Uchburchak va Uning Bissektrisalari.


Uchburchak va uning 3 ta bissektrisasi haqida ikkita mashhur masala bor.
Ko'pincha shu ikkalasini chalkashtirish holatlari bo'ladi, o'zimda ham bo'lgan.
Bu postda shunga aniqlik kiritamiz.
Matematik bo'lmaganlar uchun oxirida Bonus ham bor.


Birinchisi masala:
Uchburchakning 3 ta bissektrisasi(uzunliklari) berilgan bo'lsa, shu uchburchakni yasash mumkinmi?
(Yasash deganda, chizg'ich va sirkul yordamida yasash nazarda tutilmoqda).

Javob: Umumiy holatda mumkin emas.
1903-yilda Richard Philip Bakerning Chikago universitetida yozgan "The Problem of the Angle-Bisectors" nomli tezisida bu isbotlangan.

Link:
https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=AAN3028.0001.001;didno=AAN3028.0001.001;view=pdf;seq=00000004


Ikkinchi masala:
3 ta ixtiyoriy musbat m, n, p haqiqiy sonlar berilgan bo'lsin, bissektrisalarining usuzliklari m, n, p bo'lgan uchburchak mavjudmi?

Javob: HA MAVJUD, va bunday uchburchak yagona(up to isometry).

Natija: Agar ikkita uchburchakning mos bissektrisalari teng bo'lsa bu uchburchaklar ham teng(up to isometry).

Isbotni qisqacha g'oyasi:
Hamma biladigan bissektrisa uzunligini tomonlar uzunliklari orqali topish formulasidan foydalanib, 3 o'lchamli fazoni 3 o'lchamli fazoga o'tkazadigan funksiya hosil qilingan.
Keyin bu funksiya qaysidir qavariq kompakt to'plamni o'zini o'ziga o'tkazishi va uzluksizligi ko'rsatilgan.
Va sezganingizdek bunday funksiyalar Brouwer fixed-point teoremasiga ko'ra fiksirlangan nuqtaga ega(F(x)=x).
Va bu funksiyani fiksirlangan nuqtasi yagona ekanligi isbotni yakunlab bergan.

The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths
Petru Mironescu and Laurentiu Panaitopol

The American Mathematical Monthly
Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 58-60 (3 pages)
Published By: Taylor & Francis, Ltd.

Qiziqqanlar uchun maqola linki
Link:
https://www.jstor.org/stable/2325126


Bonus.
Fiksirlangan nuqtalar haqidagi bir nechta teoremalar bor.
Shulardan birining chiroyli natijasini ko'ramiz.

Bir mamlakatning oddiy xaritasini olaylik va bu xarita o‘sha mamlakat ichida tekis stol ustiga qo‘yilgan deb tasavvur qilaylik. Har doim xaritada mamlakatdagi aynan o‘sha nuqtaga to‘g‘ri keladigan bir "Siz shu yerda turibsiz" nuqtasi mavjud bo‘ladi.

Yanayam aniqrog'i, xaritada shunday yagona nuqta borki bu nuqta o'zi aniqlab kelayotgan(mamlakatdagi) nuqtaning aynan ustida turgan bo'ladi.
Chunki mamlakatni kichkina qo'gozga akslantirayotgan funksiya qandaydir masshtabga ega bo'ladi va bu xossa Banach fixed-point teoremasini qo'llashga yetarli.


@nodiribnmuzaffar

Proof without words.


Manba:
Mathematics Magazine, Vol. 65, No. 2 (Apr., 1992), p. 103.

Ptolomey teoremasi. Agar to'rtburchakka tashqi aylana chizish mumkin bo'lsa bu to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisi diagonallari ko'paytmasiga teng.

@nodiribnmuzaffar