И другая пара препринтов того же дня:
• наш с Андресом https://arxiv.org/abs/2607.11748
• и Максимилиано Эскайолы https://arxiv.org/abs/2607.11616 , безумно красиво модифицирующий нашу с Андресом конструкцию — и строящий контрпример к стоявшему 45 лет вопросу Dusa McDuff! (Подробности будут, конечно 🙂 )
Хороший был день, насыщенный 🙂

Claude Fable построил контрпример к гипотезе Якобиана.

Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение
ℂ^n → ℂ^n,
определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение.

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture

Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году.

Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом.
https://alpo.ge/

20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable:

https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566

Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением:
(
(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) ,
y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) ,
2 x - 3 x^2 y - x^3 z
)

Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).

x.com/davikrehalt/status/2079175065695035442

«GPT:
Take π: P¹ × Sym²(P¹) → Sym³(P¹), (p, {q,r}) ↦ {p,q,r}.
R be its ramification divisor;
H ⊂ Sym³(P¹) ≅ P³ be hyperplane tangent but not osculating to the small diagonal;
X := (P¹ × Sym²(P¹)) \ (R ∪ π⁻¹(H)) ≅ A³;
Y := Sym³(P¹) \ H ≅ A³.
π|X: X → Y is counterexample»

www.mathnet.ru/php/conference.phtml?eventID=27&confid=2780&option_lang=rus&if_videolibrary=1

становятся доступны видеозаписи некоторых лекций проходящей сейчас Летней школы «Современная математика» имени Виталия Арнольда:

В.И.Богачев про задачи Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки,
А.Ю.Окуньков про гипергеометрические функции,
А.П.Веселов про спектральную форму многогранников

Король приготовил N мудрецам испытание: каждому назначено целое число от 1 до N+1, все назначенные числа различны. Каждому мудрецу король даёт N−1 «чужих» карточек с числами, назначенными остальным мудрецам. После этого все мудрецы по сигналу выкладывают перед собой ровно по одной из этих карточек. Мудрецы считаются выдержавшими испытание, если каждый из них, посмотрев на выложенные карточки, сможет верно назвать королю «своё» число. Как мудрецам договориться, чтобы гарантированно пройти испытание?

// к дню рождения Константина Кнопа — предлагаем решить такую его задачу (предлагалась на устном туре Турнира городов этой весной; решение можно прочитать, например, в августовском Квантике)

До начала затмения остаётся всего несколько часов, так что на всякий случай напомню: и без защиты, и даже через обычные солнечные очки прямо на Солнце смотреть нельзя, они на это не рассчитаны. Берегите ваши глаза, пожалуйста!

15 сентября столетний юбилей отмечает французский математик Жан-Пьер Серр. Поздравляем юбиляра и желаем долгих лет активной творческой жизни!
В нашем издательстве вышло пять томов его собрания сочинений и готовится к выходу шестой том.

к сегодняшнему 100-летию Серра — его свежее интервью

от группы Бурбаки в 40-х годах до «I kept rock climbing (Fontainebleau boulders, and also Chamonix training cliff “Les Gaillands”) until I was about 95»

ВрАГИ сожгли родную хату доказали гипотезу Артина о примитивных корнях (любое число примитивный корень по модулю многих простых), гипотезу Нагаты (о минимальной степени кривой с кучей особых точек общего положения), иррациональность числа Каталана, гипотезу Малера (про объёмы двойственных тел), гипотезу Капланского (о делителях нуля) и многое, многое, многое другое...

По последней ссылке в сообщении выше — https://github.com/openai/math/tree/main/preprints — список результатов пунктов где-то на семьсот, при беглой прикидке (там список ненумерованный). Включая (!!!) вторую часть 16-й проблемы Гильберта (оценку на число предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени; утверждается, что равномерная оценка существует, при том, что раньше это не было известно даже для квадратичных векторных полей):
https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/uniform-bounds-for-planar-polynomial-limit-cycles-September-24-2026/uniform-bounds-for-planar-polynomial-limit-cycles-September-24-2026.pdf

от длинного списка в github.com/openai/math/blob/main/overview.pdf глаза разбегаются, хочется выбрать несколько конкретных результатов оттуда… вот что ответил на такую просьбу сам chatgpt:

(Техническая оговорка самого ChatGPT: результаты получены не этой версией ChatGPT, а другой внутренней моделью.)

1. Десятая проблема Гильберта над ℚ. Утверждается, что не существует алгоритма, который по многочлену с целыми коэффициентами определяет, имеет ли он рациональный корень. Исходная десятая проблема Гильберта для целых чисел давно решена отрицательно; рациональная версия оставалась одной из центральных открытых задач диофантовой геометрии. Пока без Lean-формализации.

2. Шестнадцатая проблема Гильберта — число предельных циклов. Не вся проблема целиком, но знаменитый вопрос: существует ли для каждого d конечная граница H(d) на число предельных циклов плоского полиномиального векторного поля степени d? Каталог утверждает, что да. Общий результат пока не формализован; в Lean проверен только частный случай.

3. «Квази-гипотеза Римана». Для ζ(s) и всех функций Дирихле L(s, χ) утверждается отсутствие нулей в полуплоскости Re s > 7/8. Это, конечно, далеко не RH с критической прямой Re s = 1/2, но качественно гораздо сильнее известных областей без нулей, сужающихся к прямой Re s = 1. Этот результат формализован в Lean.

4. Гипотеза Ходжа для CM-абелевых многообразий. Утверждается рациональная гипотеза Ходжа для всех комплексных абелевых многообразий CM-типа, во всех размерностях и коразмерностях; в том же семействе — результаты для произведений K3-поверхностей. Если всё верно, последствия очень серьёзные: через теоремы Милна отсюда, в частности, получается гипотеза Тейта для всех абелевых многообразий над конечными полями. Это один из самых крупных, но пока не Lean-формализованных пунктов списка.

5. Unique Games Conjecture Хотта. Одна из центральных гипотез теории сложности и аппроксимационных алгоритмов: модель заявляет её положительное решение. Вместе с этим получаются точные пороги NP-трудности для ряда классических задач вроде Max-Cut и Vertex Cover. Основной результат есть в Lean.

6. Хроматическое число плоскости не меньше шести. В задаче Хадвигера—Нельсона надо раскрасить плоскость так, чтобы точки на расстоянии 1 имели разные цвета. До сих пор было известно 5 ≤ χ(ℝ²) ≤ 7; здесь утверждается, что пяти цветов недостаточно, так что остаются только 6 или 7. Причём без каких-либо предположений измеримости цветов. Формализация в Lean есть.

7. Контрпример к гипотезе Капланского о делителях нуля. Построена конечно заданная группа без кручения G, для которой групповая алгебра 𝔽₂[G] всё-таки имеет ненулевые делители нуля. Рядом в каталоге лежит целый пакет других контрпримеров к гипотезам о групповых алгебрах. Основной контрпример формализован.

8. Контрпример к гипотезе Уолла D(2). Уолл спрашивал: если конечный 3-мерный CW-комплекс X имеет «гомологически двумерное» универсальное накрытие и H³(X; M) = 0 для всех локальных систем коэффициентов M, обязан ли X быть гомотопически эквивалентен конечному 2-мерному CW-комплексу? Каталог заявляет отрицательный ответ. Пока без Lean.

9. Дискретное преобразование Фурье быстрее n log n. Заявлен точный алгоритм сложности O(n (log n)^(1−δ)), где δ = 10⁻¹³, то есть впервые пробивается классический рубеж FFT n log n — правда, в модели точной комплексной арифметики с довольно свободными коэффициентами. Пока без Lean.

10. Умножение целых чисел быстрее n log n. Для двух n-битных чисел заявлено O(n (log n)^(1−κ)), где κ = 2⁻¹⁸². Выигрыш совершенно микроскопический, но качественно это пересекает рубеж n log n и опровергает старую гипотезу Шёнхаге—Штрассена об оптимальности этого порядка в обычной многоленточной модели машины Тьюринга. Пока без Lean.

(Существенный дисклеймер: сама OpenAI подчёркивает, что результаты находятся на разных стадиях проверки, а часть
нефомализованных доказательств может содержать ошибки.)