Uchburchak va Uning Bissektrisalari.
Uchburchak va uning 3 ta bissektrisasi haqida ikkita mashhur masala bor.
Ko'pincha shu ikkalasini chalkashtirish holatlari bo'ladi, o'zimda ham bo'lgan.
Bu postda shunga aniqlik kiritamiz.
Matematik bo'lmaganlar uchun oxirida Bonus ham bor.
Birinchisi masala:
Uchburchakning 3 ta bissektrisasi(uzunliklari) berilgan bo'lsa, shu uchburchakni yasash mumkinmi?
(Yasash deganda, chizg'ich va sirkul yordamida yasash nazarda tutilmoqda).
Javob: Umumiy holatda mumkin emas.
1903-yilda Richard Philip Bakerning Chikago universitetida yozgan "The Problem of the Angle-Bisectors" nomli tezisida bu isbotlangan.
Link:
https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=AAN3028.0001.001;didno=AAN3028.0001.001;view=pdf;seq=00000004
Ikkinchi masala:
3 ta ixtiyoriy musbat m, n, p haqiqiy sonlar berilgan bo'lsin, bissektrisalarining usuzliklari m, n, p bo'lgan uchburchak mavjudmi?
Javob: HA MAVJUD, va bunday uchburchak yagona(up to isometry).
Natija: Agar ikkita uchburchakning mos bissektrisalari teng bo'lsa bu uchburchaklar ham teng(up to isometry).
Isbotni qisqacha g'oyasi:
Hamma biladigan bissektrisa uzunligini tomonlar uzunliklari orqali topish formulasidan foydalanib, 3 o'lchamli fazoni 3 o'lchamli fazoga o'tkazadigan funksiya hosil qilingan.
Keyin bu funksiya qaysidir qavariq kompakt to'plamni o'zini o'ziga o'tkazishi va uzluksizligi ko'rsatilgan.
Va sezganingizdek bunday funksiyalar Brouwer fixed-point teoremasiga ko'ra fiksirlangan nuqtaga ega(F(x)=x).
Va bu funksiyani fiksirlangan nuqtasi yagona ekanligi isbotni yakunlab bergan.
The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths
Petru Mironescu and Laurentiu Panaitopol
The American Mathematical Monthly
Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 58-60 (3 pages)
Published By: Taylor & Francis, Ltd.
Qiziqqanlar uchun maqola linki
Link:
https://www.jstor.org/stable/2325126
Bonus.
Fiksirlangan nuqtalar haqidagi bir nechta teoremalar bor.
Shulardan birining chiroyli natijasini ko'ramiz.
Bir mamlakatning oddiy xaritasini olaylik va bu xarita o‘sha mamlakat ichida tekis stol ustiga qo‘yilgan deb tasavvur qilaylik. Har doim xaritada mamlakatdagi aynan o‘sha nuqtaga to‘g‘ri keladigan bir "Siz shu yerda turibsiz" nuqtasi mavjud bo‘ladi.
Yanayam aniqrog'i, xaritada shunday yagona nuqta borki bu nuqta o'zi aniqlab kelayotgan(mamlakatdagi) nuqtaning aynan ustida turgan bo'ladi.
Chunki mamlakatni kichkina qo'gozga akslantirayotgan funksiya qandaydir masshtabga ega bo'ladi va bu xossa Banach fixed-point teoremasini qo'llashga yetarli.
@nodiribnmuzaffar
Uchburchak va uning 3 ta bissektrisasi haqida ikkita mashhur masala bor.
Ko'pincha shu ikkalasini chalkashtirish holatlari bo'ladi, o'zimda ham bo'lgan.
Bu postda shunga aniqlik kiritamiz.
Matematik bo'lmaganlar uchun oxirida Bonus ham bor.
Birinchisi masala:
Uchburchakning 3 ta bissektrisasi(uzunliklari) berilgan bo'lsa, shu uchburchakni yasash mumkinmi?
(Yasash deganda, chizg'ich va sirkul yordamida yasash nazarda tutilmoqda).
Javob: Umumiy holatda mumkin emas.
1903-yilda Richard Philip Bakerning Chikago universitetida yozgan "The Problem of the Angle-Bisectors" nomli tezisida bu isbotlangan.
Link:
https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=AAN3028.0001.001;didno=AAN3028.0001.001;view=pdf;seq=00000004
Ikkinchi masala:
3 ta ixtiyoriy musbat m, n, p haqiqiy sonlar berilgan bo'lsin, bissektrisalarining usuzliklari m, n, p bo'lgan uchburchak mavjudmi?
Javob: HA MAVJUD, va bunday uchburchak yagona(up to isometry).
Natija: Agar ikkita uchburchakning mos bissektrisalari teng bo'lsa bu uchburchaklar ham teng(up to isometry).
Isbotni qisqacha g'oyasi:
Hamma biladigan bissektrisa uzunligini tomonlar uzunliklari orqali topish formulasidan foydalanib, 3 o'lchamli fazoni 3 o'lchamli fazoga o'tkazadigan funksiya hosil qilingan.
Keyin bu funksiya qaysidir qavariq kompakt to'plamni o'zini o'ziga o'tkazishi va uzluksizligi ko'rsatilgan.
Va sezganingizdek bunday funksiyalar Brouwer fixed-point teoremasiga ko'ra fiksirlangan nuqtaga ega(F(x)=x).
Va bu funksiyani fiksirlangan nuqtasi yagona ekanligi isbotni yakunlab bergan.
The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths
Petru Mironescu and Laurentiu Panaitopol
The American Mathematical Monthly
Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 58-60 (3 pages)
Published By: Taylor & Francis, Ltd.
Qiziqqanlar uchun maqola linki
Link:
https://www.jstor.org/stable/2325126
Bonus.
Fiksirlangan nuqtalar haqidagi bir nechta teoremalar bor.
Shulardan birining chiroyli natijasini ko'ramiz.
Bir mamlakatning oddiy xaritasini olaylik va bu xarita o‘sha mamlakat ichida tekis stol ustiga qo‘yilgan deb tasavvur qilaylik. Har doim xaritada mamlakatdagi aynan o‘sha nuqtaga to‘g‘ri keladigan bir "Siz shu yerda turibsiz" nuqtasi mavjud bo‘ladi.
Yanayam aniqrog'i, xaritada shunday yagona nuqta borki bu nuqta o'zi aniqlab kelayotgan(mamlakatdagi) nuqtaning aynan ustida turgan bo'ladi.
Chunki mamlakatni kichkina qo'gozga akslantirayotgan funksiya qandaydir masshtabga ega bo'ladi va bu xossa Banach fixed-point teoremasini qo'llashga yetarli.
@nodiribnmuzaffar
Nodirbek Gafforov
Uchburchak va Uning Bissektrisalari. Uchburchak va uning 3 ta bissektrisasi haqida ikkita mashhur masala bor. Ko'pincha shu ikkalasini chalkashtirish holatlari bo'ladi, o'zimda ham bo'lgan. Bu postda shunga aniqlik kiritamiz. Matematik bo'lmaganlar uchun…
You are here.
Misollar.
Eslatib o'taman bundan oldingi postda xarita o'zi ifodalab kelayotgan hudud ichining istalgan joyida turgan bo'lsa ham "You are here" deb yoza oladigan yagona nuqta bor ekanligining matematik isbotini ko'rgan edik.
@nodiribnmuzaffar
Misollar.
Eslatib o'taman bundan oldingi postda xarita o'zi ifodalab kelayotgan hudud ichining istalgan joyida turgan bo'lsa ham "You are here" deb yoza oladigan yagona nuqta bor ekanligining matematik isbotini ko'rgan edik.
@nodiribnmuzaffar
Proof without words.
Manba:
Mathematics Magazine, Vol. 65, No. 2 (Apr., 1992), p. 103.
Ptolomey teoremasi. Agar to'rtburchakka tashqi aylana chizish mumkin bo'lsa bu to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisi diagonallari ko'paytmasiga teng.
@nodiribnmuzaffar
Manba:
Mathematics Magazine, Vol. 65, No. 2 (Apr., 1992), p. 103.
Ptolomey teoremasi. Agar to'rtburchakka tashqi aylana chizish mumkin bo'lsa bu to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisi diagonallari ko'paytmasiga teng.
@nodiribnmuzaffar
Some fine spots of Singapore.
Aytkancha, Singapur rasman mustaqillikka erishganiga bugun 60 yil bo'libdi.
@nodiribnmuzaffar
Aytkancha, Singapur rasman mustaqillikka erishganiga bugun 60 yil bo'libdi.
@nodiribnmuzaffar
1
Sharlar haqida boshqotirma.
Doktorning ikkita radiuslari 1 va 2 bo'lgan shar shaklidagi idishlari bor edi(rasmga qarang).
U hamrohlariga aytdi:
"Yana shunday ikkita radiuslari ratsional bo'lgan sharlar topingki u sharlarning hajmlari yig'indisi mendagi sharlarning hajmlari yig'indisiga teng bo'lsin, ammo 1 va 2dan farqli bo'lsin."
Oldindan aytib o'tay, bu boshqotirmani javobi judayam murakkab ko'rinishda, ammo usulini bilib olsangiz va erinmasdan hisob-kitob qilsangiz chiqadi.
Buni siz bilan bo'lishishdan asosiy maqsad faqat javobini topish emas balki masalani ishlash usuli bilan sizni tanishtirish.
O'sha usulni topishga urunib ko'ring.
Hint: Algebra va Geometriyadan foydalaning, ya'ni Algebraik Geometriyadan(ammo hech qanday murakkab teorema yoki natija kerak bo'lmaydi).
@nodiribnmuzaffar
Doktorning ikkita radiuslari 1 va 2 bo'lgan shar shaklidagi idishlari bor edi(rasmga qarang).
U hamrohlariga aytdi:
"Yana shunday ikkita radiuslari ratsional bo'lgan sharlar topingki u sharlarning hajmlari yig'indisi mendagi sharlarning hajmlari yig'indisiga teng bo'lsin, ammo 1 va 2dan farqli bo'lsin."
Oldindan aytib o'tay, bu boshqotirmani javobi judayam murakkab ko'rinishda, ammo usulini bilib olsangiz va erinmasdan hisob-kitob qilsangiz chiqadi.
Buni siz bilan bo'lishishdan asosiy maqsad faqat javobini topish emas balki masalani ishlash usuli bilan sizni tanishtirish.
O'sha usulni topishga urunib ko'ring.
Hint: Algebra va Geometriyadan foydalaning, ya'ni Algebraik Geometriyadan(ammo hech qanday murakkab teorema yoki natija kerak bo'lmaydi).
@nodiribnmuzaffar
Sharlar_haqida_boshqotirma.pdf
271.2 KB
Asosiy g'oya x^3+y^3=9ni grafigini chizish va bu grafikka (1,2) nuqtada urinma o'tkazish, shunda bu urinma grafikni uchinchi nuqtada kesib o'tadi, bu nuqtaning ham koordinatalari ratsional, chunki koeffitsientlari ratsional bo'lgan kubik tenglamaning ikkita ildizi ratsional bo'lsa uchinchisi ham ratsional bo'ladi.
Agar bunda ham maqsadga yetilmasa, ikkita koordinatalari ratsional bo'lgan va grafga tegishli bo'lgan nuqtalar orqali to'gri chiziq o'tkazish, agar bu chiziq grafni uchinchi nuqtada kesib o'tsa bu nuqtaning ham koordinatalari ratsional bo'ladi. Va hokazo. Batafsil faylda.
Bu masalani ChatGPT bilan hamkorlikda ishladim, ya'ni men unga nima qilish kerakligi aytib turdim u hisob-kitoblarni bajarib turdi va oxirida men kutgan javob chiqib keldi.
Ammo AI chatbotning o'zi x^3+y^3=9 tenglamani (1,2) va (2,1)dan boshqa koordinatalari ratsional va musbat bo'lgan bironta yechimini topa olmadi.
@nodiribnmuzaffar
Agar bunda ham maqsadga yetilmasa, ikkita koordinatalari ratsional bo'lgan va grafga tegishli bo'lgan nuqtalar orqali to'gri chiziq o'tkazish, agar bu chiziq grafni uchinchi nuqtada kesib o'tsa bu nuqtaning ham koordinatalari ratsional bo'ladi. Va hokazo. Batafsil faylda.
Bu masalani ChatGPT bilan hamkorlikda ishladim, ya'ni men unga nima qilish kerakligi aytib turdim u hisob-kitoblarni bajarib turdi va oxirida men kutgan javob chiqib keldi.
Ammo AI chatbotning o'zi x^3+y^3=9 tenglamani (1,2) va (2,1)dan boshqa koordinatalari ratsional va musbat bo'lgan bironta yechimini topa olmadi.
@nodiribnmuzaffar
Kanaldagi postlar va ma'lumotlar qaysi tilda bo'lgani sizga ma'qul?
(Ikkalasini ham tanlash imkoni bor).
(Ikkalasini ham tanlash imkoni bor).
Anonymous Poll
85%
O'zbek
51%
Ingliz