Forwarded from Непрерывное математическое образование
zykin.mccme.ru
в четверг (11.06) в МИАН будет десятая конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
11:00 Сергей Давыдов. Стабильность для представлений спин-симметрической группы
12:15 Алексей Устинов. Последовательности Сомоса
15:00 Виктор Петров. Мотивы Чжоу некоторых многообразий Мукаи
16:15 Михаил Цфасман. Сильно вырожденные пересечения квадрик
в четверг (11.06) в МИАН будет десятая конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
11:00 Сергей Давыдов. Стабильность для представлений спин-симметрической группы
12:15 Алексей Устинов. Последовательности Сомоса
15:00 Виктор Петров. Мотивы Чжоу некоторых многообразий Мукаи
16:15 Михаил Цфасман. Сильно вырожденные пересечения квадрик
Forwarded from Непрерывное математическое образование
arxiv.org/abs/2606.10102
Giovanni Forni выложил препринт, в котором, как утверждается, доказано существование периодических бильярдных траекторий во всех многоугольниках
Giovanni Forni выложил препринт, в котором, как утверждается, доказано существование периодических бильярдных траекторий во всех многоугольниках
Forwarded from Математические этюды
Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола.
Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко».
Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере.
Этим фильмом «Математические вторники» 2025/2026 завершаются.
Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко».
Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере.
Этим фильмом «Математические вторники» 2025/2026 завершаются.
Вот тут у коллег выложены очень красивые картинки аргумента многочлена большой степени (200) со случайными (равномерно выбираемыми на [-10,10]) коэффициентами. Картинка там под спойлером не случайно — она неожиданная. Кстати, корни многочлена со случайными коэффициентами, равными +1/-1 (подкидывая монетку) — тоже расположены довольно красиво; см. тут.
А возвращаясь к исходной картинке у коллег — мне ещё хочется вспомнить доказательство Гаусса основной теоремы алгебры, которое я узнал из книги «Математические прогулки» Этьена Жиса. В упрощённом пересказе (чтобы не оговаривать кратные корни) — если все корни простые, то кривые Re P(z) =0 и Im P(z) = 0 это гладкие кривые. При этом рядом с бесконечностью их участки чередуются — а они должны разбиваться на пары, соединяясь в гладкие кривые. Так что кому-то уж точно придётся с кем-то пересечься, а точка пересечения это и есть корень (см. рисунки по ссылке).
А возвращаясь к исходной картинке у коллег — мне ещё хочется вспомнить доказательство Гаусса основной теоремы алгебры, которое я узнал из книги «Математические прогулки» Этьена Жиса. В упрощённом пересказе (чтобы не оговаривать кратные корни) — если все корни простые, то кривые Re P(z) =0 и Im P(z) = 0 это гладкие кривые. При этом рядом с бесконечностью их участки чередуются — а они должны разбиваться на пары, соединяясь в гладкие кривые. Так что кому-то уж точно придётся с кем-то пересечься, а точка пересечения это и есть корень (см. рисунки по ссылке).
Azimuth
The Beauty of Roots
You get some interesting patterns by plotting the roots of all polynomials up to some high degree whose coefficients are all 1 or -1.
К одной оффлайновой дискуссии вчера: про предел
(1+a/n)^n -> e^a при n->\infty.
Двадцать лет назад я считал, что «правильный» способ об этом думать, это раскрыть скобки по биному, перейти к пределу почленно — из
C_n^k / n^k * a^k = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!*n^k) * a^k
предельным переходом получается a^k/k! (потому что в числителе тоже почти что n^k). Дальше получается ряд \sum_k a^k/k!, а это и есть экспонента e^a; остаётся объяснить корректность (равномерную по n сходимость этих сумм по k, ибо они мажорируются как раз рядом для экспоненты).
А подход через логарифм считал странным трюком.
А сейчас — наоборот: мне кажется, что «правильный» (ну или, как минимум, один из правильных) способов к этому подходить — это рефлекторное применение правила «Видишь [длинное] произведение — прологарифмируй!». А n-я степень это то же произведение.
Убираем под логарифм, получаем
n * \ln (1+ a/n) = n* (a/n + o(1/n)) -> a, n ->\infty,
значит, сама степень стремится к e^a.
Понятно, что можно и так, и так. Но рефлекс, что произведение всегда гораздо лучше выглядит после логарифмирования (сложение это гораздо более простая операция, а вычисление логарифмов сомножителей работает с ними по отдельности, что обычно просто) — по-моему, это рефлекс правильный…
(1+a/n)^n -> e^a при n->\infty.
Двадцать лет назад я считал, что «правильный» способ об этом думать, это раскрыть скобки по биному, перейти к пределу почленно — из
C_n^k / n^k * a^k = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!*n^k) * a^k
предельным переходом получается a^k/k! (потому что в числителе тоже почти что n^k). Дальше получается ряд \sum_k a^k/k!, а это и есть экспонента e^a; остаётся объяснить корректность (равномерную по n сходимость этих сумм по k, ибо они мажорируются как раз рядом для экспоненты).
А подход через логарифм считал странным трюком.
А сейчас — наоборот: мне кажется, что «правильный» (ну или, как минимум, один из правильных) способов к этому подходить — это рефлекторное применение правила «Видишь [длинное] произведение — прологарифмируй!». А n-я степень это то же произведение.
Убираем под логарифм, получаем
n * \ln (1+ a/n) = n* (a/n + o(1/n)) -> a, n ->\infty,
значит, сама степень стремится к e^a.
Понятно, что можно и так, и так. Но рефлекс, что произведение всегда гораздо лучше выглядит после логарифмирования (сложение это гораздо более простая операция, а вычисление логарифмов сомножителей работает с ними по отдельности, что обычно просто) — по-моему, это рефлекс правильный…
Forwarded from Арман про математику
В золотые годы моей юности, да и всего МЦНМО.
Сегодня хороший день поговорить про одного математика.
Когда я выпускался из школы, я ещё много лет везде писал «Математический класс 57 школы под классным руководством И. В. Ященко». Потом начал писать «Ященко/Мерзон», потому что всё больше замечал, что на самом деле огромную, подавляющую часть моего становления как ученика и как педагога проделал Гриша.
Для тех, кто скорее не знаком с тем, как «у нас» в математическом образовании всё устроено. Математика в РФ часто превозносится над многими науками — ресурсов там больше и позволено многое. Но, в отличие от разных других сфер, эти деньги не только пилятся — ещё и что-то появляется. Есть система олимпиад, есть выездные школы, есть какие-то пути для молодых математиков, есть культура преподавания математики, которые бизнесово неоправданны (7 педагогов на 20 детей несколько раз в неделю в течение многих лет), бесплатные для участников олимпиады и школы. Есть НМУ (университет), МЦНМО (кружки, издательство), ЦПМ, ЛШСМ, матфак ВШЭ, «Квантик», Матпраздник, Лаборатория математики при МИАН (её вы знаете, например, по «Математическим этюдам»).
Всё это случилось благодаря совокупности факторов — традициям, которые сохраняли между поколениями; людям, которые шли по административной лестнице и выбивали из государства возможность это делать; наикрутейшим педагогам, которые были освобождены от оргвопросов; и нескольким невидимым людям, которые КРОМЕ преподавания успевали ещё и двигать все эти процессы и поддерживать их.
На ум не приходит человек, который сделал бы для всех этих проектов столько, сколько Гриша.
Он учил меня в школе, учил работать на кружках, помогал, когда работали вместе, — буквально всё, что я умею, знаю, и очень многое из того, во что верю, появилось в моей жизни из-за него. Идея, что образование должно быть непрерывным и персонализированным. Как строить учебный процесс. Как искать этот баланс и на что обращать внимание. Где проявить жёсткость и какие границы должны быть, чтобы оно не распалось и не расползлось.
И конечно, ровно как и во время обучения в школе, — это никогда не было «вот так правильно, делай так». А как в листочках: такие задачи, вызовы и вопросы, заданные в правильном месте и посильные в этот момент, что это приходит само и от себя. Потратил он на меня немало сил — и ровно в эти же дни успевал составлять олимпиады, учить классы и курсы, организовывать школы…
И отдельно я признателен, что даже при такой нагрузке всё ещё могу прийти посоветоваться, узнать что-нибудь новое или что мысль, которая пришла мне в голову, уже изучена, — и получить сотни материалов для дальнейшего углубления.
Я не умещу в этот пост перечисление, достойное всех проектов и степени соучастия Гриши, поэтому ограничусь ссылкой на его страницу — https://dev.mccme.ru/~merzon/ — и ссылкой на офигенный телеграм-канал, где Гриша в этом году изучает использование компьютера для математических задач и наглядности: https://t.me/compmathweekly.
В общем-то, в соответствии со своими убеждениями (что звание на табличке гораздо менее важно, чем суть) Гриша и этот пост может посчитать излишним, но я не знаю, как ещё выразить благодарность учителю-сенсею, — а тут и повод есть.
С днём рождения, дорогой! Надеюсь еще много и по разному поработать вместе.
Привет,
А.
Сегодня хороший день поговорить про одного математика.
Когда я выпускался из школы, я ещё много лет везде писал «Математический класс 57 школы под классным руководством И. В. Ященко». Потом начал писать «Ященко/Мерзон», потому что всё больше замечал, что на самом деле огромную, подавляющую часть моего становления как ученика и как педагога проделал Гриша.
Для тех, кто скорее не знаком с тем, как «у нас» в математическом образовании всё устроено. Математика в РФ часто превозносится над многими науками — ресурсов там больше и позволено многое. Но, в отличие от разных других сфер, эти деньги не только пилятся — ещё и что-то появляется. Есть система олимпиад, есть выездные школы, есть какие-то пути для молодых математиков, есть культура преподавания математики, которые бизнесово неоправданны (7 педагогов на 20 детей несколько раз в неделю в течение многих лет), бесплатные для участников олимпиады и школы. Есть НМУ (университет), МЦНМО (кружки, издательство), ЦПМ, ЛШСМ, матфак ВШЭ, «Квантик», Матпраздник, Лаборатория математики при МИАН (её вы знаете, например, по «Математическим этюдам»).
Всё это случилось благодаря совокупности факторов — традициям, которые сохраняли между поколениями; людям, которые шли по административной лестнице и выбивали из государства возможность это делать; наикрутейшим педагогам, которые были освобождены от оргвопросов; и нескольким невидимым людям, которые КРОМЕ преподавания успевали ещё и двигать все эти процессы и поддерживать их.
На ум не приходит человек, который сделал бы для всех этих проектов столько, сколько Гриша.
Он учил меня в школе, учил работать на кружках, помогал, когда работали вместе, — буквально всё, что я умею, знаю, и очень многое из того, во что верю, появилось в моей жизни из-за него. Идея, что образование должно быть непрерывным и персонализированным. Как строить учебный процесс. Как искать этот баланс и на что обращать внимание. Где проявить жёсткость и какие границы должны быть, чтобы оно не распалось и не расползлось.
И конечно, ровно как и во время обучения в школе, — это никогда не было «вот так правильно, делай так». А как в листочках: такие задачи, вызовы и вопросы, заданные в правильном месте и посильные в этот момент, что это приходит само и от себя. Потратил он на меня немало сил — и ровно в эти же дни успевал составлять олимпиады, учить классы и курсы, организовывать школы…
И отдельно я признателен, что даже при такой нагрузке всё ещё могу прийти посоветоваться, узнать что-нибудь новое или что мысль, которая пришла мне в голову, уже изучена, — и получить сотни материалов для дальнейшего углубления.
Я не умещу в этот пост перечисление, достойное всех проектов и степени соучастия Гриши, поэтому ограничусь ссылкой на его страницу — https://dev.mccme.ru/~merzon/ — и ссылкой на офигенный телеграм-канал, где Гриша в этом году изучает использование компьютера для математических задач и наглядности: https://t.me/compmathweekly.
В общем-то, в соответствии со своими убеждениями (что звание на табличке гораздо менее важно, чем суть) Гриша и этот пост может посчитать излишним, но я не знаю, как ещё выразить благодарность учителю-сенсею, — а тут и повод есть.
С днём рождения, дорогой! Надеюсь еще много и по разному поработать вместе.
Привет,
А.
Позавчера выложили на арХив нашу работу с Vincent Goverse: https://arxiv.org/abs/2607.11421
У неё интересная история — когда только выложили препринт про гельдеровость (или строго положительную размерность) стационарных мер (https://arxiv.org/abs/2209.12342 ; потом — статья в Inventiones, https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-025-01389-y ), Винсент (тогда аспирант первого года) написал нам письмо с вопросами про этот текст; мы ответили.
Через какое-то время Винсент предложил план, как можно было бы наш результат попробовать обобщить на случай, если отображения не диффеоморфизмы, а только локально обратимые (скажем, удвоение угла x->2x на окружности). Программа звучала очень естественно, Винсент приехал ко мне… и на то ли второй, то ли третий день мы построили (максимально возможный) контрпример.
Что было совершенно неожиданно — ну и дальше мы начали копать и строить связанные с этим примеры. И вот — готово, текст дописан и выложен. Уфф!
У неё интересная история — когда только выложили препринт про гельдеровость (или строго положительную размерность) стационарных мер (https://arxiv.org/abs/2209.12342 ; потом — статья в Inventiones, https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-025-01389-y ), Винсент (тогда аспирант первого года) написал нам письмо с вопросами про этот текст; мы ответили.
Через какое-то время Винсент предложил план, как можно было бы наш результат попробовать обобщить на случай, если отображения не диффеоморфизмы, а только локально обратимые (скажем, удвоение угла x->2x на окружности). Программа звучала очень естественно, Винсент приехал ко мне… и на то ли второй, то ли третий день мы построили (максимально возможный) контрпример.
Что было совершенно неожиданно — ну и дальше мы начали копать и строить связанные с этим примеры. И вот — готово, текст дописан и выложен. Уфф!
arXiv.org
Atomic physical measures for non-invertible random dynamical systems
We construct an example of a random dynamical system on the circle, formed by maps that are only locally invertible, which possesses an atomic stationary measure~$ν$. Moreover, this measure is...
Математические байки
Позавчера выложили на арХив нашу работу с Vincent Goverse: https://arxiv.org/abs/2607.11421 У неё интересная история — когда только выложили препринт про гельдеровость (или строго положительную размерность) стационарных мер (https://arxiv.org/abs/2209.12342…
А ещё — там было очень интересное место, которое от нас потребовало существенной аккуратности.
Отображение x->2x на окружности необратимо. Но давно придумали конструкцию (соленоид Смейла-Вильямса), как можно за счёт увеличения размерности превратить его в обратимое. А именно, рассматривается отображение полнотория S^1\times D в себя,
(x,z) -> (2x mod 1, (z/10) + exp(2πix)),
которое на каждом диске-меридиане сильно сжимает, и «разносит в стороны» образы дисков. Получается обратимое отображение полнотория внутрь себя, которое можно итерировать, диффеоморфизм на образ. У Юлия Сергеевича Ильяшенко в его брошюре
https://old.mccme.ru//dubna//books/pdf/ilyashenko-attr.pdf
есть соответствующая картинка на с. 9.
Отображение x->2x на окружности необратимо. Но давно придумали конструкцию (соленоид Смейла-Вильямса), как можно за счёт увеличения размерности превратить его в обратимое. А именно, рассматривается отображение полнотория S^1\times D в себя,
(x,z) -> (2x mod 1, (z/10) + exp(2πix)),
которое на каждом диске-меридиане сильно сжимает, и «разносит в стороны» образы дисков. Получается обратимое отображение полнотория внутрь себя, которое можно итерировать, диффеоморфизм на образ. У Юлия Сергеевича Ильяшенко в его брошюре
https://old.mccme.ru//dubna//books/pdf/ilyashenko-attr.pdf
есть соответствующая картинка на с. 9.
Математические байки
А ещё — там было очень интересное место, которое от нас потребовало существенной аккуратности. Отображение x->2x на окружности необратимо. Но давно придумали конструкцию (соленоид Смейла-Вильямса), как можно за счёт увеличения размерности превратить его в…
А нельзя ли это отображение продолжить на всю сферу? Хочется сказать, что образ полнотория незаузлен, так давайте отображение в него зададим как перетаскивание (изотопию) полнотория из исходного положения в конечное, ну и по теореме о продолжении изотопии (как если бы пространство вокруг было заполнено вязким гелем) продолжим до отображения всего пространства в себя (а ещё лучше, сферы S^3, добавив точку на бесконечности).
Так вот, оказывается, тут есть подводный камень! Чтобы отображение можно было перетащить в тождественное, нужно добавить « скручивание » вдоль центральной оси полнотория. Или наоборот: если сложить провод (или толстую верёвку) колечками, а потом попробовать потянуть за концы, провод пойдёт петельками из-за скручивания вдоль.
Когда до нас это дошло, я сказал Винсенту, что он, наверное, не застал эту эпоху, а вот когда были проводные телефоны, провод телефона всегда так делал. На что получил замечательный ответ, что проводные телефоны он действительно не застал, зато на проводных наушниках на это натыкался неоднократно.
Так вот, оказывается, тут есть подводный камень! Чтобы отображение можно было перетащить в тождественное, нужно добавить « скручивание » вдоль центральной оси полнотория. Или наоборот: если сложить провод (или толстую верёвку) колечками, а потом попробовать потянуть за концы, провод пойдёт петельками из-за скручивания вдоль.
Когда до нас это дошло, я сказал Винсенту, что он, наверное, не застал эту эпоху, а вот когда были проводные телефоны, провод телефона всегда так делал. На что получил замечательный ответ, что проводные телефоны он действительно не застал, зато на проводных наушниках на это натыкался неоднократно.
И другая пара препринтов того же дня:
• наш с Андресом https://arxiv.org/abs/2607.11748
• и Максимилиано Эскайолы https://arxiv.org/abs/2607.11616 , безумно красиво модифицирующий нашу с Андресом конструкцию — и строящий контрпример к стоявшему 45 лет вопросу Dusa McDuff! (Подробности будут, конечно 🙂 )
Хороший был день, насыщенный 🙂
• наш с Андресом https://arxiv.org/abs/2607.11748
• и Максимилиано Эскайолы https://arxiv.org/abs/2607.11616 , безумно красиво модифицирующий нашу с Андресом конструкцию — и строящий контрпример к стоявшему 45 лет вопросу Dusa McDuff! (Подробности будут, конечно 🙂 )
Хороший был день, насыщенный 🙂
arXiv.org
Denjoy examples of class $C^1$ with affine dynamics outside the...
Given any irrational number, we construct a Denjoy example of class $C^1$ with this rotation number, that is exactly affine on each interval of the complement to the exceptional minimal set.
Forwarded from Математическая свалка Сепы (Sergei)
Claude Fable построил контрпример к гипотезе Якобиана.
Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение
ℂ^n → ℂ^n,
определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение.
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture
Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году.
Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом.
https://alpo.ge/
20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable:
https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением:
(
(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) ,
y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) ,
2 x - 3 x^2 y - x^3 z
)
Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).
Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение
ℂ^n → ℂ^n,
определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение.
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture
Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году.
Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом.
https://alpo.ge/
20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable:
https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением:
(
(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) ,
y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) ,
2 x - 3 x^2 y - x^3 z
)
Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).
Forwarded from Непрерывное математическое образование
x.com/davikrehalt/status/2079175065695035442
«GPT:
Take π: P¹ × Sym²(P¹) → Sym³(P¹), (p, {q,r}) ↦ {p,q,r}.
R be its ramification divisor;
H ⊂ Sym³(P¹) ≅ P³ be hyperplane tangent but not osculating to the small diagonal;
X := (P¹ × Sym²(P¹)) \ (R ∪ π⁻¹(H)) ≅ A³;
Y := Sym³(P¹) \ H ≅ A³.
π|X: X → Y is counterexample»
«GPT:
Take π: P¹ × Sym²(P¹) → Sym³(P¹), (p, {q,r}) ↦ {p,q,r}.
R be its ramification divisor;
H ⊂ Sym³(P¹) ≅ P³ be hyperplane tangent but not osculating to the small diagonal;
X := (P¹ × Sym²(P¹)) \ (R ∪ π⁻¹(H)) ≅ A³;
Y := Sym³(P¹) \ H ≅ A³.
π|X: X → Y is counterexample»