А ещё — там было очень интересное место, которое от нас потребовало существенной аккуратности.

Отображение x->2x на окружности необратимо. Но давно придумали конструкцию (соленоид Смейла-Вильямса), как можно за счёт увеличения размерности превратить его в обратимое. А именно, рассматривается отображение полнотория S^1\times D в себя,
(x,z) -> (2x mod 1, (z/10) + exp(2πix)),
которое на каждом диске-меридиане сильно сжимает, и «разносит в стороны» образы дисков. Получается обратимое отображение полнотория внутрь себя, которое можно итерировать, диффеоморфизм на образ. У Юлия Сергеевича Ильяшенко в его брошюре
https://old.mccme.ru//dubna//books/pdf/ilyashenko-attr.pdf
есть соответствующая картинка на с. 9.

А нельзя ли это отображение продолжить на всю сферу? Хочется сказать, что образ полнотория незаузлен, так давайте отображение в него зададим как перетаскивание (изотопию) полнотория из исходного положения в конечное, ну и по теореме о продолжении изотопии (как если бы пространство вокруг было заполнено вязким гелем) продолжим до отображения всего пространства в себя (а ещё лучше, сферы S^3, добавив точку на бесконечности).

Так вот, оказывается, тут есть подводный камень! Чтобы отображение можно было перетащить в тождественное, нужно добавить « скручивание » вдоль центральной оси полнотория. Или наоборот: если сложить провод (или толстую верёвку) колечками, а потом попробовать потянуть за концы, провод пойдёт петельками из-за скручивания вдоль.

Когда до нас это дошло, я сказал Винсенту, что он, наверное, не застал эту эпоху, а вот когда были проводные телефоны, провод телефона всегда так делал. На что получил замечательный ответ, что проводные телефоны он действительно не застал, зато на проводных наушниках на это натыкался неоднократно.

И другая пара препринтов того же дня:
• наш с Андресом https://arxiv.org/abs/2607.11748
• и Максимилиано Эскайолы https://arxiv.org/abs/2607.11616 , безумно красиво модифицирующий нашу с Андресом конструкцию — и строящий контрпример к стоявшему 45 лет вопросу Dusa McDuff! (Подробности будут, конечно 🙂 )
Хороший был день, насыщенный 🙂

Claude Fable построил контрпример к гипотезе Якобиана.

Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение
ℂ^n → ℂ^n,
определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение.

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture

Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году.

Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом.
https://alpo.ge/

20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable:

https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566

Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением:
(
(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) ,
y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) ,
2 x - 3 x^2 y - x^3 z
)

Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).

x.com/davikrehalt/status/2079175065695035442

«GPT:
Take π: P¹ × Sym²(P¹) → Sym³(P¹), (p, {q,r}) ↦ {p,q,r}.
R be its ramification divisor;
H ⊂ Sym³(P¹) ≅ P³ be hyperplane tangent but not osculating to the small diagonal;
X := (P¹ × Sym²(P¹)) \ (R ∪ π⁻¹(H)) ≅ A³;
Y := Sym³(P¹) \ H ≅ A³.
π|X: X → Y is counterexample»

www.mathnet.ru/php/conference.phtml?eventID=27&confid=2780&option_lang=rus&if_videolibrary=1

становятся доступны видеозаписи некоторых лекций проходящей сейчас Летней школы «Современная математика» имени Виталия Арнольда:

В.И.Богачев про задачи Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки,
А.Ю.Окуньков про гипергеометрические функции,
А.П.Веселов про спектральную форму многогранников

Король приготовил N мудрецам испытание: каждому назначено целое число от 1 до N+1, все назначенные числа различны. Каждому мудрецу король даёт N−1 «чужих» карточек с числами, назначенными остальным мудрецам. После этого все мудрецы по сигналу выкладывают перед собой ровно по одной из этих карточек. Мудрецы считаются выдержавшими испытание, если каждый из них, посмотрев на выложенные карточки, сможет верно назвать королю «своё» число. Как мудрецам договориться, чтобы гарантированно пройти испытание?

// к дню рождения Константина Кнопа — предлагаем решить такую его задачу (предлагалась на устном туре Турнира городов этой весной; решение можно прочитать, например, в августовском Квантике)

До начала затмения остаётся всего несколько часов, так что на всякий случай напомню: и без защиты, и даже через обычные солнечные очки прямо на Солнце смотреть нельзя, они на это не рассчитаны. Берегите ваши глаза, пожалуйста!

15 сентября столетний юбилей отмечает французский математик Жан-Пьер Серр. Поздравляем юбиляра и желаем долгих лет активной творческой жизни!
В нашем издательстве вышло пять томов его собрания сочинений и готовится к выходу шестой том.

к сегодняшнему 100-летию Серра — его свежее интервью

от группы Бурбаки в 40-х годах до «I kept rock climbing (Fontainebleau boulders, and also Chamonix training cliff “Les Gaillands”) until I was about 95»