! 14-го ноября прошло традиционное осеннее командное мероприятие Baltic Way. В этом году, судя по всему, питерская команда не участвовала, и победила команда из Германии. На Baltic Way обычно командам предлагается 20 задач, пять из которых по геометрии. Мне задачи этого соревнования нравятся простотой и изяществом — они вполне подходят тем, кто только начинает свой путь в геометрии. Предлагаю вам посмотреть на несколько из задач этого года.

Вот первая из них: AD — биссектриса треугольника ABC. На отрезках BD и DC построены окружности как на диаметрах, они пересекают описанную окружность треугольника в точках P и Q. Прямые PQ и BC пересекаются в точке X. Доказать, что AX касается описанной окружности.

№ 27. Вторая из геометрических задач прошедшего Baltic Way.

Условие на картинке. Требуется доказать, что точки K и L равноудалены от середины дуги BAC.

№28. Третья геометрическая задача с BalticWay-2020.

Точки X и Y — проекции вершины B на касательную к описанной окружности треугольника ABC в точке A и на прямую AC. H — ортоцентр треугольника BXY. CH пересекает AX в точке D. Докажите, что BA — биссектриса угла DBC.

№28. Четвертая геометрическая задача с BalticWay-2020. Довольно унылая, если честно...

H — ортоцентр треугольника ABC. Окружность с диаметром AH пересекает окружность, описанную около треугольника BHC повторно в точке X. Красные окружности симметричны относительно AX — с помощью второй красной окружности определяется точка Y. Доказать, что точки A, Y, середина BC и точка, симметричная A относительно BC, лежат на одной окружности.

Немного не про геометрию и не про питерскую олимпиаду. У Сириуса, наконец, запустилась алгебра для 7-го класса в исполнении Александра Савельевича Штерна и Павла Витальевича Бибикова. Это очень круто, я очень рад, не все ж геометрией баловаться. Надеюсь, скоро и алгебра для более старших классов подтянется.

ссылка на курс: https://edu.sirius.online/#/course/214

ссылка на новость: https://sochisirius.ru/news/4038

№ 29. Летом проходила олимпиада для франкоговорящих математиков. Было две лиги: юниоры и сеньоры. В старшей лиге была довольно симпатичная задача. Условие можно осознать из картинки. Но для тех, кто любит читать по-французски, условие приведу в комментариях.