Пример решения неравенства с логарифмами

Пример упрощения логарифмического выражения

Примеры решения типичных показательных уравнений, которые могут попасться в ЕГЭ или в другом экзамене по математике. В большинстве случаев уравнение сводится к квадратному. Возможно, это будет видно лучше, если сделать замену переменных. В данных примерах замена переменных опущена для экономии места.

Примеры решения некоторых уравнений с логарифмами

Как всегда, одна из запутанных заданий в ЕГЭ по математике. В таких задачах, что дойти до ответа, нужно:
1. Аккуратно расписать что случается каждый год с текущим вкладом
2. Попробовать найти закономерность и общую формулу. Чаще всего это связано с суммой геометрической прогрессии
3. Не пытаться выражать/упрощать всё в буквенном виде до конца. Вы сможете решить, что это займет больше времени и внимательности. Лучше подставлять числа.
4. В качестве коэффициентов лучше брать доли ( (x % + 100%)/100%), а не таскать за собой проценты. Эти доли лучше всего выражать в дробях, лучше будут видны все сокращения.
5. Обязательно повторите теорию о прогрессиях. Это поможет вам решать такие задачи успешно.

Недавно мой ученик допустил довольно интересную ошибку, которую не объясняют в школах на уроках информатики. Для начала о задании. Всё довольно стандартно: нужно было перевести число из двоичной системы исчисления в десятичную. В решении была попытка проделать эту операцию напрямую из восьмеричной в двоичную, аргументируя это тем, что основание двоичной системы меньше основания восьмеричной системы. Перевод не удался сразу. Ошибка заключалась в том, что с числами в восьмеричной системы обращались также, как с числами десятичной системы. И так как числа в этих системах очень похожи, то человеку, начинающему свой путь в изучении информатики, будет сложно найти подвох.

➡️Объяснение решения⬅️

Когда вы занимаетесь интегрированием, подынтегральное выражение может представлять собой сложную функцию в виде произведения двух других функций. Чтобы разрешить эту задачу часто используется формулы интегрирования по частям. Естественно, какие-то функции лучше проще дифференцировать, какие-то — интегрировать, а некоторые, таким как экспонента или синус/косинус, можно одинаково легко интегрировать и дифференцировать. На картинке кратко представлены самые распространенные варианты взятия интеграла по частям.

Некоторые задачи на отношения, диапазоны допустимых значений и пересечения множеств проще всего будет решить, если использовать диаграммы Эйлера — Венна. Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества.

Разбор интересной задачи на вероятность события. Можно делать различными способами, но в любом случае восприятие таких задач улучшается, если нарисовать диаграммы Венна и определить нужные нам области. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Есть шахматное поле n на n. На поле m ладей. Нужно определить какое число клеток не заняты и не находятся под боем. Мне стало интересно сделать визуализацию решения, чтобы можно было легко посчитать пальцем число свободных клеток, тем самым проверить правильность работы программы. На вход программы подается матрица [8][8], в которой цифрой "1" отмечены места, в которых стоят ладьи. По этой матрице строится другая матрица, в которой "0" отмечаются свободные поля, а клетки, которые находятся под ударом отмечаются FLAG_ATTACK = -1. По матрице позиций под атакой рисуются красные клетки, иллюстрирующие запрещенные ходы. Остальная доска рисуется алгоритмом, который переключает цвета с помощью деления по модулю 2. ( 0 - белый цвет, 1 - серый ). Плюс для компактности я решил использовать сквозной индекс по двумерному массиву. Хотя, вложенных циклов в некоторых местах итак получилось по 4.

➡️ Объяснение и код ⬅️

Приведу небольшой шаблон решения ЛДУ в ЧП. Задачку задал один из подписчиков нашего чата в telegram ( @math_code ). К сожалению, не были заданы начальные или граничные условия. Общий смысл сводится к решению ДУ, которые получаются из характеристического уравнения. В итоге нужно найти интегралы решений этих ДУ. Общий интеграл решения представляет собой множество функций u = F(φ1, φ2, φ3, ... ). Если требуется найти конкретное решение уравнения, то из всего множества функций F(φ1, φ2, φ3, ... ) выбирают ту, которая обеспечивает выполнение заданных условий. Эти условия могут быть заданы в виде граничных (ГУ) и/или начальных (НУ). В ряде случаев их удается удовлетворить, просто приписав их к найденным первым интегралам системы уравнении характеристик и исключив переменные.

В этой статье я постараюсь подробно расписать как решать задания по электродинамике на переходные процессы на примере данной задачи.
Задача: Найти зависимость тока от времени на индуктивности L после замыкания ключа. Построить график.

➡️Читать статью⬅️

Время, за которое поток воды объёмом 60 л поднимет поршень пресса на высоту 40 см со скоростью 12 м/с, прикладывая силу 2.5 Н ( ρ = 1000 кг/м³ ) ?

Для решения задачи понадобится уравнения координат центра масс системы. Выбрать оси можно произвольно. Я выбрал оси такие, чтобы решения включало в себя как можно меньше тригонометрических функций. Сложность заключается в том, что в полученной систему уравнений зрительно кажется слишком большое количество неизвестных. Это можно исправить путем некоторых замен переменных. Далее приводятся рассуждения о том, что некоторые параметры не могут обнуляться, так как из этих предположений следует слишком тривиальный случай задачи, который не представляет интерес для решения. Исходя из этих рассуждений, нужно обнулить только те данные, следствие обнуления которых не представляет тривиального случая. Далее получаем единственное решение задачи для масс.

➡️Разбор задачи⬅️

Данную задачу можно решить школьным методом, с помощью формулы "расстояния без времени" найти все расстояния и уже затем найти среднюю путевую скорость. В качестве альтернативного варианта я решил расписать решение через нахождения функций, описывающих изменение скорости, а затем их дальнейшего интегрирования для нахождения искомых расстояний. При аккуратном решении, ответы всегда сходятся. В данной задаче самое главное не перепутать путь с перемещением. Здесь важен именно путь. В связи с этим такие интегралы очень важно разбивать на части, на участки, где функции ведут себя более менее монотонно, а также на участки, где кусочно-гладкая функция меняет знак. Если нигде не ошибся, то получается так.

Перевод задачи: Диагональ AC в четырехугольнике ABCD является одновременно диаметром в переписанной окружности в четырехугольнике. Пусть A1 - перпендикулярная проекция A на диагонали BD, а C1 - перпендикулярная проекция C на BD. Покажите, что BC1 такой же длины, как DA1.

Написали сегодня в Instagram с просьбой помочь решить такую вот задачку по планиметрии. Что важно было при решении такой задачи. Как всегда и прежде всего — аккуратный рисунок. Немного дополнительных построений, чтобы увидеть среднюю линию треугольника и сделать вывод о равенстве некоторых отрезков. Далее дело техники в виде алгебраических преобразований, в ходе которых у искомых отрезков выделяется общая часть.

Задачка по теории вероятностей.

Пример вычисления интеграла по контуру. Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве.

Пример вычисления интегралов с дробной функцией и корнем.
Метод решение: внесение выражения под дифференциал и подгонка постоянных.

Пример взятия интеграла, в котором есть тригонометрические функции. Если не получается стандартными преобразованиями заметно упростить интеграл до табличного вида, то смело пробуйте делать замену переменных вида t = tg(x/2), так называемая универсальная тригонометрическая подстановка. Также иногда помогает просто замена t = tg(x), при использовании формулы 1 + tg²(x) = 1/cos²(x). Всегда пересчитывайте пределы интегрирования при переходе к новым переменным.