Текущее: рабочие картинки. Да, они осмысленные, это не просто каша из графиков и точек. Там ещё и столбики цифр рядом, для пущей стереотипности про работу математика. :)
Forwarded from Геометрия-канал (Наталья Нетрусова)
#начинающим
На рисунке изображен паркет из равных прямоугольных треугольников. Произвольные прямоугольные треугольники для такой схемы не подойдут.
Найдите соотношение сторон в этих треугольниках.
Рисунок и задача из журнала «Квантик» №7, 2017, статья Сергея Маркелова «Жесткие паркеты»
На рисунке изображен паркет из равных прямоугольных треугольников. Произвольные прямоугольные треугольники для такой схемы не подойдут.
Найдите соотношение сторон в этих треугольниках.
Рисунок и задача из журнала «Квантик» №7, 2017, статья Сергея Маркелова «Жесткие паркеты»
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-12.20-22.pdf
продолжаем тему паркетов и геометрии: попробуйте глядя на эти картинки доказать теорему Наполеона и теорему Тебо
или/и почитайте заметку «Теорема Наполеона, замощения плоскости и параллельники» (Г.Мерзон, «Квантик» №12 за 2020 год)
продолжаем тему паркетов и геометрии: попробуйте глядя на эти картинки доказать теорему Наполеона и теорему Тебо
или/и почитайте заметку «Теорема Наполеона, замощения плоскости и параллельники» (Г.Мерзон, «Квантик» №12 за 2020 год)
Forwarded from Математические этюды
Замощения плоскости — мозаики — позволяют увидеть равносоставленность равновеликих многоугольников.
Эта идея у нас уже встречалась, например, в одном из доказательств теоремы Пифагора: один слой — это замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — квадратная сетка.
Сегодняшняя модель — разрезание квадрата и равновеликого правильного восьмиугольника на одинаковые части https://etudes.ru/models/square-octagon/ . Его даёт такая мозаика https://t.me/EtudesRu/762 : первый слой — снова замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — сетка из маленьких квадратов первого разбиения и правильных восьмиугольников.
Это и ещё одно разрезание квадрата и правильного восьмиугольника встречается в персидской рукописи неизвестного автора, найденной в 1970 году в национальной библиотеке Франции (Anonymous Compendium / Paris, Bibliothèque nationale de France, Ms. Persan) и датируемой примерно XIV веком.
Интересующимся восточными орнаментами всячески рекомендуем страницу Андрея Ивановича Щетникова — удивительного человека, в частности, известного как автора образовательного проекта GetAClass.
Эта идея у нас уже встречалась, например, в одном из доказательств теоремы Пифагора: один слой — это замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — квадратная сетка.
Сегодняшняя модель — разрезание квадрата и равновеликого правильного восьмиугольника на одинаковые части https://etudes.ru/models/square-octagon/ . Его даёт такая мозаика https://t.me/EtudesRu/762 : первый слой — снова замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — сетка из маленьких квадратов первого разбиения и правильных восьмиугольников.
Это и ещё одно разрезание квадрата и правильного восьмиугольника встречается в персидской рукописи неизвестного автора, найденной в 1970 году в национальной библиотеке Франции (Anonymous Compendium / Paris, Bibliothèque nationale de France, Ms. Persan) и датируемой примерно XIV веком.
Интересующимся восточными орнаментами всячески рекомендуем страницу Андрея Ивановича Щетникова — удивительного человека, в частности, известного как автора образовательного проекта GetAClass.
Forwarded from Математические этюды
Forwarded from Непрерывное математическое образование
поздравляем Пьера Делиня с 80-летием!
Telegram
Непрерывное математическое образование
поздравляем Пьера Делиня с 75-летием!
кроме многочисленных математических заслуг (за которые Делинь получил премию Филдса, премию Абеля и проч.) — напомним, что П.Делинь является одним из основателей НМУ, про конкурс Делиня и его «Рождественские встречи»…
кроме многочисленных математических заслуг (за которые Делинь получил премию Филдса, премию Абеля и проч.) — напомним, что П.Делинь является одним из основателей НМУ, про конкурс Делиня и его «Рождественские встречи»…
Forwarded from Математура: книги МЦНМО
В день рождения Виталия Дмитриевича Арнольда (1968-2017) напомним о брошюрах Летней математической школы в Дубне, носящей его имя. Старые выпуски доступны для скачивания, новые есть в нашем магазине
https://biblio.mccme.ru/series/167
https://biblio.mccme.ru/series/167
Forwarded from Непрерывное математическое образование
правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных красных треугольников и одинаковых равнобедренных зеленых треугольников
во сколько раз площадь большого треугольника больше площади зеленого?
// доступная начинающим задача М.Евдокимова с проходившего вчера Турнира Ломоносова
во сколько раз площадь большого треугольника больше площади зеленого?
// доступная начинающим задача М.Евдокимова с проходившего вчера Турнира Ломоносова
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Сергей Маркелов (17.02.1976–11.12.2024)
Forwarded from Непрерывное математическое образование
задача была на Московской математической олимпиаде, ее автор — Сергей Маркелов
он придумал много отличных задач, часть из них есть в списке http://problems.ru/view_by_author.php?author=71&start=0
он придумал много отличных задач, часть из них есть в списке http://problems.ru/view_by_author.php?author=71&start=0
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Forwarded from Олимпиадная геометрия
Эта замечательная задача давно стала классикой — выдал ее на занятии на этой неделе. Весной этой задаче исполнится 30 лет.
Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.
Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.
Forwarded from Геометрия-канал (Grigory Merzon)
1999-1-circles-parabolas-markelov.pdf
1.6 MB
S.Markelov. Circles and parabolas
Геометрия-канал
1999-1-circles-parabolas-markelov.pdf
Давайте я добавлю к этому чуть-чуть пересказа. В геометрии есть разные утверждения, в которых используются окружности (и прямые, их пересекающие или касающиеся), иногда с какими-то дополнительными свойствами. Например:
Утверждение. Пусть даны две концентрические окружности, и прямая, пересекающая первую в точках A и A’, и вторую в точках B и B’. Тогда длины высеченных отрезков между окружностями, AB и A’B’, равны (см. рис. 1а.)
Так вот — Серёжа обнаружил, что у таких утверждений бывают «близнецы», сформулированные в терминах парабол с параллельнымми осями. В частности:
Утверждение. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси, и прямая, пересекающая первую в точках A и A’, и вторую в точках B и B’. Тогда длины высеченных отрезков между параболами, AB и A’B’, равны (см. рис. 1б.)
(image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)
Утверждение. Пусть даны две концентрические окружности, и прямая, пересекающая первую в точках A и A’, и вторую в точках B и B’. Тогда длины высеченных отрезков между окружностями, AB и A’B’, равны (см. рис. 1а.)
Так вот — Серёжа обнаружил, что у таких утверждений бывают «близнецы», сформулированные в терминах парабол с параллельнымми осями. В частности:
Утверждение. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси, и прямая, пересекающая первую в точках A и A’, и вторую в точках B и B’. Тогда длины высеченных отрезков между параболами, AB и A’B’, равны (см. рис. 1б.)
(image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)
Геометрия-канал
1999-1-circles-parabolas-markelov.pdf
Собственно, как Серёжа пишет в тексте «Circles and Parabolas», сначала он наткнулся на задачу в American Mathematical Monthly:
Задача. Пусть даны две пересекающиеся параболы с вертикальными осями. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 1).
И эта задача замечательно перекликается с известным (и доказывающимся, например, через степень точки) утверждением про окружности:
Задача. Пусть даны две пересекающиеся окружности. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 2).
===
Рисунки я взял из текста выше — S. Markelov, Circles and Parabolas, The Mathematical Intelligencer, 21 (1999). Кстати — этот текст вышел в колонке «Mathematical entertainment» под редакцией А. Шеня, и дальше в той же колонке идёт письмо В. В. Успенского про потрясающе красивое трёхмерное доказательство теоремы Брианшона — с использованием однополостного гиперболоида, двух семейств прямых на нём и «вида сверху». Я вот раньше не знал!
Задача. Пусть даны две пересекающиеся параболы с вертикальными осями. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 1).
И эта задача замечательно перекликается с известным (и доказывающимся, например, через степень точки) утверждением про окружности:
Задача. Пусть даны две пересекающиеся окружности. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 2).
===
Рисунки я взял из текста выше — S. Markelov, Circles and Parabolas, The Mathematical Intelligencer, 21 (1999). Кстати — этот текст вышел в колонке «Mathematical entertainment» под редакцией А. Шеня, и дальше в той же колонке идёт письмо В. В. Успенского про потрясающе красивое трёхмерное доказательство теоремы Брианшона — с использованием однополостного гиперболоида, двух семейств прямых на нём и «вида сверху». Я вот раньше не знал!
Так вот — в 1998 году на Летнюю Конференцию Турнира Городов Серёжа Маркелов предлагает задачу с большим словарём подобных задач (представляет её Михаил Вялый, помогает Вадим Бугаенко). Вот ещё один пример оттуда:
Задача 3а. Пусть даны две концентрические окружности. Выберем на внешней из них точку M. Фигура C_M образована двумя касательными из точки M к внутренней окружности и дугой этой окружности, заключённой между точками касания (см. рис. 3а). Докажите, что площадь фигуры C_M не зависит от выбора точки M.
Задача 3б. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси. Выберем на внешней из них точку M. Фигура P_M образована двумя касательными из точки M к внутренней параболе и дугой этой параболы, заключённой между точками касания (см. рис. 3б). Докажите, что площадь фигуры З_M не зависит от выбора точки M.
Изображения: рисунок к задаче и текст, предваряющий решения задачи, из материалов ЛКТГ.
(image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)
Задача 3а. Пусть даны две концентрические окружности. Выберем на внешней из них точку M. Фигура C_M образована двумя касательными из точки M к внутренней окружности и дугой этой окружности, заключённой между точками касания (см. рис. 3а). Докажите, что площадь фигуры C_M не зависит от выбора точки M.
Задача 3б. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси. Выберем на внешней из них точку M. Фигура P_M образована двумя касательными из точки M к внутренней параболе и дугой этой параболы, заключённой между точками касания (см. рис. 3б). Докажите, что площадь фигуры З_M не зависит от выбора точки M.
Изображения: рисунок к задаче и текст, предваряющий решения задачи, из материалов ЛКТГ.
(image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)