چیزهای متفاوت اما شبیه! موسیقی یک جهان مکانیکی؟!

یک مشتری در فنجان قهوه!

🔵 موسیقی یک جهان مکانیکی 🔵

بسیار سخت است تصور اینکه چگونه از قوانین ساده ی فیزیک میتوان چیزهای پیچیده ای همچون «حیات» بوجود بیاید. با اینکه چنین فرآیندی هنوز یک راز است می توان نمونه های ساده تری از «پیچیدگی» را در اطرافمان دید که نتیجه ی قوانینی هستند که کاملا میشناسیم. نتیجه ی اعمال قوانین مکانیک نیوتونی به تعداد زیادی از ذرات در بیشتر مواقع نتیجه ای جز در هم و برهمی و بی نظمی ندارد. چنین واقعیتی را اولین بار بولتزمن و دیگران در ترمودینامیک نشان دادند. وقتی که مولکول های یک گاز به صورت تصادفی به هم برخورد می کنند نتیجه ی نهایی ملغمه ای از حرکات بی نظم و در هم و برهم در نهایت آنتروپی (بی نظمی)‌ هستند. بنظر می رسد نظمی که در طبیعت در مقیاس بزرگ وجود دارد (مانند حیات) نتیجه ی یک فرآیند دقیق و مهندسی شده است. یک مثال معروف برای آنکه چنین برهان نظمی را پر رنگ کنند این است که تصور کنید از یک طوفان که تکه پاره های مواد مختلف را به اطراف پرتاب میکند انتظار داشته باشیم یک هواپیمای بوئینگ ایجاد شود! چنین مثالی ساخته شده تا نشان دهد از قوانین «بی هدف» و «بی روح» و حتی «بی نظم» طبیعت نمی توان انتظار داشت که یک موجودیت پیچیده مثل چشم یا درخت ایجاد شود. با این حال این استدلال به کلی غلط است!

برای درک این موضوع ابتدا بیایید به خود بی نظمی یا آنتروپی فکر کنیم. آنتروپی بیشینه به این معناست که مولکول های گاز در همه جای فضا و در همه جهت ها به صورت یکنواخت توزیع شده اند. هیچ ترجیحی در مکان و جهت حرکت مولکولها وجود ندارد. اما همه ی حالات ماده لزوما به این یکنواختی نیستند! گاهی یک تغییر مثل فشار آوردن به مولکول ها از بیرون باعث می شود که آن ها در یک بخش فضا تمرکز بیشتری داشته باشند یا یک وزش باد می تواند جهت حرکت گاز را یک طرفه کند. در این حالات آنتروپی قدری کاهش پیدا می کند. در حالت کلی محدودیت هایی که بر روی سیستم (متشکل از مولکول های گاز) اعمال می شود یک نظم پدید می آورد! هرچند این نظم با نظمی که انتظار دارید فاصله ی زیادی دارد اما این اولین قدم است!

این محدودیت ها می تواند در فرم یک رابطه ی مشخص بین مولکول ها مشخص شود. رابطه ای که آن ها را به نحوی به هم قفل می کند! بیاید به یک مثال ساده نگاه کنیم. فرض کنید شما یک آونگ دارید. این آونگ به سمت چپ و راست حرکت میکند. اگر در یک لحظه از آونگ عکس بگیرید می توانید تشخیص دهید که سرعت آن چقدر است! به طور مثال اگر آونگ در پایین ترین نقطه باشد بیشترین سرعت را دارد. به عبارتی «مکان» و «سرعت» آونگ به هم قفل شده اند! به چنین محدودیت هایی به اصطلاح holonomic می گویند.

فیزیکدان های قرن ۱۸ به این موضوع پی بردند که بسیاری از سیستم های مصنوعی و حتی طبیعی اطلاعات بیشتری از صرفا قوانین اولیه ی نیوتون دارند. این اطلاعات تعیین می کند که سیستم مورد بررسی نه در فضای تمام حالات ممکن بلکه در یک زیرفضا حرکت می کند. برای اینکه رابطه ی این موضوع را با بحث قبلی متوجه شوید می توانید تصور کنید که یک سیستم در فضای فاز که دارای بعد مکان و سرعت است قرار گرفته است. هر نقطه از فضای فاز به صورت دقیق حالت سیستم را تعیین می کند. مثلا در مورد آونگ این فضا مشخص می کند آونگ در چه سرعتی و دقیقا کجا قرار گرفته است.

«محدودیت»‌ها (constraints) یک رویه (submanifold) در این فضا تعیین می کنند. به این ترتیب همه چیز ممکن نیست و سیستم از قاعده ی مشخصی پیروی می کند. در فیزیک به چنین حالاتی «ساختار های منسجم لاگرانژی» (Lagrange Coherent Structure) یا LCS گفته می شود. مثال حلقه ی مشتری یا گردباد یا حرکت منظم مولکولهای شیر در قهوه که الگوهای معروفی به اسم Rayleigh–Bénard convection شناخته می شود را میسازد! جهان ما پر است از سیستم های منسجم لاگرانژی که برخی عمر طولانی تری از بقیه دارند. دلیل اصلی ایجاد شدن چنین ساختارهای منظمی «محدودیت» هایی است که بر سیستم اعمال می شود. گاهی این محدودیت ها در فرم یک واکنش شیمیایی خود را نشان می دهد. به طور مثال در شیمی تعداد مشخصی از مولکولها با تعداد مشخصی دیگر ترکیب و باز هم تعداد مشخصی مولکول دیگر ایجاد می کنند. چنین محدودیت هایی منجر به الگوهای زیبایی مثل turing pattern می شوند.

این توضیحات قطعا منشا حیات را توضیح نمی دهد اما دانش ما نسبت به فیزیک و قوانین اطلاعات نشان می دهد که «نظم» نتیجه ی ناگزیر قوانین خود طبیعت هستند! قوانین طبیعت کور نیستند و به صورت فعال الگوهایی می سازند که رویه های (submanifold) دقیقی در فضای فاز ایجاد می کنند! برای چنین نظمی نیازی به ناظم وجود ندارد! چیزی که نیاز است اما مطالعه بیشتر ما برای درک این است که پیچیدگی یک اتفاق در طبیعت نیست بلکه یک قانون است! نگاه کردن به قوانین به تنهایی و به صورت فروکاست گرایی (reductionist) مانند این است که فقط بر روی تک نوت های سمفونی باخ تمرکز کنید و تعجب کنید که موسیقی کجای آن است!

🔵بی نهایت راه حل برای مساله ی سه جسم 🔵

آنچه به عنوان سامانه ی خورشیدی (solar system) میشناسیم که خودمان هم در یکی از آن ها هستیم شکل ساده ای است از یک ستاره و چندین سیاره که به دور آن میچرخند بنظر میرسید جهان ما مجموعه ای چنین سیستم هایی باشد و خارج از چنین سیستمی تنها میتوان اجرامی را تصور کرد که یا سر گردانند یا به هم برخورد میکنند بدون آنکه در یک «سیستم پایدار» بتوانند قرار بگیرد. اما چنین چیزی درست نیست!

در سال ۱۸۹۹ هنری پوانکاره به صورت ریاضی اثبات کرد که راه حل های ممکن برای مساله ی سه جسم (که چند جسم مانند سامانه ی خورشیدی ما بخشی از آن است) بی نهایت است! اما شرایط خاصی وجود دارد. اگر سه سیاره درگیر دارای جرم مساوی باشند چنین راه حل هایی پایدار هستند. در طول قرن بیستم ریاضیدانان ابتدا با روش های عددی و بعدها توسط کامپیوتر ها به جستجوی چنین راه حل هایی بر آمدند. در آخرین تلاش در سال ۲۰۲۳ گروهی از پژوهشگران ۱۲۴۰۹ راه حل جدید برای مساله ی سه جسم پیدا کردند که پایدار هستند. در شکل زیر تنها بیست مثال از آن ها را میبینید. اما چرا چنین سامانه هایی را نمیبینم؟ یکی از دلایل آن این است که شرط مساوی بودن جرم بسیار اساسی است اگر جرم ها حتی اگر با هم کمی تفاوت داشته باشند دینامیک در نهایت غیر پایدار است. با این حال می توان انتظار داشت که چنین سیستم هایی در جهان ما وجود دارند و برخی از آن ها هم مشاهده شده اند.

حالا سوال دیگری که پیش می آید این است که آیا سامانه ی خورشیدی ما پایدار است یا خیر؟ در این مورد باید گفت که چنین سامانه ای تا حد بسیار زیادی پایدار است و اندازه گیری ها نشان می دهند که حداقل تا چند میلیارد سال دیگر نگرانی از بابت برخورد سیارات به هم وجود ندارد.

این یافته اما نشان دهنده ی موضوع بسیار عمیقی است که در چند پست اخیر بر روی آن تمرکز بیشتری داشتیم: فهم ما از دینامیک در حال تغییر است و بر خلاف تصور گذشته که قوانین فیزیک تنها راه حل های ساده را نشان می دهند در عمل می توان دید که موسیقی دینامیک بسیار پیچیده تر و زیباتر است و کند و کاو بیشتر در آن سرچشمه هایی از آنچه پیچیدگی میشناسیم را نمایان می کند.

بیست راه حل برای مساله ی سه جسم با جرم مساوی

آیا به ناظم نیاز داریم؟ (قسمت ۲)

قبل از هر چیز باید به این موضوع توجه کرد که «حیات» یا فرآیند های زنده در یک فضای فاز مشخص قرار نگرفته اند بلکه همواره در حال جستجو و محک مرز های خودشان هستند. به طور مثال اگر یک سلول زنده در بدنتان را در نظر بگیرید تنها وظیفه ی چنین سیستمی بقا از طریق مصرف انرژی نیست بلکه فراتر از آن جستجوی پارامتر های جدید در فضای فاز است. به همین دلیل سلول های شما به صورت مداوم مسیر های متفاوتی را امتحان می کنند و در حال یافتن مسیر های جدید برای انجام کارهای پیشین یا مسیر های بکلی جدید برای انجام کارهای جدید هستند. در زیست شناسی گاهی چنین فرآیند بسیار پیچیده و چند لایه ای را در قالب جهش random mutation شناخته می شود. با این حال چنین فرآیندی یک فرآیند تصادفی قاعده مند است و نه صرفا امتحان کردن همه ی حالات. صد البته گاهی چنین مسیر هایی به بن بست های بدی ختم می شوند که مشخص ترین مثال آن سلول های سرطانی است. بدن شما هر روز سلول های سرطانی ایجاد می کند و این بخشی از فرآیند جستجو (exploration) چنین سیستمی است.

نکته ی بعدی این است که جستجو فقط در سطح ژنتیک انجام نمی شود بلکه «حیات» از اساس سیستمی است که در مقیاس های مختلف کار می کند (scale free). بنابراین جستجو نه تنها در سطح ژن بلکه در سطح سلول و ارگان و حتی موجود زنده و زیست بوم رخ می دهد. در هر لایه سیستم توانایی تصمیم گیری بر اساس ورودی هایی که به آن وارد می شود را دارد. (ادامه لینک زیر)

https://vrgl.ir/LwlyZ

🔵ریاضیات: بازی کنترل احساسات🔵

ریشه عربی کلمه «ریاضیات» به معنی «ریاضت کشیدن»، «پرهیز» یا «تمرین خودداری اجباری از لذت‌های جسمانی» است. اما چرا اینطور است؟ این موضوع وقتی به کلاس‌های ریاضی در مدرسه فکر می‌کنید چندان عجیب به نظر نمی‌رسد! بسیاری از افراد ریاضی را خسته‌کننده، ناامیدکننده و دشوار برای فهم می‌دانند. در واقع، ریاضی اغلب اعتماد به نفس دانش‌آموزان را در سال‌های تحصیلی‌شان متزلزل می‌کند. این درس معمولاً طیفی از احساسات ناخوشایند را برمی‌انگیزد که بیشتر ما ترجیح می‌دهیم از آنها اجتناب کنیم. دکتر «جوآن روزنبرگ» هفت مورد از این احساسات ناخوشایند را شناسایی کرده است: غم، شرم ، درماندگی، خشم، آسیب‌پذیری، خجالت، ناامیدی، سرخوردگی

ریاضی می‌تواند بسیار ناخوشایند باشد، طوری که شما را ناامید یا حتی عصبانی کند، به خصوص وقتی نتوانید به پاسخ‌های درست برسید. این احساسات می‌توانند حتی شدیدتر شوند اگر والدینی داشته باشید که به تحصیلات شما بسیار اهمیت می‌دهند. به عنوان کسی که سال‌ها ریاضی تدریس کرده، این موضوع را به خوبی مشاهده کرده‌ام. واضح است که بسیاری از دانش‌آموزان از عملکرد خود در ریاضی احساس شرم و درماندگی می‌کنند. در نتیجه، بسیاری از آنها خود را قانع می‌کنند که ریاضی در زندگی‌شان اهمیتی ندارد، پس چرا باید با این همه احساسات ناخوشایند دست‌و‌پنجه نرم کنند؟

مقابله با احساسات ناخوشایند محدود به ریاضی نیست—این بخشی از زندگی است. همه ما این احساسات را در درجات مختلف تجربه می‌کنیم و اگرچه اجتناب از آنها ممکن است در کوتاه‌مدت آسان به نظر برسد، اما روانشناسان نشان داده‌اند که در بلندمدت کمکی نمی‌کند. پیدا کردن راه‌حل‌هایی که ما را به مواجهه با این احساسات تشویق کند، به جای نادیده گرفتن آنها از طریق حواس‌پرت کردن ذهن با اینترنت و فضای مجازی، برای رشد عاطفی ضروری است.

زندگی پر از چالش است و از بسیاری جهات شبیه به ریاضیات است. ناراحتی عاطفی در تلاش برای اجتماعی شدن برای افرادی که ذاتاً برون‌گرا نیستند، سختی یادگیری یک مهارت جدید—چه یادگیری یک زبان خارجی، برنامه‌نویسی یا ادامه دادن به تمرینات ورزشی با وجود ندیدن نتایج فوری—همگی نمونه‌هایی از تنظیم هیجانی و تاب‌آوری در عمل هستند. مطالعات نشان می‌دهند که کودکانی که از سنین پایین تشویق می‌شوند مشکلات خود را به تنهایی حل کنند—مانند یاد گرفتن بستن بند کفش، آماده کردن غذا برای خود یا دوستیابی به صورت مستقل—معمولاً زودتر تاب‌آوری را یاد می‌گیرند. آنها توانایی بیشتری در تحمل ناراحتی و عبور از موقعیت‌های دشوار پیدا می‌کنند.

جای تعجب نیست که بزرگ‌ترین اختراعات، اکتشافات و موفقیت‌ها اغلب پس از دوره‌های طولانی از شکست، ناامیدی و دل‌شکستگی به دست می‌آیند. توانایی تحمل و پایداری در برابر این سختی‌ها برای رشد ضروری است. یادگیری ریاضیات، برای مثال، ذاتاً دشوار است—و دقیقا همین نکته اصلی است. اگرچه ممکن است سرزنش معلمان، مدارس یا سیستم آموزشی آسان به نظر برسد، اما حقیقت این است که موفقیت در نهایت به اراده خود شما برای رویارویی با چالش‌ها بستگی دارد. حتی وقتی هیچ‌کس برای کمک وجود ندارد، باید به خودتان تکیه کنید، زیرا در نهایت، این شما هستید که به خودتان کمک میکند.

برخلاف آنچه بسیاری فکر می‌کنند، درخشش در ریاضیات به هوش ذاتی یا منابع عجیب و غریب مثل معلم های خوب بستگی ندارد—بلکه به مدیریت احساسات مرتبط است. شاید این موضوع تعجب‌آور باشد، اما کسانی که در ریاضی خوب هستند معمولاً راه‌هایی پیدا می‌کنند تا ناراحتی ناشی از ندانستن پاسخ و ناامیدی از شکست را برای زمان های طولانی تحمل کنند و با این حال به تلاش ادامه دهند. این شبیه به یک تمرین ذهنی است که ارزش تحمل احساسات ناخوشایند و لذت‌های تأخیر در پاداش را آموزش می‌دهد.

اما همه این‌ها بدون پاداش نیست! با وجود چالش‌هایش، ریاضیات یکی از شیرین‌ترین لذت‌هایی را ارائه می‌دهد که می‌توان تجربه کرد. یادگیری و تمرین ریاضی به شما یک قدرت فوق‌العاده می‌بخشد—توانایی دیدن جهان به شکلی که هرگز تصور نمی‌کردید. ریاضیات به شما اجازه می‌دهد سمفونی واقعیت را بشنوید و شاهکار جهان را تحسین کنید، و حس عمیقی از شادی را به ارمغان می‌آورد. همان‌طور که «برتراند راسل» می‌گوید:

«ریاضیات، اگر درست دیده شود، نه تنها حقیقت بلکه زیبایی والایی را در بر دارد—زیبایی‌ای سرد و پر ابهت، مانند آنچه در پیکرتراشی می‌بینیم، بدون جذابیت برای بخش‌های ضعیف‌تر طبیعت ما، بدون زرق و برق نقاشی یا موسیقی، اما به طور بی‌نهایت خالص و توانمند از کمالی که تنها بزرگ‌ترین هنرها می‌توانند نشان دهند.»

🔵انتشار ریچی: انیمیشن جهان🔵

یک روز زمانی که در مدرسه ابتدایی بودم یکی از بچه ها دستش رو بلند کرد و سوال عجیبی از معلم پرسید: چرا چیزایی که توی فضان مثل زمین و ماه و خورشید کره ای شکل هستند و نه شکل دیگری مثلا مکعب؟ معلم تعجب کرد و طبق معمول با مسخره کردن گفت پس میخوای چه شکلی باشن؟ اما بنظر من سوال مسخره نبود فقط خیلی سوال عجیبی بنظر میرسید و به همین خاطر همیشه در ذهنم موند!

از یک طرف معلومه خیلی از این اجرام آسمانی اول خیلی داغ بودن چیزی شبیه به یک مایع و بعد کم کم انرژی از دست دادن و شکل نهایی خودشون رو پیدا کردن. به صورت شهودی میشه تصور کرد که وقتی یک قطره آب در وسط فضا (بدون گرانش) قرار بگیره شروع میکنه به لرزیدن و وول خوردن و کم کم وقتی پایدار شد به شکل یک کره در بیاد. این تصویر شهودی قدم اول خوبیه اما دقیقا چرا باید همچین اتفاقی بیفته؟ چه چیز خاصی در کره هست که در شکل های دیگه نیست؟ اول باید به این نکته توجه کنیم که دو نیرو هستند که سرنوشت گلوله ی داغ اولیه رو مشخص میکنند یکی گرانش که قسمت های مختلف شکل اولیه (که هنوز به صورت یک مذاب مایع هست) رو به سمت هم میکشه و یک نیروی درونی به بیرون که مقاومت ذرات برای نزدیک شدن به هم یا همون نیروی الکترومغناطیسی. این دو نیرو در جهات مخالف کار میکنند و شکل نهایی اون گلوله ی نامنظم اولیه رو تعیین میکنن. میشه گفت که هر شکلی توی فضا یک انرژی مشخص داره و این انرژی مثل همه ی منابع انرژی دیگه میخواد در پایین ترین حالت خودش باشه. منظور از انرژی اینجا وضعیت قسمت های مختلف اون شکل در میدان نیروهاست. مثلا اگه شما ده تا لیوان رو روی هم قرار بدید انرژی بالایی داره (اگه قبول ندارید یک هل کوچک بدهید تا ببینید چه اتفاقی میفته). اما وقتی لیوان ها همه فروریختن انرژی به پایین ترین سطح میرسه. هر وقت یک چیزی رو به حالت خودش رها کنیم انرژی از دست میده و به تعادل یا پایین ترین سطح انرژی میرسه. یک نمونه ی دیگه «پدیده ی انتشار» یا diffusion هست. این فرآیند یکی از مهمترین فرآیندهای طبیعیه که باعث میشه سیستم ها انرژی از دست بدن. حالا اینها چه ربطی به کره داره؟

این نکته ی جالبی ست که در مطالعه ی هندسی چنین شکل هایی در هندسه ریمانی به آن انتشار ریچی ricci flow گفته می شود خودش رو نشون میده. انتشار ریچی پدیده ایه که در اون چروک های روی یک سطح به تدریج از دست میرن تا صاف تر بشن. حالا سوالی که پیش می آید اینه که سرعت تغییرات و صاف شدن چروک ها چقدر با «چروک» بودن آنها رابطه دارد؟ آزمایش نشون میده که این رابطه مستقیمه! یعنی جاهایی که بیشتر چروکه سریع از همه جمع می شه. این معادله دقیقا مانند معادله ی انتشار (مایعات یا گرما) است که در آن قسمت های گرم تر یک سطح فلزی که در دماهای مختلف قرار گرفته سریع تر انرژی از دست می ده! معادله ی ریچی یک انمیشن زیبا به جهان ما می ده. انمیشنی که در آن چیزهای مختلف به هم تبدیل می شوند (نه لزوما همیشه به صورت یک کره). این انیمیشن مشخص می کنه که چطور چیزهای مختلف در طبیعت به هم تبدیل می شوند. این معادله مشخص می کنه که کره کمترین سطح انرژی ممکن رو داره! این به صورت شهودی هم میشه دید. کره انگار صاف ترین چیزیه که میتونیم تصور کنیم! هیچ چروکی از هیچ اندازه ای روش نیست!

معادله ی ریچی آنچنان قدرتمنده که پرلمن از اون برای اثبات حدس پوانکاره استفاده کرد. اما کابردهای معادله ی ریچی همانطور که گفتیم فراتر از توضیح این که چرا اجرام کره ای شکل هستند می ره. این معادله تعیین می کنه که چگونه فرآیند های متفاوت مثل متابولیسم پیچیده و عجیب موجودات زنده اینقدر بهینه شده و هر قدم توی اون با دقت شگفت انگیزی بعد از قدم بعدی قرار می گیره. معادله ی ریچی در تفسیر آنتروپی اون توضیح می ده که چگونه آنتروپی شکل منظمی به جهان ما میده و منجر به ظهور سیستم های زنده میشه. یکی از کابردهای او را میشه در تکنولوژی های مدل های دیفیوژن (diffusion models) در هوش مصنوعی دید. در این مدل ها می شه پیچیده ترین توزیع های احتمالاتی را بر اساس اصول ساده ی دیفیوژن یادگرفت! امروز برای شما عجیب نیست که یک تصویر دقیق که با عکس مو نمیزند را از این مدل ها بگیرید.

کلام آخر آنکه هیچ سوالی احمقانه نیست و هر چه سوال عجیب تر نشان بهتری از موضوعاتی است که خیلی از ما ها آن را زیر سوال نمیبریم بخصوص اگر دیگر ذهن کنجکاو کودکی خود را از دست بدهیم.

انتشار ریچی نشان میدهد که چطور یک کره از یه شکل غیر کروی ساخته می شود

جاهایی که چروک ترند با سرعت بیشتری جمع می شوند!

🔵مدل های انتشار (diffusion models): موتور هوش مصنوعی مدرن! 🔵

تا به امروز حتما شما هم به یکی از کارهای شگفت انگیز تولید تصاویر بسیار با کیفیت توسط هوش مصنوعی برخورد کرده اید! تولید کردن تصاویر با چنین کیفیتی تا حتی چند سال پیش شبیه به رویا بود! اما دلیل این موفقیت شگرف از کجا می آید؟

یکی از مسیر های بسیار معمول مدل سازی های سنتی در هوش مصنوعی که در نهایت به تولد شبکه های عصبی منجر شد از قضا از ترمودینامیک شروع شد! بر خلاف بیشتر آنچه که می خوانید شبکه های عصبی شباهت کمتری به مغز و شباهت بیشتری به یک سیستم ترمودینامیکی مثل یک دسته از مولکول های یک گاز یا کریستال را دارند. در این سیستم ها آنچه بیش از همه اهمیت دارد «انرژی» و «آنتروپی» است. به این مفاهیم برمیگردیم اما قبل از آن باید به بخش جالبی از ترمودینامیک اشاره کنیم که بر اساس مدل سازی پدیده های تصادفی مثل حرکت تصادفی ذرات هوا بر میگردد. این مدل سازی با مقاله ی مهم آینشتین در مورد حرکت براونی در سال ۱۹۰۵ آغاز شد. مطالعات بسیار بر روی این حوزه منجر به ساخت «حساب» (calculus) های جدیدی شد که حرکت های تصادفی را توصیف می کردند. به طور مثال در یک گاز هر مولکول در اثر دو نیرو یعنی حرکت های تصادفی اطراف و حرکت کششی که ناشی از یک میدان خارجی مثل جاذبه است حرکت می کند. معادلاتی که چنین حالاتی را توصیف میکنند به معادلات فوکر پلانک شناخته می شوند. اگر شما یک قطره جوهر را در یک ظرف آب بریزید به مرور زمان منتشر شده و کامل یکنواخت می شود. نتیجه ی این دینامیک همیشه مشخص است: از بین رفتن کامل ساختار اولیه! گویی معادله ی انتشار (diffusion) هر آنچیزی که در طبیعت خراب می شود و از بین میرود را مدل سازی می کند! یک فرم دیگر انتشار معادله ی گرماست که در پست قبلی به آن اشاره کردیم. هر گونه الگوی اولیه در گرما بر روی یک فلز به تدریج یکسان شده و به تعادل می رسد!

این حساب ها به طور واضح فرآیند «از بین رفتن اطلاعات» را توصیف می کنند. در سال ۱۹۸۲ اندرسون در مقاله ای بسیار کلیدی سوال جالبی پرسید؟ اگر انتشار (دیفیوژن) فرآیند از بین رفتن اطلاعات را توصیف می کند و اساسا معادله ای برگشت ناپذیر (irreversible) است چه چیزی آن را برگشت پذیر (reversible) می کند؟

دقت کنید ساده ترین معادله ای برگشت ناپذیر دو حالت را به یک حالت میبرد. به طور مثال اگر من دو تاس را بندازم و عددهای هر دو را با هم جمع کنم و نتیجه را به شما بدهم شما به هیچ وجه نمی توانید عددهای اولیه را پیش بینی کنید. آنچه اما می توانید انجام دهید مجموعه ای از حدس هاست! معادله ی اندرسون به این ترتیب به این سوال پاسخ می دهد که احتمال هر حدس چیست. بعضی ترکیبات دارای احتمال بیشتر و بعضی کمتر هستند. به طور مثال اگر من به شما بگویم که نتیجه ‍۱۲ است شما براحتی می توانید حدس بزنید که دو مقدار اولیه ۶ بودند چون جمع دو تاس تنها در یک حالت می توانند ‍۱۲ باشد! اما این احتمال برای ۷ بسیار پخش تر است چون عدد های اولیه می تواند (۳و ۴) (۴و ۳) (۱و ۶) (۶و ۱) و (۲و ۴) و (۴و۲) باشد. اینجا حدس زدن مرحله ی پیش سخت تر می شود. اما معادله ی پخش این کار را یک بار بلکه بارها انجام میدهد. این من را به یاد بازی ای می اندازد که زمانی که بچه بودیم انجام میدادیم. یک نفر وارد اتاق شده و وسایل درونش را به هم میریزد. کسی که به اتاق بر میگردد باید بر اساس چیزی که یادش است حدس بزند که چی چیزی جابجا شده است! برای انجام این کار شما تنها به حافظه ی چند دقیقه ی پیش خود اکتفا نمیکنید بلکه به تمام حافظه های پیشین در مورد آن اتاق و حتی دانش عمومی در مورد یک اتاق مراجعه می کنید. مثلا به طور معمول لیوان بر روی استکان است و نه برعکس! این فرآیند معکوس اگر درست انجام شود به پیکربندی اصلی اتاق بر میگردد!

حالا بیایید کمی دقیق تر شویم. اگر شما یک نویز در تابع g و یک کشش (در شکل یک میدان) f داشته باشیم. و آن را بر یک عکس بارها و بارها اعمال کنیم به تدریج این عکس به نویز کامل تبدیل می شود. اما اگر بخواهیم این فرآیند را معکوس کنیم نیاز داریم در جهتی حرکت کنیم میزان شانس ما برای ساختن دوباره ی عکس را بیشتر کند! این جهت در مشتق جهتی (دلتا) مشخص می شود. دقت کنید که این جهت با توجه به قدم ما در فرآیند به سوی عکس تغییر می کند. اما منظور ما از شانس چیست؟ شانس همان احتمال تصویر اولیه است (یا همان حافظه ی ما از اتاق) اما ما با لگاریتم آن کار میکنیم. دلیل این کار این است که وقتی لگاریتم احتمال چیزی را حساب میکنیم در واقع «اندازه ی کد» (code length) لازم برای توصیف آن را محاسبه می کنیم. این «اندازه ی کد» در اصطلاح ترمودینامیکی به معنای «انرژی» هم هست. برای مثال در مورد دو تاس این اندازه ی کد همان تعداد حالات می شود! به صورت کلی ما احتمال یک پیکربندی (configuration) مورد نظر x را به صورت p(x) ~ exp(-E(x)) توصیف میکنیم. به این ترتیب می توان گفت ما در جهتی حرکت میکنیم که «اندازه کد» یا «انرژی» را به حداقل برساند.