Репетитор IT mentor
9.9K subscribers
873 photos
13 videos
29 files
720 links
Блог с заметками репетитора по математике, физике, информатике. Рассказываю о задачах, о способах их решения.

vk.com/itmentor
dzen.ru/itmentor
https://www.youtube.com/@it_men

Автор: @physicist_i
Download Telegram
Привожу разбор термодинамической задачи по физике. Главная формула — "Барометрическая формула. Закон Больцмана". Это уравнение, устанавливающее закон убывания давления с высотой, называется барометрической формулой. Из этого уравнения видно, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону. Этим законом пользуются для определения высоты над Землей путем измерения давления на данной высоте и на уровне моря. Приборы, служащие для измерения высоты горных вершин, полета самолета и т. д., представляют собой специальные барометры, шкала которых проградуирована непосредственно в метрах. В конкретной задаче всё сводится к аккуратному использованию математики. Путем логарифмирование и использования свойств логарифмов можно вывести формулу для изменения высоты в зависимости от изменения давления. Почему в интернете гуляет сомнительный вывод решения данной задачи, как будто подгоняют преобразования под определенный ответ. Поэтому я решил расписать подробное решение, которое прикрепляю ниже.
Интересная интегральная задача. На первый взгляд кажется тривиальной, но стоит еще подумать над решением. В таких задачах довольно легко потерять константы интегрирования. Надо еще подумать над решением данного задания.
Проверка и доказательство одной из формул векторного анализа
Возможность создать объект с произвольным прототипом, то есть создать "наследника" любого объекта, является мощным средством ECMAScript 5. В листинге ниже приведу пример как можно имитировать это наследование средствами ECMAScript 3. Метод получается длиннее, чем одна строчка :)

Функция inherit() возвращает объект, наследующий свойства прототипа p. В нем используется введенная в ECMAScript 5 функция Object.create(), если она определена. А если она не определена, то применяется устаревшая методика.

https://jsfiddle.net/1s8qdenv/
Разбор задачи на нахождение характера поля в заданном направлении через исследования производной по направлению. Если в пространстве задана некоторая функция z = z(x,y) или U = U(x,y,z) в общем случае, то можно найти скорость изменения функции z(x,y) или U = U(x,y,z) в общем случае при движении точки А в произвольном направлении, в нашем случае к точке B. Производная по направлению характеризует скорость изменения функции ( поля ) в точке А по этому направлению. Если она положительна, то функция ( поле ) возрастает в этом направлении, если отрицательна — убывает. Кроме того, модуль производной по направлению представляет собой мгновенную скорость изменения функции z(x,y) или U = U(x,y,z) в общем случае в направлении вектора AB. В этом и состоит физический смысл производной по направлению. Саму же формулу можно вывести, если предположить, что функция, которая описывает наше поле, дифференцируема в точке А. Тогда из прямого определения дифференцируемости всё выводится в четыре строчки :)
Найти решение дифференциального уравнения x⋅y'' - y' = x²⋅exp(x)
Публикую разбор решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному ДУ Бернулли первого порядка.
⛵️Бывает очень сложно достичь поставленной цели и не потерять мотивацию. История может рассказать нам случаи, когда радикальные меры могут оказаться самыми верными. Когда Юлий Цезарь переправился из Галлии через Ла-Манш и высадился со своими легионами в стране, которая теперь называется Англией, он приказал сжечь корабли, на которых приплыли римские войска. Цезарь остановил свои войска на меловых утесах Дувра и приказал им оглянуться на море с высоты двухсот футов. Там они увидели красные языки пламени, пожиравшие корабли, которые доставили их сюда. При высадке в Британии римское войско было поставлено перед фактом выбора победы, или смерти. Они находились во враждебной стране, последняя связь с континентом была потеряна, последнее средство отступления сожжено. Им оставалось только одно: идти вперед и побеждать. Так они и сделали. И они победили, хотя противник был гораздо более многочислен. В этом заключалась мудрость великого Цезаря.

Почему бы нам не поступать аналогичным образом в войне за уничтожение своего страха потерпеть неудачи на пути к успеху?

Иногда, чтобы достичь поставленной цели, и чтобы не было искушения вернуться назад, человек должен сделать поступки, которые можно охарактеризовать выражениями "сжечь корабли", или "сжечь за собой мосты". Эта крайняя мера очень эффективна, она позволяет оставить позади всё, что мешает продвижению вперёд, к намеченной цели.
Разбор типичной задачи по физике про радиолокацию.
В таких задачах вам нужно понять, что локатор работает в двух режимах:
1. Радиолокатор может испускать импульс/цуг волн. Пока он это делает, слушать он не может.
2. Радиолокатор может слушать/ожидать отраженный импульс. Пока он слушает, он ничего не испускает.
Исходя из этих данных, можно представить две граничные ситуации и определить минимальное и максимальное расстояние детектирования.
Два разных подхода. Ошибочный и верный. Почему они так похожи? В чем подвох?

➡️Разбор задачи⬅️
Пример вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.
Шаблон простейшего меню для консольного приложения:

https://onlinegdb.com/r1L6bLHgH
В школе нас всех учат, что область определения логарифма накладывает некоторые ограничения на основание и выражение под логарифмом. Со временем некоторые школьники задаются вопросом о том, можно ли как-то посчитать логарифм отрицательного числа, и почему некоторые вычислительные пакеты внезапно выдают какие-то страшные выражения.

➡️Объяснение преобразований⬅️
Пчелиные соты состоят из ячеек в виде десятигранников. Представить себе такую ячейку можно следующим образом. Возьмем правильную шестиугольную призму (смотри рисунок) и через каждую из трех диагоналей верхнего основания B1D1, D1F1 и F1B1 и точку S, взятую на оси симметрии призмы, проведем плоскости. Эти плоскости и будут ограничивать сверху ячейку. Таким образом, ячейка ограничена снизу правильным шестиугольником, с боков — шестью равными прямоугольными трапециями и сверху — тремя ромбами.

➡️Разбор задачи⬅️
В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

➡️Читать статью⬅️
Два дровосека как-то поспорили, кто из них нарубит больше леса за один день. С утра они заняли свои места и принялись рубить. Но через час один перестал работать и присел на пенек. Другой лесоруб, немного подивившись, продолжил с удвоенной силой.

Прошло десять минут, и он услышал, что второй дровосек снова принялся за работу. И снова они работали почти синхронно, как вдруг первый лесоруб опять услышал, как его противник снова остановился. Вновь дровосек обрадовано принялся за работу, уже ощущая запах победы. И так продолжалось целый день.

Каждый час один из лесорубов останавливался на десять минут, а второй продолжал. Когда начало смеркаться, дровосеки прекратили рубить. Тот, что работал не переставая, был совершенно уверен что победил, но каково же было его удивление, когда он узнал, что ошибся.

— Как это получилось? — спросил он своего напарника. — Каждый час я слышал, как ты на десять минут прекращаешь работу. Как ты умудрился нарубить больше дерева, чем я? Это невозможно! Ведь я работал с удвоенной силой!

— Всё очень просто, — ответил тот. — Каждый час я останавливался на десять минут. И в то время, как ты продолжал рубить лес, я точил свой топор.

Чтобы решать много задач, недостаточно много вкалывать. Необходимо постоянно учиться, отдыхать и развиваться в широком смысле этого слова. Как часто у нас не хватает времени наточить свой топор! Мы рубим лес вокруг – только щепки летят! Мы идем вперед, не находя даже минутки, чтобы присесть и перезарядить батарейки. Как только мы начинаем осознавать, что пора бы сделать паузу, осмотреться, научиться чему-то новому, мы находим такую возможность. И именно в это время происходит качественный скачок в нашем развитии.

Мы учимся рубить меньше, но лучше, за счет лучшей техники, за счет более острого “ума”. Мы достигаем лучших результатов за меньшее количество времени и прилагая меньше усилий. Все равно, что вы подразумеваете под лучшей техникой. Можно повысить собственную профессиональность или научиться делегировать те дела, которые не умеешь делать сам. Нужно регулярно анализировать вопрос о том, что будет эффективнее — сделать самому или отдать другому.
Разбор задачи на разложение в ряд Тейлора функции двух переменных. Пара слов о полных дифференциалах n-го порядка, аппроксимация, пример расчёта и построение графиков.

➡️Посмотреть решение⬅️
Разбор решения задачки: vk.com/wall-51126445_39486
Рассуждение и оценки предела суммы одного интересного ряда. Есть ли ошибка? 😉
Шарик радиусом r = 20 cм и массой m = 2 кг удерживается на неподвижном шаре радиусом R = 50 см невесомой нитью длиной L (L < R), закреплённой в верхней точке шара С. В отсутствии трения найти силу натяжения нити Т и силу реакции опоры N.

Привожу разбор задачи для нахождения силы натяжения нити.
Для решения можно воспользоваться вторым законом Ньютона, ускорение равно нулю, система в статическом равновесии. Далее воспользоваться теоремой синусов и выразить силу натяжения нити.
Разбор задачи из паблика Physics.Math.Code из поста vk.com/wall-51126445_39871 Задачка сводится к арифметической прогрессии. С помощью неё можно аккуратно составить все необходимые равенства, удовлетворяющий условию. На прикрепленном рисунки приведены подробные комментарии.