Кто здесь

Привет. Это канал о преподавании математики, о том, как объяснять и строить подготовку так, чтобы у ученика появлялось понимание, а не набор выученных алгоритмов. Я хочу собрать тут комьюнити преподавателей, которым важно научить детей думать в широком смысле этого слова.

Детство моё прошло в среде учителей. Прабабушка преподавала русский и литературу, бабушка физику с математикой, мама английский. Похоже, что-то там передаётся по материнской линии. Окончила физфак МГУ, сейчас аспирантка в лаборатории квантовых кооперативных явлений. Физфак приучает к простой вещи. Просто помнить формулу бесполезно, нужно уметь её вывести и понимать, где и почему она перестаёт работать. На этой привычке держится практически всё, что я делаю на уроках.

Преподаю с 2019 года, и опыт за это время был разный. Проводила физические практикумы на факультете, вела частные уроки и небольшие группы по математике, дважды приходили учителя на консультации по второй части профиля. Сейчас работаю в небольшой онлайн-школе с группами и веду своих учеников. Сама писала профиль на 99, поэтому со второй частью работаю с большим кайфом.

Здесь будут разборы методических вопросов, наблюдения из практики и тексты о том, что порой упускается из виду, но кажется мне крайне важным в преподавании математики. Чего здесь точно не будет, так это обещаний ста баллов за месяц, и пяти секретов успешного репетитора.

Ещё я делаю INFMT, платформу для преподавателей математики. Это инструмент для того, кто ведёт уроки сам, а не готовый курс для ученика, и нужен он в основном затем, чтобы не собирать материалы к занятиям вручную. Сейчас там первая часть профиля, дальше будет больше. Подробности тут.

Кто подписался, тому спасибо и респект. До связи

Как ЕГЭ отучает учителей думать. Часть 1

Есть старый эксперимент с зефиркой: ребёнку дают одну и обещают вторую, если он вытерпит и не съест сразу. Большинство не терпит, съедают зефирку раньше срока и вторую не получают. С подготовкой к ЕГЭ похожая история, только выбор между быстрым и настоящим результатом.

Быстрый результат - это натаскивание на шаблон. Ученику даётся готовый алгоритм, он применяет его на похожих задачах. На ближайшем пробнике это почти наверняка сработает, и в этом вся притягательность: отдача мгновенная и видимая. Но есть минус. Немного меняем задачу, и подход перестает работать — мы ведь только научили нажимать на кнопки в нужном порядке. Глобально такой подход ведет к тому, что мы готовим идеального исполнителя, который совсем не умеет думать (а для решения незнакомых задач это необходимый навык).

Думать перестаёт не только ученик. Чтобы передать шаблон, не нужно понимать, почему он работает и где ломается, достаточно помнить порядок шагов, и через пару лет такой работы преподаватель ловит себя на том, что причину уже и сам не объяснит. Смысл при этом уезжает в слепую зону, где его не видно ни на уроке, ни при проверке.

Тут важно сказать, что натаскивают часто не от лени и не от глупости. Бывают ситуации, когда у ученика время ограничено и дыры с шестого класса, родитель ждёт роста баллов прямо сейчас, а прогресс от понимания в моменте не виден вообще никому, включая самого преподавателя. Школьным учителям здесь еще сложнее, учеников в разы больше, и подготовить нужно всех. Человек, который в этих условиях берёт шаблон, действует логично, но второй зефирки в таком случае ждать не стоит.

Потому что настоящий результат даётся тяжело. Понимание приходится строить с простых, очевидных (и поэтому скучных) оснований.

Для примера: правило «минус на минус даёт плюс» знает наизусть каждый, но объяснить, почему это так, не может почти никто. Говорят, ну, мир так устроен. Можно объяснить не строго, на пальцах: выпишем цепочку 3·(−2) = −6, 2·(−2) = −4, 1·(−2) = −2, 0·(−2) = 0 — с каждым шагом результат растёт на два. Продолжив, получаем −1·(−2) = +2, и минус на минус оказывается единственным способом не сломать закономерность. Тут всплывает более общий смысл: минус — это не столько «отнять», сколько «сменить направление», перейти к противоположному. Перед переменной он разворачивает её знак, перед скобкой разворачивает знаки всего, что внутри. Развернуть направление дважды значит вернуться к исходному, поэтому два минуса и дают плюс. Становится понятен смысл правила.

На следующий день после такого разбора ученик решать лучше не начнет. Заметно становится недели через три, когда он раскрывает скобку с минусом, останавливается сам и разворачивает знаки у всего, что внутри, без напоминания.

На одну такую "очевидность" уходит минут пять, но их, конечно, обычно немало. Объяснять каждую психологически тяжело — отдача приходит не сразу, в решении вариантов прогресса не видно, ощущается это как топтание на одном месте.

Выдерживать это тяжело не ученику, а преподавателю, потому что результат где-то там, далеко. Но когда большая часть таких пробелов закрывается, ученик начинает решать незнакомые задачи сам, потому что у него появляется пространство для мыслительного процесса.

Как ЕГЭ отучает учителей думать. Часть 2

Проблема в том, что натаскивание на шаблоны все равно кажется хорошей стратегией — требует мало ресурса, дает неплохой результат. Это проще и для учителя, и для ученика, но дело не только в простоте.

Подливает масла в огонь мнение, что ЕГЭ — шаблонный экзамен, сводящийся к набору заученных приёмов. Зачем учить думать, если экзамен этого не требует? Мысль удобная и, что опасно, отчасти верная: действительно, первая часть состоит из набора прототипов, в которых меняют числа и изредка добавляют что-то новое. Незнакомых задач в тестовой части может и не быть. А могут и быть. Во второй части они почти гарантированно встретятся.

Стоит ли надеяться на удачу и ограничивать ученика жесткой последовательностью шагов? Можно и так. Но можно дать ему огромное конкурентное преимущество, сделав из него мыслящего человека. Тогда и стресса на экзамене будет меньше, и результат, как правило, выше.

Насчет второго пути — всем понятно, что он тяжелый, затратный по времени, силам, и вообще многого от нас требует. Про него будет отдельный разговор, и не один. Сегодня напишу только три приема, формирующих у ученика понимание, которые я использую постоянно:

1. Проверять сомнительный шаг на числах.
Пусть ученик пишет, что корень из суммы квадратов равен сумме корней. Вместо того, чтобы сразу указать ему на ошибку, я прошу подставить числа: корень из двадцати пяти равен пяти, а не семи, и правило опровергает себя само. И дело не конкретно в корнях — это универсальный самоконтроль, не зависящий от памяти ученика

2. Выводить формулы, а не выдавать готовые.
Формула корней квадратного уравнения, полученная один раз через выделение полного квадрата, перестаёт быть заклинанием: видно, откуда под корнем появляется дискриминант, и почему его знак определяет число решений

3. Проверять границы применимости.
Границу лучше не объявлять заранее, а показать. Даю уравнение, где обе части возводятся в квадрат, ученик получает два корня, подставляет их обратно, и один из них не подходит. После этого разговор про посторонние корни занимает минуту вместо десяти. Так же с корнем из квадрата, который равен модулю, и с сокращением дроби на множитель, который может оказаться нулём. За всеми случаями стоит одна мысль: инструмент работает только в своих условиях, и понимание важнее самого инструмента

Экзамен, на самом деле, поощряет понимание. Можно почитать аналитические и методические материалы ФИПИ, они там хорошо описывают, где ошибаются ученики, почему в каких-то заданиях случаются просадки из года в год и прочие любопытные вещи. Выводы там как раз в пользу второго подхода.

ЕГЭ не ругает только ленивый, и это можно понять, но экзамен не заставляет выбирать шаблон вместо понимания. Мы сами подменяем цели — ориентируемся на баллы, а не знания и навыки — и идем по пути наименьшего сопротивления, который далеко не всегда является наиболее эффективным.

Короче, зефирка лежит на столе, а мы очень голодные. Вторую придется приготовить самим. Се ля ви

Как измерять

Ученик решал простейшие тригонометрические уравнения быстро и без ошибок, потому что помнил наизусть серии корней. Месяц мы разбирали единичную окружность, и он стал решать медленнее, путаться там, где раньше не путался, и после каждого шага спрашивать: а там вот так надо? Процент решённых задач за этот месяц просел.

Прошлый пост закончился мыслью про подмену цели, и мне хочется еще немного развить эту тему. Сегодня разбираемся, почему даже самые лучшие способы измерения знаний (и, на самом деле, чего угодно) могут нагло нас обманывать на протяжении длительного времени, и что мы можем с этим сделать.

ЕГЭ и прочие формы государственной аттестации — главная мера, которую за нас уже выбрали. И в вакууме это действительно неплохой инструмент: если посадить двух случайных взрослых людей решать вариант экзамена, то с большой вероятностью лучше справится более подкованный в математике. Разница между случайными взрослыми людьми и школьниками в том, что последние успевают подстроиться под приборы, по которым их будут измерять.

Немного отвлечемся от темы образования и представим, что наша цель — это теплое жилище, а мера — это градусник. Если спрашивать с нас будут по градуснику, то проще всего не проводить отопление и утеплять стены, а подержать прибор над плитой. Помещение от этого не нагреется, зато цифра будет хорошая.

При подготовке ребят к ЕГЭ мы порой идем на поводу как раз у градусника. Но эта мера ломается не только у нас. Родители и ученики хотят ощутимого роста баллов здесь и сейчас. Школы меряют рейтингами и числом стобалльников, и оттуда берется ласковое «тебе, наверное, лучше базу сдать», сказанное тому, кто просто медленно раскачивается.

Еще нагляднее с ВПР, МЦКО и прочими тестами, которые задуманы как замер и готовиться к которым по их замыслу не нужно. Но готовятся, решают прошлогодние варианты и волнуются за результат, потому что со школы за него спрашивают, а ученику ставят оценку, и градусник превращается в еще один мини-экзамен.

У составителя та же беда, потому что стоит прототипу стать предсказуемым, сразу начинается натаскивание, и он перестает измерять. Задания поэтому и меняют из года в год. Выходит, экзамен не может быть одновременно честной мерой и главной целью, и как измерительный прибор он портится именно оттого что становится целью.

И это вообще не про экзамены. В науке считают статьи и цитирования, поэтому одну работу режут на три и договариваются ссылаться друг на друга. В полиции считают раскрываемость, поэтому заявления стараются не принять. Мера, по которой начинают судить, перестает измерять то, ради чего ее заводили.

Вернемся к ученику, с которым разбирали тригонометрические уравнения. Спустя некоторое время он перестал спрашивать «а там вот так надо?», потому что решение на каждом шаге теперь принимал он, а не я. Процент задач вернулся на место, а со стороны это выглядело как топтание на месте. Школа видит таблицу, составитель распределение баллов, а я слышу, что он больше не спрашивает. Демонстрировать это, правда, некому, потому что родителю исчезнувший вопрос не покажешь, а на проценты и баллы все любят посмотреть.

Про взаимодействие с родителями еще поговорим, а пока что взглянем на новый признак, который у нас появился: можно ведь считать, отмечать, сколько раз за занятие прозвучал вопрос «а там вот так?» и гнать к нулю. Только не выйдет, потому что ученик перестанет спрашивать, чтобы не выглядеть глупо и будет решать наугад. Правильной меры взамен неправильной не бывает, ломается любая, как только она становится целевым показателем.

Краткий итог. Измерять надо, систематически и разными способами (иначе мы теряем даже надежду на объективность), отслеживать динамику и корректировать курс. Но также надо понимать, в каких условиях показания приборов дают нам не то, что мы хотели измерить. Термометр тоже можно хоть в рот положить, хоть в морозильную камеру, результаты будут разные.

Короче, градусник нужен, но топить все-таки надо печь

Ученик с вами спорит, и это хорошо

Ни один человек не может быть прав всегда. Абсолютно все люди хотя бы раз в жизни допускали ошибки, это нормально, мы не роботы. Но нам свойственно остро реагировать, когда наши ошибки замечают.

Я знаю, что многие учителя скорее съедят свои ботинки, чем признают, что были в чем-то неправы, ведь это будет удар по репутации, позор, стыд, расписка в собственной некомпетентности и так далее.

Мне больше нравится смотреть на это с другой стороны: если ученик заметил ошибку преподавателя, значит, сам достаточно глубоко разобрался в теме. Вы и сами знаете, что найти ошибку часто сложнее, чем решить задачу с нуля. Я всегда поощряю такую наблюдательность, и ни разу еще это не стало для учеников поводом к сомнениям насчет моих компетенций.

У меня в старшей школе была замечательная учительница по математике. Педагог не то что с большой, а даже с огромной буквы. Во многом от нее я переняла эту черту — честно признавать свою ошибку и двигаться дальше. Я вообще много фишек у нее подрезала, очень ей благодарна.

Была у нас еще одна особенность на уроках: нам позволялось решать задачу любым способом, но только если мы можем объяснить, как и почему он здесь срабатывает. Практически каждый урок возникал какой-то спор, и исходы были разные: иногда способ ученика оказывался проще и удобнее, чем предложенный учителем, иногда сложнее, а часто вообще не был правильным. Всё это мы разбирали.

На такую «болтовню» уходило много времени, часто это затягивалось и мы не успевали решить другие запланированные задачи. Но результаты ЕГЭ у нашего класса были заметно выше среднего. Стоит ли говорить о том, что авторитет учителя здесь не только не падал, а еще и укреплялся с каждой итерацией

В общем, её метод работает, и теперь уже я использую его со своими учениками. Давайте обсудим более конкретно, как его применить на практике. Рассмотрим три случая:

1. Способ ученика оказался лучше вашего
Самый простой из возможных сценариев: скажите вслух, что он молодец. Это многое меняет, дальше ученик продолжит искать другие способы, и не для того, чтобы поспорить

2. Способ сложнее или длиннее
Не говорить, что так неудобно. Пройдите обоими путями, сравните: сколько шагов, где скользкие моменты, что нужно помнить наизусть. Сравнение убеждает лучше оценочного суждения. Если времени в обрез, а ученик достаточно ответственный, можно отдать ему это в домашнюю работу и потом обсудить

3. Способ неправильный
Если просто сказать «неверно», ученик кивнет, но так и не узнает, что именно было не так. Лучшее, что можно сделать, — довести решение до места, где оно ломается, и подтолкнуть ученика к тому, чтобы он опроверг свое же решение, и это гораздо сильнее вашего слова

Главное, как всегда, держать баланс. Не молчать из вежливости, но и не отклонять все поступающие предложения. Споры необходимы для развития, даже если мы не в грибнице. Бояться стоит не спорящих учеников, а тех, которые не спорят с вами никогда.

INFMT готов

Это инструмент для преподавателя, который готовит к ЕГЭ по профильной математике. Есть много полезных ресурсов для ученика, но мне как преподавателю часто не хватало качественных материалов для ведения уроков.

Показать, как устроено сечение или как коэффициент двигает график, мы обычно можем только на доске и от руки, перерисовывая одно и то же много раз. Отработать приём — на том небольшом списке задач, который успели собрать к уроку.

Так появился INFMT, или инфмат. Сейчас там материал первой части профиля, вот что внутри:

Конструктор вариантов — все 12 заданий первой части. Нумерация пока старая, по 2026 году, позже новые задания будут добавлены.

Задачи не выбираются из банка, а генерируются. У каждого прототипа свой генератор: числа, буквенные обозначения и чертёж пересобираются заново, и одну и ту же задачу можно выдать сколько угодно раз с разными числами. Отсюда три следствия. Условие не гуглится, потому что его нет в индексе, а каждому ученику достаётся свой вариант. Любую тему можно доводить до автоматизма, не разыскивая новые источники.

Ученик не понял с первого раза — нужен ещё пример на ту же тему. Обычно это значит поменять числа руками, пересчитать ответ и перерисовать чертёж, который после смены чисел врёт. Либо уходить на поиски той самой нужной задачи в разных вариациях. Здесь этого шага нет, а лист учителя приходит с ответами, которые не надо получать самому.

Генерация идёт алгоритмом по заранее отобранным шаблонам, без нейросетей, поэтому выдуманных условий и несуществующих ответов там не бывает. От того, что ИИ решит новую задачу за ученика, это не защищает, поэтому избавления от списывания я не обещаю.

Отдельно помечены прототипы ФИПИ, которые есть в открытом банке или были на реальном ЕГЭ. Готовый вариант печатается двумя листами: ученику без ответов, учителю с ответами и разборами.

Теория — 37 тем. Каждая тема написана как объяснение, а не как справочник: что говорить, в каком порядке заходить, где ученик обычно спотыкается.

Интерактивные виджеты: сечения многогранников, графики функций, формулы приведения, касательная как предел секущей, функция вместе со своей производной.

Методический маршрут — пошаговая инструкция, как вести ученика по темам.

Входной тест — фиксированный набор из 17 задач с заметками учителю, которые помогут на основе результатов определить уровень ученика.

Что открыто без оплаты и без регистрации: темы «Треугольники», «Формулы приведения» и «Точки экстремума» целиком, конструктор с печатью варианта без ответов и некоторые виджеты.

Что платно: остальные 34 темы, ответы и разборы, лист учителя с ответами, маршрут, входной тест. 1500 рублей за три месяца, 5000 за год. Разово, без подписки и автосписаний.

Чего в сервисе нет: домашек с автопроверкой, учётных записей учеников, статистики по работам. Это в планах на будущее.

Напишите, если что-то не работает или чего-то не хватает.

Попробовать всё вживую можно тут: app.infmath.ru

Где и какие задачи брать

Официальные прототипы по новым заданиям только в демоверсии: по одному примеру на шестое и тринадцатое и два примера на семнадцатое, генератор и амплитуда качки корабля. У остальных номеров в демо по два-три примера, разброс формулировок новых заданий составители пока не показывают.

В открытом банке ФИПИ по-прежнему задания под прошлогодний кодификатор, заданий на случайную величину там нет. Банк обычно пополняют после утверждения документов и после досрочной волны, так что реальную картину сложности мы увидим не раньше зимы. До этого ориентиры такие: утверждённая демоверсия в ноябре, первые тренировочные работы СтатГрада этой осенью, сборник Ященко после утверждения.

Неофициальные площадки на момент написания поста уже заполнили пустые места, и заполнили по-разному:

Решу ЕГЭ перенумеровал каталог под 2027 год. В шестом задании 38 задач: матожидание по таблице и лотерею плюс задачи, перенесённые из их же «Решу урок». Разброс там заметно шире демоверсии. Рядом с лотереей лежит, например, задача о том, сколько избирателей нужно опросить, чтобы частота отличалась от истинной вероятности не больше чем на 0,05 с вероятностью 0,95. В семнадцатом 27 задач: ларинские оптимизации 2015–2016 годов про велосипедистов и трубы в бассейне, задача про рабочих и алюминий из старой экономической линии и две задачи в духе демо.

Ларин выложил 5 сентября вариант 543 уже в структуре 2027. Шестое там сложнее демо: кубик бросают, пока сумма не станет не меньше трёх, найти матожидание числа бросков. Тринадцатое: старая двухбалльная задача с таблицей долга, переехавшая как есть. Семнадцатое: амплитуда тока в контуре, найти наибольшую силу тока, это уже близко к демо.

math100 пишет напротив шестого и семнадцатого «материалы не опубликованы». Это честно.

Пользоваться этим можно, но с пониманием, что мы тренируем. Задачи на матожидание по таблице с Решу ЕГЭ годятся, чтобы поставить базу. Задачи на выборки в кодификаторе названы прямо, в том же требовании 8, которое проверяет шестое задание: «знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных исследований».

Тонкость в двух словах. Во-первых, сказано «знакомство», а не «умение оперировать», как про всё остальное в этом требовании. Во-вторых, единственное умение, стоящее рядом, — приводить примеры проявления закона больших чисел в природных и общественных явлениях, то есть рассказывать, а не считать.

И главное: в спецификации строка шестого задания цитирует требование не целиком, только рабочую часть про случайную величину и распределения. Выборочных исследований в ней нет:

В часть 1 добавлены задание 6 (с кратким ответом), проверяющее умения оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, задание 13, ...

Отсюда мой практический вывод: задачи на объём выборки не выходят за кодификатор, но и не отвечают тому, что заявлено в спецификации. Пока ФИПИ не показал такого в утверждённой демоверсии, я их пропускаю.

Для семнадцатого хватит двух задач из демо и ларинской: они дают формат «дана формула с одной переменной, найти наибольшее значение, записать исследование». Ларинские оптимизации десятилетней давности с двумя неизвестными на этот формат не очень похожи. Для тринадцатого подходят старые задачи шестнадцатого номера.

Оценивать сложность по неофициальным задачам нельзя, для этого нет данных ни у кого. Калибровать будем по утверждённой демо и первым СтатГрадам. В конструктор вариантов скоро добавлю новые задачи, прототипы из демоверсии будут с пометкой ФИПИ, остальные тренировочные, уже в разработке.

Что в итоге

Новая тема одна, случайная величина, и на неё нужно около 2-3 занятий (дальше отработка). Экономическая задача подешевела и переехала в первую часть, оформление ей больше не нужно. Точка максимума переехала во вторую часть и требует записанного исследования. Официальных прототипов пока по одному на задание, банк ФИПИ пополнится позже, неофициальные подборки годятся для тренировки, но не для оценки сложности. Всё остальное в работе не меняется.

P. S. Демо, кодификатор и спецификации будут в первом комментарии. До новых встреч!