0) Достаточно показать, что в центре Z группы G элементов хотя бы >1/2 |G|. (поскольку центр это подгруппа)
1) Пусть S это подмножество в GxG, состоящее из всех коммутирующих пар (g, h), то есть [g, h]=e. Известно, что |S|>9/10 |G|^2
2) Элемент g \in G либо центральный, либо его централизатор содержит не больше половины элементов (централизатор тоже подгруппа). Таким образом, можно посчитать
|S|=|Z||G| + sum_Z^c C_G(g), где суммирование ведётся по Z^c=G-Z дополнению к центру. Равенство это очевидно из того, что фиксируя g и рассматривая все элементы в S вида (g, x) мы видим, что x пробегают ровно централизатор g.
3) Получаем |S|<=|Z||G|+(|G|-|Z|) 1/2|G|=1/2 |Z||G|+1/2|G|^2.
С другой стороны мы знаем, что |S|>9/10 |G|^2. Теперь если |Z|<1/2|G|+1, то
1/2 |Z||G|+1/2|G|^2 < 3/4|G|^2 + 1/2|G|, что, конечно, не может быть больше 9/10|G|^2, если в G хотя бы 4 элемента.
Отсюда видно, что если G достаточно большая, то 90% можно заменить на ~75%.
Интересно, как далеко это от оптимальной оценки?
1) Пусть S это подмножество в GxG, состоящее из всех коммутирующих пар (g, h), то есть [g, h]=e. Известно, что |S|>9/10 |G|^2
2) Элемент g \in G либо центральный, либо его централизатор содержит не больше половины элементов (централизатор тоже подгруппа). Таким образом, можно посчитать
|S|=|Z||G| + sum_Z^c C_G(g), где суммирование ведётся по Z^c=G-Z дополнению к центру. Равенство это очевидно из того, что фиксируя g и рассматривая все элементы в S вида (g, x) мы видим, что x пробегают ровно централизатор g.
3) Получаем |S|<=|Z||G|+(|G|-|Z|) 1/2|G|=1/2 |Z||G|+1/2|G|^2.
С другой стороны мы знаем, что |S|>9/10 |G|^2. Теперь если |Z|<1/2|G|+1, то
1/2 |Z||G|+1/2|G|^2 < 3/4|G|^2 + 1/2|G|, что, конечно, не может быть больше 9/10|G|^2, если в G хотя бы 4 элемента.
Отсюда видно, что если G достаточно большая, то 90% можно заменить на ~75%.
Интересно, как далеко это от оптимальной оценки?
Forwarded from Непрерывное математическое образование
В конечной группе xy=yx для >90% пар (x,y). Доказать, что эта группа коммутативна.
(via А.Шень)
(via А.Шень)
Бейлинсон вспоминает о Манине:
Юрий Иванович был удивительно светлым человеком, у него не было желания руководить — и новые темы и сюжеты, в благодарность, приходили сами собой и оживали перед нашими глазами.
«И пред ним, зеленый снизу,
Голубой и синий сверху,
Мир встаёт огромной птицей,
Свищет, щёлкает, звенит.»
Время моей юности в России благоволило тем, кто принял пушкинское стихотворение «Из Пиндемонти» как часть своей души. Семинары Манина, как и фильмы Ю. Норштейна и книги Ю. Коваля, это часть счастья того лёгкого, как одуванчик, мира, его иной, лучшей свободы.
Если попробовать сказать что-то о том, как Юрий Иванович смотрел на вещи, то первым будет его умение сопоставлять факты, приходя к пониманию, которое зачастую не вписывалось в представления окружающих. Ещё, отсутствие потребности принадлежать к какому-либо людскому объединению, как и подчинять кого-либо своей воле.
Неприятие злобы и жадности в отношениях между людьми. И, конечно же, ясная доброта.
Девяностые, годы чёрной нищеты в России, почти не коснулись нас, улетевших пушинками в открывшийся новый свет. Мы видели друг друга гораздо реже, чем в Москве, где виделись или говорили по телефону едва не каждый день. Ощущение от происходящего менялось, и во время бомбардировок Сербии я в первый раз услышал в словах Юрия Ивановича грустное предчувствие того, куда все идёт…
В квартире Маниных в Бад-Годесберге окно во всю стену, а за ним Рейн. Такое чудо. Мне кажется, если видишь реку день ото дня, ты становишься ей близким, она начинает течь сквозь тебя как течёт время, оставаясь при этом самой собой как память. И это счастье.
Я так благодарен Ю.И. за всю солнечную радость, которую он подарил, которая стала частью меня.
Когда я был маленьким, Винни-Пух был моей любимой книжкой; Юрий Иванович тоже ее очень любил. «Но куда бы они ни пришли и что бы ни случилось с ними по дороге, — здесь в Зачарованном Месте на вершине холма в Лесу, маленький мальчик будет всегда, всегда играть со своим медвежонком.»
Юрий Иванович был удивительно светлым человеком, у него не было желания руководить — и новые темы и сюжеты, в благодарность, приходили сами собой и оживали перед нашими глазами.
«И пред ним, зеленый снизу,
Голубой и синий сверху,
Мир встаёт огромной птицей,
Свищет, щёлкает, звенит.»
Время моей юности в России благоволило тем, кто принял пушкинское стихотворение «Из Пиндемонти» как часть своей души. Семинары Манина, как и фильмы Ю. Норштейна и книги Ю. Коваля, это часть счастья того лёгкого, как одуванчик, мира, его иной, лучшей свободы.
Если попробовать сказать что-то о том, как Юрий Иванович смотрел на вещи, то первым будет его умение сопоставлять факты, приходя к пониманию, которое зачастую не вписывалось в представления окружающих. Ещё, отсутствие потребности принадлежать к какому-либо людскому объединению, как и подчинять кого-либо своей воле.
Неприятие злобы и жадности в отношениях между людьми. И, конечно же, ясная доброта.
Девяностые, годы чёрной нищеты в России, почти не коснулись нас, улетевших пушинками в открывшийся новый свет. Мы видели друг друга гораздо реже, чем в Москве, где виделись или говорили по телефону едва не каждый день. Ощущение от происходящего менялось, и во время бомбардировок Сербии я в первый раз услышал в словах Юрия Ивановича грустное предчувствие того, куда все идёт…
В квартире Маниных в Бад-Годесберге окно во всю стену, а за ним Рейн. Такое чудо. Мне кажется, если видишь реку день ото дня, ты становишься ей близким, она начинает течь сквозь тебя как течёт время, оставаясь при этом самой собой как память. И это счастье.
Я так благодарен Ю.И. за всю солнечную радость, которую он подарил, которая стала частью меня.
Когда я был маленьким, Винни-Пух был моей любимой книжкой; Юрий Иванович тоже ее очень любил. «Но куда бы они ни пришли и что бы ни случилось с ними по дороге, — здесь в Зачарованном Месте на вершине холма в Лесу, маленький мальчик будет всегда, всегда играть со своим медвежонком.»
G-расслоения играют важную роль в дифференциальной геометрии. Сегодня я узнал, что вложение точки в прямую в алгебраической геометрии это в некотором смысле G-расслоение.
WTF? — первый вопрос, приходящий в голову, ведь Spec(k) -> Spec(k[x]) даже не сюръективно! Причина в следующем: под G я имею в виду не алгебраическую группу, а когруппоид в категории производных k[x]-схем (aka анимированных k[x]-алгебр). Явно: G = k \otimes_k[x] k.
Как это можно увидеть? Функтор i: QCoh(k) -> QCoh(k[x]) комонадичен и комонаду легко посчитать: категория слева порождена объектом k относительно взятия копределов, поэтому комонада это просто i^* i_* k = k \otimes_k[x] k! Поэтому QCoh(k[x]) эквивалентна категории комодулей в k-векторных пространствах над нашей комонадой G. Я не проверял, что эти данные эквивалентны данным эквивариантности относительно естественного действия когруппоида, но я предполагаю, что это должно быть ок, а дальше должен быть какой-то a la Tannaka reconstruction result.
WTF? — первый вопрос, приходящий в голову, ведь Spec(k) -> Spec(k[x]) даже не сюръективно! Причина в следующем: под G я имею в виду не алгебраическую группу, а когруппоид в категории производных k[x]-схем (aka анимированных k[x]-алгебр). Явно: G = k \otimes_k[x] k.
Как это можно увидеть? Функтор i: QCoh(k) -> QCoh(k[x]) комонадичен и комонаду легко посчитать: категория слева порождена объектом k относительно взятия копределов, поэтому комонада это просто i^* i_* k = k \otimes_k[x] k! Поэтому QCoh(k[x]) эквивалентна категории комодулей в k-векторных пространствах над нашей комонадой G. Я не проверял, что эти данные эквивалентны данным эквивариантности относительно естественного действия когруппоида, но я предполагаю, что это должно быть ок, а дальше должен быть какой-то a la Tannaka reconstruction result.
🤯1
Первый пункт легко увидеть, если мы живём над комплексными числами: если A групповой объект в категории связных, гладких, проективных многообразий над С, то соответствующее ему аналитическое многообразие A^an будет связной, компактной, комплексной группой Ли.
Чтоб доказать абелевость, нужно проверить что для любого элемента x отображение сопряжение f_x: A^an -> A^an постоянно. Действительно, сопряжение сохраняет единицу и поэтому индуцирует автоморфизм касательного пространства в единице, поэтому получается голоморфное отображение A^an -> Aut(T_e(A^an))=GL_n(C). Любое такое отображение постоянно по теореме Лиувилля, поскольку A^an компактно. Этого достаточно, чтоб заключить постоянность f_x.
Чтоб доказать абелевость, нужно проверить что для любого элемента x отображение сопряжение f_x: A^an -> A^an постоянно. Действительно, сопряжение сохраняет единицу и поэтому индуцирует автоморфизм касательного пространства в единице, поэтому получается голоморфное отображение A^an -> Aut(T_e(A^an))=GL_n(C). Любое такое отображение постоянно по теореме Лиувилля, поскольку A^an компактно. Этого достаточно, чтоб заключить постоянность f_x.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://golem.ph.utexas.edu/category/2016/08/the_magic_of_algebraic_geometr.html
«Suppose if I told you:
1) Every group is abelian.
2) Every function between groups that preserves the identity is a homomorphism.
You’d rightly say I’m nuts. But all this is happening in the category of sets. Suppose we go to the category of connected projective algebraic varieties. Then a miracle occurs, and the analogous facts are true…»
(и дальше по направлению к многообразиям Альбанезе)
«Suppose if I told you:
1) Every group is abelian.
2) Every function between groups that preserves the identity is a homomorphism.
You’d rightly say I’m nuts. But all this is happening in the category of sets. Suppose we go to the category of connected projective algebraic varieties. Then a miracle occurs, and the analogous facts are true…»
(и дальше по направлению к многообразиям Альбанезе)
В английском языке есть идиома “to make ends meet”, которая буквальный эквивалент “сводить концы с концами” из русского языка. На первый взгляд это довольно удивительно, но удивление пропадает как только мы узнаём, что оба выражения это кальки с французского “joindre les deux bouts”. Пока я это гуглил, я узнал что “быть не своей тарелке” это тоже французская калька от “n’être pas dans son assiette”, но в данном случае она менее разумна: assiette означает не только тарелку, но и “состояние/настроение”, то есть на французском фраза действительно имеет смысл, но переводчик, видимо, такого значения не знал.
👍2🔥1
дух-дыхание-вдохновлять
Глядя на эти слова не так и удивительно, что они этимологические родственники. Однако подумал я об этом только недавно (возможно, думал давно и забыл). Навёл меня на эту мысль Новый Год: я праздновал его в компании русского, немца и гагауза (нет, это не анекдот) и пытылся максимально подвергнуть себя немецкому. В частности, я узнал как будет дух и вдохновлять: geist и begeistern. В тот момент я немного удивился их сходству и начал думать почему я не замечал этого в английском языке. Не замечал я этого скорее в силу своего безраличия, чем замудрённости ситуации, поскольку заметить сходство между словами spirit и inspire не так сложно. Интереснее заметить связь этого всего с дыханием, которое присутствует в заголовке, а именно: этимология слова inspire включает в себя латинский корень spirare (дышать), который мы все знаем из, например, респиратора. В немецком, к сожалению, этимологической связи с дыханием мне увидеть не удалось.
Слово geist, вероятно, происходит от протогерманского корня gaistaz, обозначающего примерно “пугать, взволновывать”, то есть связи с дыханием особо не видно. С другой стороны интересно, что хотя “дух” в английском и немецком языках приходят из разных корней, процесс побуждения кого-то к действию в обоих языках это в некотором смысле наполнение этого человека духом!
Глядя на эти слова не так и удивительно, что они этимологические родственники. Однако подумал я об этом только недавно (возможно, думал давно и забыл). Навёл меня на эту мысль Новый Год: я праздновал его в компании русского, немца и гагауза (нет, это не анекдот) и пытылся максимально подвергнуть себя немецкому. В частности, я узнал как будет дух и вдохновлять: geist и begeistern. В тот момент я немного удивился их сходству и начал думать почему я не замечал этого в английском языке. Не замечал я этого скорее в силу своего безраличия, чем замудрённости ситуации, поскольку заметить сходство между словами spirit и inspire не так сложно. Интереснее заметить связь этого всего с дыханием, которое присутствует в заголовке, а именно: этимология слова inspire включает в себя латинский корень spirare (дышать), который мы все знаем из, например, респиратора. В немецком, к сожалению, этимологической связи с дыханием мне увидеть не удалось.
Слово geist, вероятно, происходит от протогерманского корня gaistaz, обозначающего примерно “пугать, взволновывать”, то есть связи с дыханием особо не видно. С другой стороны интересно, что хотя “дух” в английском и немецком языках приходят из разных корней, процесс побуждения кого-то к действию в обоих языках это в некотором смысле наполнение этого человека духом!
👍1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Встретил эту красавицу в 100 метрах от аспирантского общежития в Принстоне. Она перебежала дорогу и вполне уверенно побежала в сторону поля для гольфа; видимо, ей никто не сказал что для пользования этим полем нужно покупать специальный абонемент (очень дорогой, кстати).
❤1
Так вышло, что я никогда не думал почему формула длины окружности это в точности производная площади круга, ей ограниченным (с очевидным обобщением для сферы любой размерности). Не так давно друг мне это объяснил. Если вы тоже про это никогда не думали, можете сейчас подумать (это очень просто), если же не хочется, то ниже будет объяснение.
Собственно, круг можно исчерпать концентрическими окружностями, радиус которых бегает от нуля, до радиуса нашего круга. То есть площадь будет интегралом 2 pi x где х бегает от 0 до нашего радиуса, что даёт искомую связь. То же самое можно делать для квадрата, но там параметр будет бегать до половины длины стороны. Это замечание можно использовать, чтоб доказать формулу d/dx x^2 = 2x, если по какой-то причине вы сначала изучили теорию меры, а не дифференциальное исчисление.
Собственно, круг можно исчерпать концентрическими окружностями, радиус которых бегает от нуля, до радиуса нашего круга. То есть площадь будет интегралом 2 pi x где х бегает от 0 до нашего радиуса, что даёт искомую связь. То же самое можно делать для квадрата, но там параметр будет бегать до половины длины стороны. Это замечание можно использовать, чтоб доказать формулу d/dx x^2 = 2x, если по какой-то причине вы сначала изучили теорию меры, а не дифференциальное исчисление.
💯2
Интеграл Лебега как один из первых примеров расширения по Кану.
В теории категорий есть понятие расширения Кана, которое стало чрезвычайно популярным в последниие годы в алгебраической геометрии, хотя доказало свою полезность ещё 60 лет назад, когда Иллюзи с его помощью (мб не произнося слов “расширение Кана”) определил кокасательный комплекс, позволивший говорить о де Рамовских когомологиях для особых многообразий, что впоследствии было использовано Бейлинсоном и Бхаттом чтоб переосмыслить теорию Фонтена колец периодов, в общем довольно важная вещь.
Однако я хотел сказать про идею этого дела и как это связано с Лебегом. Идея такова: есть категория D с подкатегорией C и функтор F: C->T. Какие есть способы продолжить F на D? Если в T есть все пределы, то можно так: F(X)=lim F(Y), где предел берётся по категории пар (Y, x), где Y объект в С и x: Y->X.
Пусть теперь D будет ЧУМом измеримых функций на чём-нибудь, где f->g <=> f<=g. А С будет подкатегорий простых функций. Тогда есть функтор C->R (где на вещественных числах тоже структура ЧУМа), который отправляет простую функцию в её интеграл по фиксированному измеримому множеству. Расширение Кана восстаналивает определение интеграла Лебега: мы берём все простые не больше нашей функции и берём sup их интегралов.
В теории категорий есть понятие расширения Кана, которое стало чрезвычайно популярным в последниие годы в алгебраической геометрии, хотя доказало свою полезность ещё 60 лет назад, когда Иллюзи с его помощью (мб не произнося слов “расширение Кана”) определил кокасательный комплекс, позволивший говорить о де Рамовских когомологиях для особых многообразий, что впоследствии было использовано Бейлинсоном и Бхаттом чтоб переосмыслить теорию Фонтена колец периодов, в общем довольно важная вещь.
Однако я хотел сказать про идею этого дела и как это связано с Лебегом. Идея такова: есть категория D с подкатегорией C и функтор F: C->T. Какие есть способы продолжить F на D? Если в T есть все пределы, то можно так: F(X)=lim F(Y), где предел берётся по категории пар (Y, x), где Y объект в С и x: Y->X.
Пусть теперь D будет ЧУМом измеримых функций на чём-нибудь, где f->g <=> f<=g. А С будет подкатегорий простых функций. Тогда есть функтор C->R (где на вещественных числах тоже структура ЧУМа), который отправляет простую функцию в её интеграл по фиксированному измеримому множеству. Расширение Кана восстаналивает определение интеграла Лебега: мы берём все простые не больше нашей функции и берём sup их интегралов.
👍3