Forwarded from воспоминания математиков
Не знаю, кем мир видит меня; в своих же собственных глазах я просто мальчик, играющий на берегу, отвлекающий себя от забот жизни поиском самых гладких галек и красивых ракушек, выброшенных из простирающегося передо мной величественного и неизведанного океана истины.
размышления сэра Исаака Ньютона
размышления сэра Исаака Ньютона
Очень толковый текст, из которого можно подчерпнуть по крайней мере 2 важные идеи: трюк Гротендика как формализовать понятие “пучок со значениями в категориях” (например если хочется думать про QCoh как про пучок) и трюк (Лури?) как определить монады не таская за собой бесконечное число данных высших когерентностей.
Добавлю, что понятие монады очень важно в связи с теоремой Барра-Бека о монадичности, которая точно входит в топ самых полезных утверждений из теории категории. Многие классические утверждения являются следствиями этой теоремы: плоский спуск в алгебраической геометрии, двойственность Картье про представления, etc..
Добавлю, что понятие монады очень важно в связи с теоремой Барра-Бека о монадичности, которая точно входит в топ самых полезных утверждений из теории категории. Многие классические утверждения являются следствиями этой теоремы: плоский спуск в алгебраической геометрии, двойственность Картье про представления, etc..
Forwarded from Математическая свалка Сепы (Sergei)
От моноидов к ∞-монадам
Один коллега вовлёк меня в проект, где мне нужно пользоваться ∞-категориями, и ∞-монадами. В меня как-то ∞-монады с трудом заходили, и это побудило меня начать писать этот пост. Замысел был в том, чтобы рассказать про то, как идея моноида развивается на разных уровнях: обычный моноид, моноид в категории, моноидальная категория, моноид в моноидальной категории, монада, моноидальная ∞-категория, моноид в моноидальной ∞-категории, ∞-монада. Хотелось красиво показать, что это такая непрерывная спираль развития идей, в которой предыдущий этаж необходим для следующего. Однако в процессе написания этого поста я узнал, что есть эквивалентное определение ∞-монады, для которого не обязательно знать, что такое моноидальная ∞-категория. К тому моменту пост уже был очень большим, и мне он показался какой-то совершенно бессмысленной графоманией, и я передумал его постить. Но потом я вспомнил, что группа называется свалкой, и решил его запостить всё равно. Можете считать, что это что-то типа дневника моих попыток понять, что такое ∞-монада, и просто рассуждения на тему моноидального.
∙ Моноиды
∙ Моноидальные категории
∙ Моноиды в моноидальных категориях
∙ Монады
∙ Ходячий моноид
∙ О бухгалтерском учёте
∙ Расслоения Гротендика
∙ Псевдофункторы и расслоения
∙ Моноидальные категории как оп-расслоения
∙ Моноиды как сечения оп-расслоений
∙ Выпрямление-развыпрямление
∙ Моноидальные ∞-категории и моноиды в них
∙ Моноидальная ∞-категория эндофункторов
∙ ∞-монады
∙ Список литературы
https://medium.com/@ivanov.s.o.1986/от-моноидов-к-монадам-46cac1e0fae6
Один коллега вовлёк меня в проект, где мне нужно пользоваться ∞-категориями, и ∞-монадами. В меня как-то ∞-монады с трудом заходили, и это побудило меня начать писать этот пост. Замысел был в том, чтобы рассказать про то, как идея моноида развивается на разных уровнях: обычный моноид, моноид в категории, моноидальная категория, моноид в моноидальной категории, монада, моноидальная ∞-категория, моноид в моноидальной ∞-категории, ∞-монада. Хотелось красиво показать, что это такая непрерывная спираль развития идей, в которой предыдущий этаж необходим для следующего. Однако в процессе написания этого поста я узнал, что есть эквивалентное определение ∞-монады, для которого не обязательно знать, что такое моноидальная ∞-категория. К тому моменту пост уже был очень большим, и мне он показался какой-то совершенно бессмысленной графоманией, и я передумал его постить. Но потом я вспомнил, что группа называется свалкой, и решил его запостить всё равно. Можете считать, что это что-то типа дневника моих попыток понять, что такое ∞-монада, и просто рассуждения на тему моноидального.
∙ Моноиды
∙ Моноидальные категории
∙ Моноиды в моноидальных категориях
∙ Монады
∙ Ходячий моноид
∙ О бухгалтерском учёте
∙ Расслоения Гротендика
∙ Псевдофункторы и расслоения
∙ Моноидальные категории как оп-расслоения
∙ Моноиды как сечения оп-расслоений
∙ Выпрямление-развыпрямление
∙ Моноидальные ∞-категории и моноиды в них
∙ Моноидальная ∞-категория эндофункторов
∙ ∞-монады
∙ Список литературы
https://medium.com/@ivanov.s.o.1986/от-моноидов-к-монадам-46cac1e0fae6
Medium
От моноидов к ∞-монадам
Математическая свалка Сепы
Одно очень красивое замечание Картье такое:
Когомологии де Рама аффинной прямой в характеристике 0 устроены скучно: они сосредоточены в степени 0 и там это просто константы. А чему равны когомологии де Рама аффинной прямой над F_p?
В степени 0: поскольку мы в характеристике p, производная x^p равна нулю. Более общо, производная р-ой степени любого полинома тоже 0. Более того, это iff. То есть нулевые когомологии это p-ые степени полиномов, что можно отождествить с полиномами.
В степени 1: в характеристике р у нас нет леммы Пуанкаре, поскольку когда мы обычно находим первообразную, там есть знаменатели и иногда они делятся на р. В качестве примера можно взять x^{p-1} dx и она не интегрируется. Более общо, для любой формы dg можно взять g^{p-1} dg и её не проинтегрировать.
Мораль: для аффинной прямой H^0 это функции и H^1 это формы. И то, и то, бесконочномерные векторные пространства над F_p. Оказывается, аналогичный результат верен для любой гладкой над F_p аффинной схемы.
Это наблюдение ключевым образом используется в работе Делиня-Иллюзи о вырождении спектралки Ходжа-де Рама.
Когомологии де Рама аффинной прямой в характеристике 0 устроены скучно: они сосредоточены в степени 0 и там это просто константы. А чему равны когомологии де Рама аффинной прямой над F_p?
В степени 0: поскольку мы в характеристике p, производная x^p равна нулю. Более общо, производная р-ой степени любого полинома тоже 0. Более того, это iff. То есть нулевые когомологии это p-ые степени полиномов, что можно отождествить с полиномами.
В степени 1: в характеристике р у нас нет леммы Пуанкаре, поскольку когда мы обычно находим первообразную, там есть знаменатели и иногда они делятся на р. В качестве примера можно взять x^{p-1} dx и она не интегрируется. Более общо, для любой формы dg можно взять g^{p-1} dg и её не проинтегрировать.
Мораль: для аффинной прямой H^0 это функции и H^1 это формы. И то, и то, бесконочномерные векторные пространства над F_p. Оказывается, аналогичный результат верен для любой гладкой над F_p аффинной схемы.
Это наблюдение ключевым образом используется в работе Делиня-Иллюзи о вырождении спектралки Ходжа-де Рама.
👍1