Как решать уравнения с модулем: основные правила
Общий алгоритм:
1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.
💡Репетитор IT mentor
Общий алгоритм:
1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.
💡Репетитор IT mentor
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n! предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента √(2π) была неопределённая константа).
💡Читать полностью в группе Репетитор IT mentor
💡Читать полностью в группе Репетитор IT mentor
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле A(w) = A0 * ωр² / | ωр² - ω |, где ω – частота вынуждающей силы (в ), A0 – постоянный параметр, ωр – резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не более чем на 12.5%.
Разбор 10-го задания из профильного ЕГЭ по математике.
💡Репетитор IT mentor
Разбор 10-го задания из профильного ЕГЭ по математике.
💡Репетитор IT mentor
Нашел в одной группе интересное неравенство. Его сложность в том, что если решать его в лоб, то есть пытаться найти нули модулей, то мы получаем уравнения 4-й степени, аналитическое решение которых в общем виде является довольно трудным процессом. Иногда в таких неравенствах удается с помощью замены переменных доказать их справедливость на всём диапазоне x, который допустим изначальной областью определения для x.
💡Репетитор IT mentor
💡Репетитор IT mentor
Разбор Задание 14 (ЕГЭ по профильной математике)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA1.
а) Докажите, что прямые MB и B1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B1C.
💡Репетитор IT mentor
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA1.
а) Докажите, что прямые MB и B1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B1C.
💡Репетитор IT mentor
Деревни Алексеево и Водники разделены двумя параллельными реками разной ширины. На каждой реке нужно поставить по мосту, так, чтобы путь из одной деревни в другую был наименьшим (при этом мосты перпендикулярны берегам). Как это сделать ?
Решение и разбор в прикрепленной статье:
vk.com/wall-51126445_52664
Решение и разбор в прикрепленной статье:
vk.com/wall-51126445_52664
Чем спокойнее и уравновешеннее человек, тем мощнее его потенциал и тем большим будет его успех в добрых и достойных делах. Невозмутимость разума — одно из величайших сокровищ мудрости. Самая высокая степень человеческой мудрости — это умение приспособиться к обстоятельствам и сохранять спокойствие вопреки внешним грозам.
Ни при каких обстоятельствах не следует терять надежду. Чувство отчаяния — вот истинная причина неудач. Помните: вы можете преодолеть любую трудность. Будьте спокойны, даже оказавшись в сложной и запутанной ситуации: это мало повлияет на вас, если ваш ум невозмутим. Напротив, если ум позволяет вам гневаться, то вы утратите покой, даже если окружающий мир будет безмятежным и уютным.
Глупец суетится вовсю, затеяв пустяк, — умный сохраняет спокойствие, берясь за великое дело.
Хладнокровно смотри на других. Хладнокровно слушай других. Хладнокровно размышляй. Хладнокровно переживай.
Ни при каких обстоятельствах не следует терять надежду. Чувство отчаяния — вот истинная причина неудач. Помните: вы можете преодолеть любую трудность. Будьте спокойны, даже оказавшись в сложной и запутанной ситуации: это мало повлияет на вас, если ваш ум невозмутим. Напротив, если ум позволяет вам гневаться, то вы утратите покой, даже если окружающий мир будет безмятежным и уютным.
Глупец суетится вовсю, затеяв пустяк, — умный сохраняет спокойствие, берясь за великое дело.
Хладнокровно смотри на других. Хладнокровно слушай других. Хладнокровно размышляй. Хладнокровно переживай.
Обозначим за S = y⁴ + y³ + y² + y. Можно воспринимать это уравнение в качестве квадратного относительно x. То есть х² + х - S = 0
Рассмотрим решения этого уравнения.
D = 1 - 4⋅1⋅(-S) = 1 + 4S = 1 + 4y⁴ + 4y³ + 4y² + 4y
Заметим, что при натуральных y ∈ ℕ (y > 0 и y - целое) получаем D > 0.
В общем случае получаем два корня:
x = (-1 - √D)/2 — не подходит, так как x < 0, а значит x ∉ ℕ
x = (-1 + √D)/2 — будет являться натуральным числом, только если выносится корень из D, то есть D является квадратом натурального числа, и -1 + √D является четным числом. Значит √D - нечетным числом, значит и D является квадратом нечетного числа.
Итак, 1 + 4y⁴ + 4y³ + 4y² + 4y должно являться квадратом натурального нечетного числа.
1 + 4y⁴ + 4y³ + 4y² + 4y = (2y² + 1)² +2y(2y² + 1) + 2y
(2y² + 1)² +2y(2y² + 1) + 2y будет квадратом натурального числа, только если дискриминант для этого выражения равен 0.
D* = 4y² - 8y = 0 только при двух вариантах y = 0 и y = 2. Получаем только единственно возможное решение при y = 2 и x = 5.
Рассмотрим решения этого уравнения.
D = 1 - 4⋅1⋅(-S) = 1 + 4S = 1 + 4y⁴ + 4y³ + 4y² + 4y
Заметим, что при натуральных y ∈ ℕ (y > 0 и y - целое) получаем D > 0.
В общем случае получаем два корня:
x = (-1 - √D)/2 — не подходит, так как x < 0, а значит x ∉ ℕ
x = (-1 + √D)/2 — будет являться натуральным числом, только если выносится корень из D, то есть D является квадратом натурального числа, и -1 + √D является четным числом. Значит √D - нечетным числом, значит и D является квадратом нечетного числа.
Итак, 1 + 4y⁴ + 4y³ + 4y² + 4y должно являться квадратом натурального нечетного числа.
1 + 4y⁴ + 4y³ + 4y² + 4y = (2y² + 1)² +2y(2y² + 1) + 2y
(2y² + 1)² +2y(2y² + 1) + 2y будет квадратом натурального числа, только если дискриминант для этого выражения равен 0.
D* = 4y² - 8y = 0 только при двух вариантах y = 0 и y = 2. Получаем только единственно возможное решение при y = 2 и x = 5.
Очередная интересная задача из чата физиков в telegram @math_code
Пусть задана функция f(x) = 3x + х².
Вычислите следующую предельную сумму:
lim ∑(6/n)⋅f(2⋅k/n) от k = 1 до k = n при n → ∞.
Пусть задана функция f(x) = 3x + х².
Вычислите следующую предельную сумму:
lim ∑(6/n)⋅f(2⋅k/n) от k = 1 до k = n при n → ∞.
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Диаграммы Эйлера (круги Эйлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — Венна. Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.
➡️ Описание задачи ⬅️
Диаграммы Эйлера (круги Эйлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — Венна. Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.
➡️ Описание задачи ⬅️
Найти цепочку максимальной длины, состоящей из символа "С" в текстовом файле.
Входные данные: ABCCAAACACCCCBCBCAACCCCCA
Выходные данные: 5
Код на Pascal: pastebin.com/P78UVvet
💡Репетитор IT mentor
Входные данные: ABCCAAACACCCCBCBCAACCCCCA
Выходные данные: 5
Код на Pascal: pastebin.com/P78UVvet
💡Репетитор IT mentor
Небольшой пример кода для перевода чисел из 10-чной в 16-чную систему исчисления. Будет полезно тем, кто начинает изучать системы счисления и информатику.
Код на Pascal: pastebin.com/7HLVuhWR
Код на Pascal: pastebin.com/7HLVuhWR
Решение похожих тригонометрических уравнений. Сначала более сложный способ, затем более простой. Чаще всего до ответа в любой задаче можно дойти несколькими способами. Иногда первыми на ум приходят сложные, иногда простые. Тем не менее, полезно выполнять решение задачи разными путями хотя бы для того, чтобы потренировать свой мозг преобразованиями.
Задача на повторение законов Ома, Кирхгофа, а также на формулы для расчета сопротивлений для последовательно и параллельных соединений проводников.
Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.
Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю.
💡Подробнее
Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.
Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю.
💡Подробнее