Виктор Чижиков родился в семье архитекторов и рисовать начал в два года. Будучи школьником, уже публиковал свои карикатуры в газете «Жилищный работник». После школы в 1953 году поступил на художественное отделение Московского полиграфического института (Московский Политех).

Учился у Павла Григорьевича Захарова, учениками которого были также Дмитрий Бисти, Виктор Дувидов, Май Митурич.

Вуз окончил в 1958 году, при этом с 1955 года работал в журнале «Крокодил», с 1956 — в «Веселых картинках», с 1958 — в «Мурзилке».

Детские книги иллюстрирует с 1960 года. Первой книгой была «Тайна детской коляски» Виктора Драгунского.

В 1977 году Олимпийский комитет разрабатывал талисман для будущей Олимпиады-80. Эскиз Виктора Чижикова победил в конкурсе на лучшее изображение медведя — талисмана XXII летних Олимпийских игр. За создание образа медвежонка Миши художник награжден орденом «Знак Почета», Почетным знаком Олимпийского комитета и дипломом Академии художеств СССР.