olimpiada.ru/article/1161

к 50-летию со дня рождения Сергея Маркелова (1976–2024) напомним такую небольшую подборку его задач (с комментариями) с Математического праздника, Московской математической олимпиады, Турнира городов…

dev.mccme.ru/~merzon/pscache/markelov-problems.html

еще одна подборка задач Сергея Маркелова

Петя и Вася хотят показать следующий фокус. У зрителей есть пять карточек с числами 1, 2, 3, 4, 5. Две из них они отдают Пете, две — Васе, а одну оставляют себе. Сначала Петя называет число на одной из своих карточек, затем Вася называет число на одной из своих, после чего Петя должен назвать число на карточке у зрителей. Как договориться Пете и Васе, чтобы фокус всегда удавался? (Александр Грибалко)

Вот такую задачу с сегодняшнего Матпраздника (непростую!) можно попробовать решить. На оф. сайте можно посмотреть и остальные задачи (и, естественно, указаны авторы задач): mccme.ru/matprazdnik/

Там же публикуются решения, видеоразборы.

Вот раньше в канале было видео, показывающее, что проекция тетраэдра Серпинского вдоль линии, соединяющей середины противоположных рёбер — квадрат. А сейчас коллега мне показал, какая картинка получается, если вдоль этой линии смотреть на тетраэдр, освещённый солнцем сбоку (конечно, тогда проекция получается центральной вместо параллельной, но если глаз/камера телефона достаточно далеко, то щели получаются не очень большими). По-моему, очень симпатично:

Леня @qtasep Петров со товарищи (D.Anderson, G.Panova) «present computational results related to principal specializations of the Schubert polynomials (…). We find the first counterexample, at n=17, to the conjecture of Merzon-Smirnov that the maximal value of S_w(1^n) is obtained at a layered permutation.»

https://lpetrov.cc/2026/03/schubert-computation-sampling/

вполне себе компьютерная математика — при этом не то что бы просто достаточно перебрать в лоб:

This conjecture was exhaustively verified by one of us (DA) for n≤13 in February 2025. (…) In May 2025, Adam Wagner (along with DA and Alejandro Morales) deployed Google DeepMind’s FunSearch to seek counterexamples to Conjecture. For n≤16 the heuristics found by the model did not uncover any counterexamples, providing weak evidence in favor of the conjecture in this range. (For larger n, time constraints limited the power of this method.)

https://www.ras.ru/news/shownews.aspx?id=a805da29-0049-4bf1-a388-5da6de8fb2df

поздравляем Виктора Анатольевича Васильева с юбилеем!

mccme.ru/free-books/dubna/vva-volumes.pdf
biblio.mccme.ru/node/74704

напомним книгу В.А.Васильева «Ветвящиеся объёмы и группы отражений» (по его рассказам на ЛШСМ)

«Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В.И.Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае.

В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.»

в качестве картинок по выходным — https://matema-fest.ru/gallery/

( контекст: https://t.me/turings_crossword/1541 )

несколько пренебрегая принципом «show, don't tell», хотел кратко написать про связи (местами пунктирные) между некоторыми из сюжетов здесь

начнем с конца. для рациональной точки P на эллиптической кривой знаменатель nP растет примерно как c^{n²}

раньше обсуждались замощения доминошками области на плоскости… и там часто количество замощений растет с той же асимптотикой, c^{площадь}

например, для обсуждавшегося ацтекского брильянта ответ — 2^{n(n+1)/2}. этот ответ можно «сконденсировать», доказав рекурренту M(n+1)M(n-1)=2M(n)²

бывают разные квадратичные рекурренты в таком духе, в т.ч. упоминавшиеся здесь мельком знаменитые последовательности Сомоса… и, скажем, Сомос-4, действительно, кодирует сложение на эллиптической кривой

у этого всего есть игрушечные версии: можно мостить не по настоящему двумерную фигуру, а более-менее одномерную — прямоугольник 2×N (или 3×N и т.п. — такого рода вещи где-то в начале обсуждались), тогда ответы получаются типа Фибоначчи, которые удовлетворяют [не только квадратичным, но и] линейным рекуррентам, имеют более простую асимптотику c^n

расставляя на доминошках веса, можно добиться, чтобы «одномерные» замощения считали вещи типа sin(nx) — т.е. nP не на эллиптической кривой, а просто на окружности (кажется не писал про тригонометрию доминошек здесь, только рассказывал на семинаре учителей)

хотелось бы конечно это поднять на эллиптический уровень, чтобы nP считали двумерные замощения доминошками… кажется по кр мере про Сомоса что-то такое известно… в этом тоже не разобрался

разные более конкретные вещи тоже можно пытаться переносить: скажем, F_n | F_{nm} — и вот для последовательности знаменателей nP (скажем, сгенерированных кодом из предыдущего поста конкретно) верно буквально то же… и т.п.

незаконченное обсуждение арифметико-геометрического среднего конечно тоже связано со сложением на кубике, AGM реализует «эллиптический логарифм» (это наоборот, как имея точку xP найти x… вещественное или даже комплексное)

но пока step into the elliptic realm не выходит, только трогаю пальцами холодную воду

zykin.mccme.ru

в четверг (11.06) в МИАН будет десятая конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)

11:00 Сергей Давыдов. Стабильность для представлений спин-симметрической группы
12:15 Алексей Устинов. Последовательности Сомоса
15:00 Виктор Петров. Мотивы Чжоу некоторых многообразий Мукаи
16:15 Михаил Цфасман. Сильно вырожденные пересечения квадрик

arxiv.org/abs/2606.10102

Giovanni Forni выложил препринт, в котором, как утверждается, доказано существование периодических бильярдных траекторий во всех многоугольниках