Forwarded from Непрерывное математическое образование
Юрий Иванович Манин (16.02.1937–07.01.2023)
На пути к п-адической теории Ходжа.
Один из центральных сюжетов в комплексной геометрии это разложение Ходжа. Морально оно о том, что для компактных Кэлеровых многообразий есть прямая связь между их топологией и комплексной структурой. А именно: сингулярные когомологии (чисто топологическая вещь) раскладываются в прямую сумму Ходжевых когомологий (вещь, зависящая от гладкой структуры). Например, из этого разложения моментально следует такой факт, демонстрирующий прямую связь между топологией и гладкой структурой: на односвязном компактном Кэлеровом многообразии нет глобально определённых голоморфных форм.
Как часто происходит в математике, утверждения из одной области мотивируют вопросы в других областях. Так, это разложение провоцирует нас задать много интересных вопросов.
1) что происходит для особых многообразий? (Теория Делиня о смешанных структурах Ходжа)
2) чем заменить сингулярные когомологии для многообразий над произвольными полями? (Теория этальных когомологий Гротендика)
3) как сформулировать это утверждение для многообразий над произвольными полями и верно ли оно там? (Теория Делиня-Иллюзи о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама)
4) в стандартной картинке нет разницы между когомологиями де Рама и сингулярными. Так ли это для этальных? (Теория Фонтена колец периодов: сравнение де Рама, кристальное)
Один из центральных сюжетов в комплексной геометрии это разложение Ходжа. Морально оно о том, что для компактных Кэлеровых многообразий есть прямая связь между их топологией и комплексной структурой. А именно: сингулярные когомологии (чисто топологическая вещь) раскладываются в прямую сумму Ходжевых когомологий (вещь, зависящая от гладкой структуры). Например, из этого разложения моментально следует такой факт, демонстрирующий прямую связь между топологией и гладкой структурой: на односвязном компактном Кэлеровом многообразии нет глобально определённых голоморфных форм.
Как часто происходит в математике, утверждения из одной области мотивируют вопросы в других областях. Так, это разложение провоцирует нас задать много интересных вопросов.
1) что происходит для особых многообразий? (Теория Делиня о смешанных структурах Ходжа)
2) чем заменить сингулярные когомологии для многообразий над произвольными полями? (Теория этальных когомологий Гротендика)
3) как сформулировать это утверждение для многообразий над произвольными полями и верно ли оно там? (Теория Делиня-Иллюзи о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама)
4) в стандартной картинке нет разницы между когомологиями де Рама и сингулярными. Так ли это для этальных? (Теория Фонтена колец периодов: сравнение де Рама, кристальное)
Алгебраическая К-теория (по Квиллену) удовлетворяет спуску Нисневича (некоторая вариация последовательности Майера-Виеториса). Это фундаментальный результат, доказанный Томасоном больше 30 лет назад.
Необычно в этой работе то, что у неё было два автора, хотя один из них умер примерно за 3 года до её публикации. Вот что сказано в благодарностях в оригинальной работе:
The first author must state that his coauthor and close friend, Tom Trobaugh,
quite intelligent, singularly original, and inordinately generous, killed himself consequent to endogenous depression. Ninety-four days later, in my
dream, Tom’s simulacrum remarked, “The direct limit characterization of
perfect complexes shows that they extend, just as one extends a coherent
sheaf.” Awaking with a start, I knew this idea had to be wrong, since some
perfect complexes have a non-vanishing K0 obstruction to extension. I had
worked on this problem for 3 years, and saw this approach to be hopeless.
But Tom’s simulacrum had been so insistent, I knew he wouldn’t let me
sleep undisturbed until I had worked out the argument and could point to
the gap. This work quickly led to the key results of this paper. To Tom,
I could have explained why he must be listed as a coauthor. During his
lifetime, Tom also pointed out the interesting comparison of the careers of
Grothendieck and Newton.
Небольшой математический комментарий по этому поводу: “just as one extends a coherent sheaf” это по сути упражнение из Хартсхорна, которое говорит, что для любого когерентного пучка на открытой подсхеме в некоторой схеме Х существует когерентный пучок на всём Х, который даёт нужное ограничение. Как правильно пишет Томасон, для совершенных комплексов это неверно и препятствие лежит в K_{-1}_Z (X), то есть в К-теории Х с носителем на дополнении к открытому множеству. В некотором смысле Томасон знал слишком много.. Тем не менее его друг в его же видении был (в некотором смысле) прав. А именно, Томасон использовал такую совершенно чудесную по своей простоте и наивности идею: для совершенного комплекса Е, быть может, препятствие в К-теории и ненулевое, но для E + E[1] оно уж точно нулевое, поскольку просто класс у этого комплекса нулевой. Оказывается, что такой комплекс продолжать на весь Х проще, а дальше из этого (видимо) можно выудить продолжение Е по крайней мере в К-теории, а из этого уже довольно легко получить спуск.
Необычно в этой работе то, что у неё было два автора, хотя один из них умер примерно за 3 года до её публикации. Вот что сказано в благодарностях в оригинальной работе:
The first author must state that his coauthor and close friend, Tom Trobaugh,
quite intelligent, singularly original, and inordinately generous, killed himself consequent to endogenous depression. Ninety-four days later, in my
dream, Tom’s simulacrum remarked, “The direct limit characterization of
perfect complexes shows that they extend, just as one extends a coherent
sheaf.” Awaking with a start, I knew this idea had to be wrong, since some
perfect complexes have a non-vanishing K0 obstruction to extension. I had
worked on this problem for 3 years, and saw this approach to be hopeless.
But Tom’s simulacrum had been so insistent, I knew he wouldn’t let me
sleep undisturbed until I had worked out the argument and could point to
the gap. This work quickly led to the key results of this paper. To Tom,
I could have explained why he must be listed as a coauthor. During his
lifetime, Tom also pointed out the interesting comparison of the careers of
Grothendieck and Newton.
Небольшой математический комментарий по этому поводу: “just as one extends a coherent sheaf” это по сути упражнение из Хартсхорна, которое говорит, что для любого когерентного пучка на открытой подсхеме в некоторой схеме Х существует когерентный пучок на всём Х, который даёт нужное ограничение. Как правильно пишет Томасон, для совершенных комплексов это неверно и препятствие лежит в K_{-1}_Z (X), то есть в К-теории Х с носителем на дополнении к открытому множеству. В некотором смысле Томасон знал слишком много.. Тем не менее его друг в его же видении был (в некотором смысле) прав. А именно, Томасон использовал такую совершенно чудесную по своей простоте и наивности идею: для совершенного комплекса Е, быть может, препятствие в К-теории и ненулевое, но для E + E[1] оно уж точно нулевое, поскольку просто класс у этого комплекса нулевой. Оказывается, что такой комплекс продолжать на весь Х проще, а дальше из этого (видимо) можно выудить продолжение Е по крайней мере в К-теории, а из этого уже довольно легко получить спуск.
The owner of this channel has been inactive for the last 5 months. If they remain inactive for the next 29 days, they may lose their account and admin rights in this channel. The channel will remain accessible for all users.
The owner of this channel has been inactive for the last 5 months. If they remain inactive for the next 18 days, they may lose their account and admin rights in this channel. The channel will remain accessible for all users.
to whom it may concern: http://www.bogomolov-lab.ru/SHKOLA2023/index.html (например, там вроде будет Бейлинсон)
0) Достаточно показать, что в центре Z группы G элементов хотя бы >1/2 |G|. (поскольку центр это подгруппа)
1) Пусть S это подмножество в GxG, состоящее из всех коммутирующих пар (g, h), то есть [g, h]=e. Известно, что |S|>9/10 |G|^2
2) Элемент g \in G либо центральный, либо его централизатор содержит не больше половины элементов (централизатор тоже подгруппа). Таким образом, можно посчитать
|S|=|Z||G| + sum_Z^c C_G(g), где суммирование ведётся по Z^c=G-Z дополнению к центру. Равенство это очевидно из того, что фиксируя g и рассматривая все элементы в S вида (g, x) мы видим, что x пробегают ровно централизатор g.
3) Получаем |S|<=|Z||G|+(|G|-|Z|) 1/2|G|=1/2 |Z||G|+1/2|G|^2.
С другой стороны мы знаем, что |S|>9/10 |G|^2. Теперь если |Z|<1/2|G|+1, то
1/2 |Z||G|+1/2|G|^2 < 3/4|G|^2 + 1/2|G|, что, конечно, не может быть больше 9/10|G|^2, если в G хотя бы 4 элемента.
Отсюда видно, что если G достаточно большая, то 90% можно заменить на ~75%.
Интересно, как далеко это от оптимальной оценки?
1) Пусть S это подмножество в GxG, состоящее из всех коммутирующих пар (g, h), то есть [g, h]=e. Известно, что |S|>9/10 |G|^2
2) Элемент g \in G либо центральный, либо его централизатор содержит не больше половины элементов (централизатор тоже подгруппа). Таким образом, можно посчитать
|S|=|Z||G| + sum_Z^c C_G(g), где суммирование ведётся по Z^c=G-Z дополнению к центру. Равенство это очевидно из того, что фиксируя g и рассматривая все элементы в S вида (g, x) мы видим, что x пробегают ровно централизатор g.
3) Получаем |S|<=|Z||G|+(|G|-|Z|) 1/2|G|=1/2 |Z||G|+1/2|G|^2.
С другой стороны мы знаем, что |S|>9/10 |G|^2. Теперь если |Z|<1/2|G|+1, то
1/2 |Z||G|+1/2|G|^2 < 3/4|G|^2 + 1/2|G|, что, конечно, не может быть больше 9/10|G|^2, если в G хотя бы 4 элемента.
Отсюда видно, что если G достаточно большая, то 90% можно заменить на ~75%.
Интересно, как далеко это от оптимальной оценки?
Forwarded from Непрерывное математическое образование
В конечной группе xy=yx для >90% пар (x,y). Доказать, что эта группа коммутативна.
(via А.Шень)
(via А.Шень)
Бейлинсон вспоминает о Манине:
Юрий Иванович был удивительно светлым человеком, у него не было желания руководить — и новые темы и сюжеты, в благодарность, приходили сами собой и оживали перед нашими глазами.
«И пред ним, зеленый снизу,
Голубой и синий сверху,
Мир встаёт огромной птицей,
Свищет, щёлкает, звенит.»
Время моей юности в России благоволило тем, кто принял пушкинское стихотворение «Из Пиндемонти» как часть своей души. Семинары Манина, как и фильмы Ю. Норштейна и книги Ю. Коваля, это часть счастья того лёгкого, как одуванчик, мира, его иной, лучшей свободы.
Если попробовать сказать что-то о том, как Юрий Иванович смотрел на вещи, то первым будет его умение сопоставлять факты, приходя к пониманию, которое зачастую не вписывалось в представления окружающих. Ещё, отсутствие потребности принадлежать к какому-либо людскому объединению, как и подчинять кого-либо своей воле.
Неприятие злобы и жадности в отношениях между людьми. И, конечно же, ясная доброта.
Девяностые, годы чёрной нищеты в России, почти не коснулись нас, улетевших пушинками в открывшийся новый свет. Мы видели друг друга гораздо реже, чем в Москве, где виделись или говорили по телефону едва не каждый день. Ощущение от происходящего менялось, и во время бомбардировок Сербии я в первый раз услышал в словах Юрия Ивановича грустное предчувствие того, куда все идёт…
В квартире Маниных в Бад-Годесберге окно во всю стену, а за ним Рейн. Такое чудо. Мне кажется, если видишь реку день ото дня, ты становишься ей близким, она начинает течь сквозь тебя как течёт время, оставаясь при этом самой собой как память. И это счастье.
Я так благодарен Ю.И. за всю солнечную радость, которую он подарил, которая стала частью меня.
Когда я был маленьким, Винни-Пух был моей любимой книжкой; Юрий Иванович тоже ее очень любил. «Но куда бы они ни пришли и что бы ни случилось с ними по дороге, — здесь в Зачарованном Месте на вершине холма в Лесу, маленький мальчик будет всегда, всегда играть со своим медвежонком.»
Юрий Иванович был удивительно светлым человеком, у него не было желания руководить — и новые темы и сюжеты, в благодарность, приходили сами собой и оживали перед нашими глазами.
«И пред ним, зеленый снизу,
Голубой и синий сверху,
Мир встаёт огромной птицей,
Свищет, щёлкает, звенит.»
Время моей юности в России благоволило тем, кто принял пушкинское стихотворение «Из Пиндемонти» как часть своей души. Семинары Манина, как и фильмы Ю. Норштейна и книги Ю. Коваля, это часть счастья того лёгкого, как одуванчик, мира, его иной, лучшей свободы.
Если попробовать сказать что-то о том, как Юрий Иванович смотрел на вещи, то первым будет его умение сопоставлять факты, приходя к пониманию, которое зачастую не вписывалось в представления окружающих. Ещё, отсутствие потребности принадлежать к какому-либо людскому объединению, как и подчинять кого-либо своей воле.
Неприятие злобы и жадности в отношениях между людьми. И, конечно же, ясная доброта.
Девяностые, годы чёрной нищеты в России, почти не коснулись нас, улетевших пушинками в открывшийся новый свет. Мы видели друг друга гораздо реже, чем в Москве, где виделись или говорили по телефону едва не каждый день. Ощущение от происходящего менялось, и во время бомбардировок Сербии я в первый раз услышал в словах Юрия Ивановича грустное предчувствие того, куда все идёт…
В квартире Маниных в Бад-Годесберге окно во всю стену, а за ним Рейн. Такое чудо. Мне кажется, если видишь реку день ото дня, ты становишься ей близким, она начинает течь сквозь тебя как течёт время, оставаясь при этом самой собой как память. И это счастье.
Я так благодарен Ю.И. за всю солнечную радость, которую он подарил, которая стала частью меня.
Когда я был маленьким, Винни-Пух был моей любимой книжкой; Юрий Иванович тоже ее очень любил. «Но куда бы они ни пришли и что бы ни случилось с ними по дороге, — здесь в Зачарованном Месте на вершине холма в Лесу, маленький мальчик будет всегда, всегда играть со своим медвежонком.»
G-расслоения играют важную роль в дифференциальной геометрии. Сегодня я узнал, что вложение точки в прямую в алгебраической геометрии это в некотором смысле G-расслоение.
WTF? — первый вопрос, приходящий в голову, ведь Spec(k) -> Spec(k[x]) даже не сюръективно! Причина в следующем: под G я имею в виду не алгебраическую группу, а когруппоид в категории производных k[x]-схем (aka анимированных k[x]-алгебр). Явно: G = k \otimes_k[x] k.
Как это можно увидеть? Функтор i: QCoh(k) -> QCoh(k[x]) комонадичен и комонаду легко посчитать: категория слева порождена объектом k относительно взятия копределов, поэтому комонада это просто i^* i_* k = k \otimes_k[x] k! Поэтому QCoh(k[x]) эквивалентна категории комодулей в k-векторных пространствах над нашей комонадой G. Я не проверял, что эти данные эквивалентны данным эквивариантности относительно естественного действия когруппоида, но я предполагаю, что это должно быть ок, а дальше должен быть какой-то a la Tannaka reconstruction result.
WTF? — первый вопрос, приходящий в голову, ведь Spec(k) -> Spec(k[x]) даже не сюръективно! Причина в следующем: под G я имею в виду не алгебраическую группу, а когруппоид в категории производных k[x]-схем (aka анимированных k[x]-алгебр). Явно: G = k \otimes_k[x] k.
Как это можно увидеть? Функтор i: QCoh(k) -> QCoh(k[x]) комонадичен и комонаду легко посчитать: категория слева порождена объектом k относительно взятия копределов, поэтому комонада это просто i^* i_* k = k \otimes_k[x] k! Поэтому QCoh(k[x]) эквивалентна категории комодулей в k-векторных пространствах над нашей комонадой G. Я не проверял, что эти данные эквивалентны данным эквивариантности относительно естественного действия когруппоида, но я предполагаю, что это должно быть ок, а дальше должен быть какой-то a la Tannaka reconstruction result.
🤯1
Первый пункт легко увидеть, если мы живём над комплексными числами: если A групповой объект в категории связных, гладких, проективных многообразий над С, то соответствующее ему аналитическое многообразие A^an будет связной, компактной, комплексной группой Ли.
Чтоб доказать абелевость, нужно проверить что для любого элемента x отображение сопряжение f_x: A^an -> A^an постоянно. Действительно, сопряжение сохраняет единицу и поэтому индуцирует автоморфизм касательного пространства в единице, поэтому получается голоморфное отображение A^an -> Aut(T_e(A^an))=GL_n(C). Любое такое отображение постоянно по теореме Лиувилля, поскольку A^an компактно. Этого достаточно, чтоб заключить постоянность f_x.
Чтоб доказать абелевость, нужно проверить что для любого элемента x отображение сопряжение f_x: A^an -> A^an постоянно. Действительно, сопряжение сохраняет единицу и поэтому индуцирует автоморфизм касательного пространства в единице, поэтому получается голоморфное отображение A^an -> Aut(T_e(A^an))=GL_n(C). Любое такое отображение постоянно по теореме Лиувилля, поскольку A^an компактно. Этого достаточно, чтоб заключить постоянность f_x.