Да — ещё: небольшой (рукомахательный) комментарий про ожерелье Антуана. Несложно понять, почему оно задаёт именно канторово множество: потому что возникает обычная для канторова множества структура разделения на всё меньшие и меньшие дизъюнктные замкнутые множества (его покрывают непересекающиеся торы первого порядка, внутри каждого из есть непересекающиеся торы второго порядка, внутри каждого из которых есть непересекающиеся торы третьего порядка, и так далее…).

А почему это — топологически нетривиальное вложение канторова множества в трёхмерное пространство? Потому что, в отличие от стандартного вложения, дополнение к ожерелью Антуана неодносвязно — в нём есть петли, которые нельзя непрерывно стянуть в точку.

Возьмём, например, петлю, обходящую вокруг «главного тора» ожерелья (в дополнении к нему). Докажем, что её стянуть в дополнении к ожерелью нельзя.
Действительно, она не стягивается в дополнении к главному тору, так что, если её стягивать — в какой-то момент она тор пересечёт. Более того, она не стягивается и в дополнении к объединению торов первого порядка. И в дополнении к объединению торов второго. И так далее.
Значит, в процессе деформации она пересечёт объединение всех торов любого порядка n. А тогда (компактность + выделение сходящейся подпоследовательности по времени и по месту пересечения) найдётся и момент, когда она зацепит за пересечение всех таких объединений, то есть за само канторово множество, ожерелье Антуана.

Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника. Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.)

// задача Сергея Маркелова с не очень давней Московской математической олимпиады

в качестве картинок по выходным — непериодическое замощение Фодерберга, решающее задачу выше

А ещё это замощение коллеги используют для рубашек карточек «Мемори» — https://zadachi.mccme.ru/memory/index.html#124 (можно поиграть прямо на сайте, а я когда-то с огромным удовольствием играл настоящими напечатанными картами).
Кстати — карточки на сайте кликабельны (чтобы можно было увеличить текст; и набор объяснений для фактов там очень хороший, и сумма внешних углов многоугольника, и сумма нечётных чисел, и квадрат суммы, и так далее).

Кстати, к спирали Корню из этих карточек. Она соответствует «мнимому гауссову» интегралу от exp(i π t^2/2) — точнее, тому, как по C=R^2 бежит соответствующая первообразная. И мы похожие картинки когда-то уже видели в связи с гауссовыми суммами!

А доказательство теоремы Пифагора на этих карточках — такое, что каждая из частей, на которые квадраты разрезаются, сдвигается параллельным переносом и не поворачивается. (И вопрос про то, какие фигуры можно превратить одну в другую разрезанием на [многоугольные] части и параллельным переносом — мы тут в какой-то момент обсуждали, с ключевым словом «инвариант Хадвигера»)

многим рассказывал¹, как нарисовать «ленивый додекаэдр»: взять куб и поделить каждую грань пополам регулярным образом — как раз получится 6×2=12 граней, 8+12=20 вершин (вершины куба и середины его ребер)… вся комбинаторика получается правильная

если хочется еще и правильной геометрии — нужно просто немного всё продеформировать, это и показано в видео

¹ и даже писал в «Квантике» — см. №9 за 2025 год

***

как такое нарисовать и не перетрудиться? начнем с вершин куба — это просто все точки с координатами ±1

from itertools import product
vertices = list(product([-1,1], repeat=3))

чтобы получить додекаэдр, надо добавить еще 12 вершин… не хочется их все писать руками, но тут есть большая группа симметрий G: можно переставлять координаты по циклу и расставлять знаки — и так все новые вершины можно получить из одной, (φ,0,1/φ)… и что еще приятнее, все грани можно получить из одной

v0 = (phi,0,psi)
vertices += [g(v0) for g in G()]
f0 = [(phi,0,-psi),(1,1,-1),(psi,phi,0),(1,1,1),(phi,0,psi)]
faces = [tuple(vertices.index(g(v)) for v in f0) for g in G()]
poly = Polyhedron(vertices, faces)

(результат действия элемента g на набор точек f0 — это просто tuple(g(v) for v in f0) — но в faces надо положить не координаты этих точек, а номера соответствующих вершин)

если в качестве phi и psi взять не (±1+√5)/2, а 1, то додекаэдр превратится в куб с дополнительными вершинами в серединах ребер — и такая деформация анимируется в manim примерно в одну строчку

приведу еще код для генерации группы G

def G():
    for signs in product([-1,1], repeat=3):
        for r in range(3):
            yield lambda x: tuple(x[(i+r)%3]*signs[i] for i in range(3))

(а всё собранное целиком положу в комментарии — с использованием симметрии ~20 строк получилось… ну если с паузами и вращением камеры, то чуть больше)

***

видно, кстати, что в группе G всего 24 элемента, из которых 12 сохраняют ориентацию… а всего в группе I симметрий додекаэдра 12×5=60 вращений — получаем действие I⁺ на 60/12=5 элементах I⁺/G⁺, который дает изоморфизм I⁺≃A₅

конечно, то же можно сказать и более геометрически: G это как раз подгруппа симметрий додекаэдра, сохраняющих вписанный в него куб, а 5-элементное множество I⁺/G⁺ отождествляется с 5 вписанными в додекаэдр кубами («кубы Кеплера») — вот эти кубы I⁺ и переставляет

На обложке свежего номера «Кванта» (https://www.kvant.digital/view/kvant_2025_10/p0/ ) — фотография арки в форме перевёрнутой цепной линии в доме Каса Мила, построенном Гауди в Барселоне.

Протасов и Тихомиров в соответствующей статье используют не ту аргументацию для этой формы, которая мне привычна — так что я приведу тут другую. Камни и кирпичи, а главное, скреплящий их раствор гораздо лучше держат напряжение «на сжатие», чем «на излом». Поэтому, если мы хотим построить просто арку — то надёжнее всего она будет, если в любом её месте сила её напряжения будет направлена вдоль арки (и не будет иметь никакой перпендикулярной компоненты).

Давайте перевернём арку — отразив её относительно горизонтальной прямой вместе со всеми силами, которые действуют на каждый кирпичик. И потом у каждой силы изменим знак (красные стрелки на рисунке ниже). Если арка раньше была в равновесии (сумма сил, действующих на каждый кирпичик, равнялась нулю) — она останется в равновесии и сейчас, только теперь все силы напряжения действуют на растяжение вместо сжатия. И это буквально задача о том, как висит цепь — с ответом «цепная линия» (про который я когда-то тут писал, а у Мат. Этюдов о ней есть рассказ — https://etudes.ru/etudes/catenary/ ).

Но Гауди строил и собор Sagrada Familia (Святое Семейство). И изнутри здание поддерживают безумно красивые ветвящиеся колонны. А как можно рассчитать нагрузки — чтобы, опять же, каждой части каждой колонны приходилось бы держать продольную нагрузку без «ломающей» поперечной компоненты?

У Гауди была модель, своеобразный «аналоговый компьютер», построенная по той же самой логике. Это «перевёрнутая» модель собора — с грузиками, моделирующими сам поддерживаемый собор, и верёвочками, моделирующими колонны (и передачу напряжения вдоль них). Я её когда-то видел в музее при соборе вживую (и мне помнится, что тогда под ней было зеркало, переворачивающее её обратно) — а ниже фотография этой модели из Википедии.

Ну а вот — результат наложения, маленькая чёрно-белая ёлочка. Ещё раз — с Новым Годом!

https://mccme.ru/free-books/

Дед Мороз напоминает про страницу, на которой бесплатно доступны файлы множества книг (в основном издательства МЦНМО)

брошюры библиотеки «Математическое просвещение» и Летней школы «Современная математика», доклады семинара «Глобус» и материалы выездного семинара учителей, книги Арнольда и Гельфанда, Прасолова и Шеня и многое другое.

новогодние каникулы — как раз хорошая возможность спокойно почитать

5 января (по старому стилю) 1901 года родился выдающийся человек – Иван Георгиевич Петровский. Математик, уникальный ректор Московского Университета, по некоторым воспоминаниям «совершивший не менее десяти тысяч добрых дел». Пользуясь случаем, напомним некоторые материалы о нём.

Начать, наверное, стоит со статьи Владимира Михайловича Тихомирова (с добавлениями А.А. Кириллова и Э.Э. Шноля) в сборнике «Математическое просвещение» https://www.mccme.ru/free-books/matpros7.html

А вот две видеозаписи воспоминаний Владимира Андреевича Успенского
https://youtu.be/csR_APaxZuU
https://youtu.be/i3aA7uSo3Xw
(В печатном виде некоторые воспоминания В.А. Успенского вошли в статью «Ректоры МГУ» в пятую книгу «Трудов по нематематике» https://mccme.ru/free-books/uspenskii/vau_book5.pdf )

Воспоминания (аудиозапись и текст) ученицы И.Г. Петровского, впоследствии заведовавшей его кафедрой, Ольги Арсеньевны Олейник
http://oralhistory.ru/talks/orh-580
(Обратите внимание и на сам сайт «Устная история»!)

Видеозапись воспоминаний В.А. Успенского и Ю.С. Ильяшенко
https://youtu.be/Zda7IbfHVU0

Документальный фильм 1983 года «Академик И.Г. Петровский»
https://youtu.be/opF5HcgC9GI

Запись выступления Ивана Георгиевича на закрытии Международного математического конгресса 1966 года в Москве
https://youtu.be/PEBFT1bJeew

Некоторые статьи об Иване Георгиевиче можно найти на сайте mathedu.ru https://www.mathedu.ru/indexes/authors/petrovskiy_i_g/.

В 2001 году МГУ выпустило книгу
https://msupress.com/catalogue/books/book/akademik-i-g-petrovskiy-rektor-mgu/

на мат. кружках для начинающих нередко режут какие-нибудь фигуры на уголки из трех клеток

и ясно, что площадь прямоугольника, который можно разрезать, должна делиться на 3… но 3×(2n+1) разрезать нельзя, 3×(2n) разрезать легко — возникает гипотеза, что даже на 6 должно количество клеток делиться

и все же прямоугольник 5×9 на уголки разрезать можно



давно хотел научиться пользоваться SAT-солверами для задач на разрезание и тому подобных дискретных задач, а это пусть будет модельный пример

для базового введения посмотрите лучше вот например https://youtu.be/4K1MyG4ljI8 (спасибо — и не только за это видео! — Саше Куликову), но всё же кратко поясню

SAT-солвер умеет только одно: подбирать значения булевых перменных, чтобы выполнялся набор условий, где каждое условие — выбор из вариантов «такая-то переменная равна такой-то константе»¹

в pycosat условия записываются в духе [1 -3 -4] («x1 or (not x3) or (not x4)»)

в нашей задаче мы заведем по одной переменной для каждого потенциального положения уголка внутри прямоугольника:

placements = []
covers = {}
for shape in TILES:
    for i, j in allcells():
        cells = [(i+dx, j+dy) for dx, dy in shape]
        if all(inside(*cell) for cell in cells):
            pid = len(placements) + 1
            placements.append(cells)
            for cell in cells:
                covers.setdefault(cell, []).append(pid)

все такие положения теперь лежат в массиве placements, а в словаре covers для каждой клетки указано, какие есть потенциальные способы ее покрыть

теперь пишем условия: 1) что каждая клетка покрыта; 2) что она не покрыта дважды (т.е. что из каждой пары способов покрытия хоть один не выбран):

clauses = []
for cell in allcells():
    ps = covers.get(cell, [])
    clauses.append(ps)
    for a, b in combinations(ps, 2):
        clauses.append([-a, -b])

и… всё! — можно говорить solve(clauses) и наслаждаться ответом

тут задача игрушечная, но все ж поражает, что не нужно думать ни про какую геометрию, а такой… общелогический подход про сведение чего угодно к булевой формуле отлично работает на практике… и даже код совсем недлинный получается (целиком наверное положу в комментарии)

¹ прошу прощения у логиков и сочувствующих за терминологию, но от формулировки «нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов» я теряю нить