Когомологии конечных циклических групп устроены очень просто, что следует из существования 2-периодической резольвенты у Z, как у тривиального модуля над групповой алгеброй.
Смешное замечание заключается в том, что когомологии Z/2 c коэффициентами в любом модуле M, в котором 2=0, являются 1-периодическими! Для этого нужно заметить, что для F_2 стандартная резольвента имеет вид:
.. -> F_2[Z/2] -> F_2[Z/2] -> F_2
где все отображения, кроме самого правого, это просто умножение на 1-t, где t — образующая Z/2. Действительно, в нашем случае 1+t+..+t^{n-1} и 1-t это одно и то же..
Здесь мы использовали некоторый несложный факт: Ext, вычисленный в категории Mod(F_2[Z/2]) такой же как и Ext в объемлющей категории Mod(Z[Z/2]).
Смешное замечание заключается в том, что когомологии Z/2 c коэффициентами в любом модуле M, в котором 2=0, являются 1-периодическими! Для этого нужно заметить, что для F_2 стандартная резольвента имеет вид:
.. -> F_2[Z/2] -> F_2[Z/2] -> F_2
где все отображения, кроме самого правого, это просто умножение на 1-t, где t — образующая Z/2. Действительно, в нашем случае 1+t+..+t^{n-1} и 1-t это одно и то же..
Здесь мы использовали некоторый несложный факт: Ext, вычисленный в категории Mod(F_2[Z/2]) такой же как и Ext в объемлющей категории Mod(Z[Z/2]).
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Юрий Иванович Манин (16.02.1937–07.01.2023)
На пути к п-адической теории Ходжа.
Один из центральных сюжетов в комплексной геометрии это разложение Ходжа. Морально оно о том, что для компактных Кэлеровых многообразий есть прямая связь между их топологией и комплексной структурой. А именно: сингулярные когомологии (чисто топологическая вещь) раскладываются в прямую сумму Ходжевых когомологий (вещь, зависящая от гладкой структуры). Например, из этого разложения моментально следует такой факт, демонстрирующий прямую связь между топологией и гладкой структурой: на односвязном компактном Кэлеровом многообразии нет глобально определённых голоморфных форм.
Как часто происходит в математике, утверждения из одной области мотивируют вопросы в других областях. Так, это разложение провоцирует нас задать много интересных вопросов.
1) что происходит для особых многообразий? (Теория Делиня о смешанных структурах Ходжа)
2) чем заменить сингулярные когомологии для многообразий над произвольными полями? (Теория этальных когомологий Гротендика)
3) как сформулировать это утверждение для многообразий над произвольными полями и верно ли оно там? (Теория Делиня-Иллюзи о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама)
4) в стандартной картинке нет разницы между когомологиями де Рама и сингулярными. Так ли это для этальных? (Теория Фонтена колец периодов: сравнение де Рама, кристальное)
Один из центральных сюжетов в комплексной геометрии это разложение Ходжа. Морально оно о том, что для компактных Кэлеровых многообразий есть прямая связь между их топологией и комплексной структурой. А именно: сингулярные когомологии (чисто топологическая вещь) раскладываются в прямую сумму Ходжевых когомологий (вещь, зависящая от гладкой структуры). Например, из этого разложения моментально следует такой факт, демонстрирующий прямую связь между топологией и гладкой структурой: на односвязном компактном Кэлеровом многообразии нет глобально определённых голоморфных форм.
Как часто происходит в математике, утверждения из одной области мотивируют вопросы в других областях. Так, это разложение провоцирует нас задать много интересных вопросов.
1) что происходит для особых многообразий? (Теория Делиня о смешанных структурах Ходжа)
2) чем заменить сингулярные когомологии для многообразий над произвольными полями? (Теория этальных когомологий Гротендика)
3) как сформулировать это утверждение для многообразий над произвольными полями и верно ли оно там? (Теория Делиня-Иллюзи о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама)
4) в стандартной картинке нет разницы между когомологиями де Рама и сингулярными. Так ли это для этальных? (Теория Фонтена колец периодов: сравнение де Рама, кристальное)
Алгебраическая К-теория (по Квиллену) удовлетворяет спуску Нисневича (некоторая вариация последовательности Майера-Виеториса). Это фундаментальный результат, доказанный Томасоном больше 30 лет назад.
Необычно в этой работе то, что у неё было два автора, хотя один из них умер примерно за 3 года до её публикации. Вот что сказано в благодарностях в оригинальной работе:
The first author must state that his coauthor and close friend, Tom Trobaugh,
quite intelligent, singularly original, and inordinately generous, killed himself consequent to endogenous depression. Ninety-four days later, in my
dream, Tom’s simulacrum remarked, “The direct limit characterization of
perfect complexes shows that they extend, just as one extends a coherent
sheaf.” Awaking with a start, I knew this idea had to be wrong, since some
perfect complexes have a non-vanishing K0 obstruction to extension. I had
worked on this problem for 3 years, and saw this approach to be hopeless.
But Tom’s simulacrum had been so insistent, I knew he wouldn’t let me
sleep undisturbed until I had worked out the argument and could point to
the gap. This work quickly led to the key results of this paper. To Tom,
I could have explained why he must be listed as a coauthor. During his
lifetime, Tom also pointed out the interesting comparison of the careers of
Grothendieck and Newton.
Небольшой математический комментарий по этому поводу: “just as one extends a coherent sheaf” это по сути упражнение из Хартсхорна, которое говорит, что для любого когерентного пучка на открытой подсхеме в некоторой схеме Х существует когерентный пучок на всём Х, который даёт нужное ограничение. Как правильно пишет Томасон, для совершенных комплексов это неверно и препятствие лежит в K_{-1}_Z (X), то есть в К-теории Х с носителем на дополнении к открытому множеству. В некотором смысле Томасон знал слишком много.. Тем не менее его друг в его же видении был (в некотором смысле) прав. А именно, Томасон использовал такую совершенно чудесную по своей простоте и наивности идею: для совершенного комплекса Е, быть может, препятствие в К-теории и ненулевое, но для E + E[1] оно уж точно нулевое, поскольку просто класс у этого комплекса нулевой. Оказывается, что такой комплекс продолжать на весь Х проще, а дальше из этого (видимо) можно выудить продолжение Е по крайней мере в К-теории, а из этого уже довольно легко получить спуск.
Необычно в этой работе то, что у неё было два автора, хотя один из них умер примерно за 3 года до её публикации. Вот что сказано в благодарностях в оригинальной работе:
The first author must state that his coauthor and close friend, Tom Trobaugh,
quite intelligent, singularly original, and inordinately generous, killed himself consequent to endogenous depression. Ninety-four days later, in my
dream, Tom’s simulacrum remarked, “The direct limit characterization of
perfect complexes shows that they extend, just as one extends a coherent
sheaf.” Awaking with a start, I knew this idea had to be wrong, since some
perfect complexes have a non-vanishing K0 obstruction to extension. I had
worked on this problem for 3 years, and saw this approach to be hopeless.
But Tom’s simulacrum had been so insistent, I knew he wouldn’t let me
sleep undisturbed until I had worked out the argument and could point to
the gap. This work quickly led to the key results of this paper. To Tom,
I could have explained why he must be listed as a coauthor. During his
lifetime, Tom also pointed out the interesting comparison of the careers of
Grothendieck and Newton.
Небольшой математический комментарий по этому поводу: “just as one extends a coherent sheaf” это по сути упражнение из Хартсхорна, которое говорит, что для любого когерентного пучка на открытой подсхеме в некоторой схеме Х существует когерентный пучок на всём Х, который даёт нужное ограничение. Как правильно пишет Томасон, для совершенных комплексов это неверно и препятствие лежит в K_{-1}_Z (X), то есть в К-теории Х с носителем на дополнении к открытому множеству. В некотором смысле Томасон знал слишком много.. Тем не менее его друг в его же видении был (в некотором смысле) прав. А именно, Томасон использовал такую совершенно чудесную по своей простоте и наивности идею: для совершенного комплекса Е, быть может, препятствие в К-теории и ненулевое, но для E + E[1] оно уж точно нулевое, поскольку просто класс у этого комплекса нулевой. Оказывается, что такой комплекс продолжать на весь Х проще, а дальше из этого (видимо) можно выудить продолжение Е по крайней мере в К-теории, а из этого уже довольно легко получить спуск.
The owner of this channel has been inactive for the last 5 months. If they remain inactive for the next 29 days, they may lose their account and admin rights in this channel. The channel will remain accessible for all users.
The owner of this channel has been inactive for the last 5 months. If they remain inactive for the next 18 days, they may lose their account and admin rights in this channel. The channel will remain accessible for all users.
to whom it may concern: http://www.bogomolov-lab.ru/SHKOLA2023/index.html (например, там вроде будет Бейлинсон)