Значит, второе неполное частное равно 3, а f_3=D^2[f_1]. И продолжая по индукции, получаем

(Каждое применение D увеличивает коэффициент в середине на 2).

Вот мы и получили, что все наши "остатки" это f_k=D^k[f_0], а неполные частные это нечётные числа (2k+1).
(Конечно, можно было работать и по индукции из явных разложений в ряд Тейлора, но мне кажется, так получается красивее.)

И мы получили обещанное разложение тангенса в цепную дробь — по крайней мере, на уровне формальных рядов. Собственно, я подозреваю, что этого хватит и для того, чтобы доказать настоящую сходимость (потому что мы знаем, как устроены результаты последовательных вычитаний, совсем явно!), но мне кажется, техничность этого уже будет заметно превышать уровень "рассказываемой байки".

Ну и — даже если за формулами в канале следить не очень просто, мне хочется сказать, что всё последнее рассуждение это не "магия".
Как только мы поставили себе цель "разложить тангенс в цепную дробь" — ну, и угадали, что лучше работать не алгоритмом Евклида для tg x и 1, а для sin x и cos x, дальше мы не могли не преуспеть. Мы обязаны были (если не делать арифметических ошибок) получить те ряды, которые получили — и даже если не угадать, что они получаются с помощью дифференциального оператора -(1/x) d/dx, можно было просто по индукции доказать, что они всегда и впрямь такие.

Ну и, кажется, на этом рассказ об иррациональности пи можно закончить — доказательство и впрямь завершено.

Ещё пара слов в дополнение ко вчерашнему. Во-первых — цитата из книги Фердинанда Рудио.
"О квадратурѣ круга", вышедшей в 1911 году в Одессе:

А вся книга выложена тут — https://www.mathesis.ru/book/rudio/

Во-вторых, по соседству с цепными дробями есть история про последовательности (или ряды) Фарея.

Давайте возьмём все несократимые дроби p/q на отрезке [0,1], у которых знаменатель q не превосходит некоторого фиксированного числа N. И упорядочим их по возрастанию.

Определение. То, что получилось, называется последовательностью Фарея порядка N.

А как понять, куда какие дроби будут попадать при увеличении N?

При переходе от N=3 к N=4 всё просто —

К N=5 — уже чуть менее, но всё ещё легко:

А вот расставить все дроби со знаменателем 7 может оказаться не очень тривиально:

Вопрос: а как понять (не выполняя кучи сравнений), что куда ставить?