Как написано в следующем посте в этом паблике, эта задача связана с кластерными алгебрами, которые придумали Фомин с Зелевинским около 20 лет назад. Год назад я как раз ходил на курс про кластерные алгебры, который читал Фомин, а усложнённая версия этой задачи была в одном из домашних заданий.
Кластерные алгебры это такие коммутативные алгебры, у которых есть выделенные наборы образующих элементов, которые называются кластерами. Более того, есть некоторая комбинаторная операция, которая позволяет переходить от одного кластера к другому. Операция эта называется “мутированием”. То есть можно промутировать одну образующую и получить новый кластер, который отличается от старого одной образующей. Что замечательно, старая образующая X отличается от новой Y очень понятным образом: верна формула XY = M + M’, где M, M’ это мономы от старых образующих. Самое главное свойство кластерных алгебр заключается в феномене Лорана: новые кластерные образующие (те, которые мы получаем мутированием) это полиномы Лорана от старых.
Как это связано с задачей? Иногда кластерные алгебры приходят из колчанов и правило мутирования соответствует очень простой комбинаторной операции с колчанами. Конструкция простая, но рассказывать я её не буду, будем использовать её как чёрный ящик. Так вот трюк в том, что эта рекуррента это просто алгебраически записанное правило мутирования в некотором колчане (pic.). А если в его вершины поместить кластерные образующие z_1, z_2, z_3, z_4, то все остальные кластерные образующие z_n будут полиномами Лорана от первых четырёх, а поскольку мы придали всем четырём образующим значение 1, то все кластерные образующие специализируются в целые числа!
Более интересная задача: что будет если z_1=z_2=1, z_3=2, z_4=5? Тут уже чуть хитрее, но не сильно. Я приложу своё решение (неоптимальное), но по большому счёту всё опять следует из феномена Лорана.
Кластерные алгебры это такие коммутативные алгебры, у которых есть выделенные наборы образующих элементов, которые называются кластерами. Более того, есть некоторая комбинаторная операция, которая позволяет переходить от одного кластера к другому. Операция эта называется “мутированием”. То есть можно промутировать одну образующую и получить новый кластер, который отличается от старого одной образующей. Что замечательно, старая образующая X отличается от новой Y очень понятным образом: верна формула XY = M + M’, где M, M’ это мономы от старых образующих. Самое главное свойство кластерных алгебр заключается в феномене Лорана: новые кластерные образующие (те, которые мы получаем мутированием) это полиномы Лорана от старых.
Как это связано с задачей? Иногда кластерные алгебры приходят из колчанов и правило мутирования соответствует очень простой комбинаторной операции с колчанами. Конструкция простая, но рассказывать я её не буду, будем использовать её как чёрный ящик. Так вот трюк в том, что эта рекуррента это просто алгебраически записанное правило мутирования в некотором колчане (pic.). А если в его вершины поместить кластерные образующие z_1, z_2, z_3, z_4, то все остальные кластерные образующие z_n будут полиномами Лорана от первых четырёх, а поскольку мы придали всем четырём образующим значение 1, то все кластерные образующие специализируются в целые числа!
Более интересная задача: что будет если z_1=z_2=1, z_3=2, z_4=5? Тут уже чуть хитрее, но не сильно. Я приложу своё решение (неоптимальное), но по большому счёту всё опять следует из феномена Лорана.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
а) последовательность задана рекуррентой z[k+2]*z[k]=z[k+1]^2+1
и начальным условием z[0]=z[1]=1
(например, z[2]=2, z[3]=5…)
б) последовательность задана рекуррентой z[k+4]*z[k]=z[k+3]*z[k+1]+z[k+2]^2
и начальным условием z[0]=z[1]=z[2]=z[3]=1
(например, z[4]=2, z[5]=3…)
в обоих случаях предлагается доказать, что все члены последовательности — целые числа
и начальным условием z[0]=z[1]=1
(например, z[2]=2, z[3]=5…)
б) последовательность задана рекуррентой z[k+4]*z[k]=z[k+3]*z[k+1]+z[k+2]^2
и начальным условием z[0]=z[1]=z[2]=z[3]=1
(например, z[4]=2, z[5]=3…)
в обоих случаях предлагается доказать, что все члены последовательности — целые числа
Сегодня в самолёте встретил Эдуард Лоенга, который, в частности, делал доклад на ICM в 1978 году. До сегодняшнего дня я его не знал, просто увидел какого-то дедушку, который листал работу про когомологии многообразий Шимуры. На выходе из самолёта уже поговорил с ним; он даже угадал чем я занимаюсь, когда я сказал кто мой научный руководитель. Что забавно, он был на сабатикле в Энн Арборе ещё до моего рождения.
Но запомнится он мне не этим, а тем как он кекал над фильмом с Адамом Сендлером.
Но запомнится он мне не этим, а тем как он кекал над фильмом с Адамом Сендлером.
Wikipedia
Лоенга, Эдуард
Эдуард Якоб Невен Лоенга — голландский математик, известный работами в алгебраической геометрии и теории алгебраических групп.
Когомологии конечных циклических групп устроены очень просто, что следует из существования 2-периодической резольвенты у Z, как у тривиального модуля над групповой алгеброй.
Смешное замечание заключается в том, что когомологии Z/2 c коэффициентами в любом модуле M, в котором 2=0, являются 1-периодическими! Для этого нужно заметить, что для F_2 стандартная резольвента имеет вид:
.. -> F_2[Z/2] -> F_2[Z/2] -> F_2
где все отображения, кроме самого правого, это просто умножение на 1-t, где t — образующая Z/2. Действительно, в нашем случае 1+t+..+t^{n-1} и 1-t это одно и то же..
Здесь мы использовали некоторый несложный факт: Ext, вычисленный в категории Mod(F_2[Z/2]) такой же как и Ext в объемлющей категории Mod(Z[Z/2]).
Смешное замечание заключается в том, что когомологии Z/2 c коэффициентами в любом модуле M, в котором 2=0, являются 1-периодическими! Для этого нужно заметить, что для F_2 стандартная резольвента имеет вид:
.. -> F_2[Z/2] -> F_2[Z/2] -> F_2
где все отображения, кроме самого правого, это просто умножение на 1-t, где t — образующая Z/2. Действительно, в нашем случае 1+t+..+t^{n-1} и 1-t это одно и то же..
Здесь мы использовали некоторый несложный факт: Ext, вычисленный в категории Mod(F_2[Z/2]) такой же как и Ext в объемлющей категории Mod(Z[Z/2]).
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Юрий Иванович Манин (16.02.1937–07.01.2023)
На пути к п-адической теории Ходжа.
Один из центральных сюжетов в комплексной геометрии это разложение Ходжа. Морально оно о том, что для компактных Кэлеровых многообразий есть прямая связь между их топологией и комплексной структурой. А именно: сингулярные когомологии (чисто топологическая вещь) раскладываются в прямую сумму Ходжевых когомологий (вещь, зависящая от гладкой структуры). Например, из этого разложения моментально следует такой факт, демонстрирующий прямую связь между топологией и гладкой структурой: на односвязном компактном Кэлеровом многообразии нет глобально определённых голоморфных форм.
Как часто происходит в математике, утверждения из одной области мотивируют вопросы в других областях. Так, это разложение провоцирует нас задать много интересных вопросов.
1) что происходит для особых многообразий? (Теория Делиня о смешанных структурах Ходжа)
2) чем заменить сингулярные когомологии для многообразий над произвольными полями? (Теория этальных когомологий Гротендика)
3) как сформулировать это утверждение для многообразий над произвольными полями и верно ли оно там? (Теория Делиня-Иллюзи о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама)
4) в стандартной картинке нет разницы между когомологиями де Рама и сингулярными. Так ли это для этальных? (Теория Фонтена колец периодов: сравнение де Рама, кристальное)
Один из центральных сюжетов в комплексной геометрии это разложение Ходжа. Морально оно о том, что для компактных Кэлеровых многообразий есть прямая связь между их топологией и комплексной структурой. А именно: сингулярные когомологии (чисто топологическая вещь) раскладываются в прямую сумму Ходжевых когомологий (вещь, зависящая от гладкой структуры). Например, из этого разложения моментально следует такой факт, демонстрирующий прямую связь между топологией и гладкой структурой: на односвязном компактном Кэлеровом многообразии нет глобально определённых голоморфных форм.
Как часто происходит в математике, утверждения из одной области мотивируют вопросы в других областях. Так, это разложение провоцирует нас задать много интересных вопросов.
1) что происходит для особых многообразий? (Теория Делиня о смешанных структурах Ходжа)
2) чем заменить сингулярные когомологии для многообразий над произвольными полями? (Теория этальных когомологий Гротендика)
3) как сформулировать это утверждение для многообразий над произвольными полями и верно ли оно там? (Теория Делиня-Иллюзи о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама)
4) в стандартной картинке нет разницы между когомологиями де Рама и сингулярными. Так ли это для этальных? (Теория Фонтена колец периодов: сравнение де Рама, кристальное)
Алгебраическая К-теория (по Квиллену) удовлетворяет спуску Нисневича (некоторая вариация последовательности Майера-Виеториса). Это фундаментальный результат, доказанный Томасоном больше 30 лет назад.
Необычно в этой работе то, что у неё было два автора, хотя один из них умер примерно за 3 года до её публикации. Вот что сказано в благодарностях в оригинальной работе:
The first author must state that his coauthor and close friend, Tom Trobaugh,
quite intelligent, singularly original, and inordinately generous, killed himself consequent to endogenous depression. Ninety-four days later, in my
dream, Tom’s simulacrum remarked, “The direct limit characterization of
perfect complexes shows that they extend, just as one extends a coherent
sheaf.” Awaking with a start, I knew this idea had to be wrong, since some
perfect complexes have a non-vanishing K0 obstruction to extension. I had
worked on this problem for 3 years, and saw this approach to be hopeless.
But Tom’s simulacrum had been so insistent, I knew he wouldn’t let me
sleep undisturbed until I had worked out the argument and could point to
the gap. This work quickly led to the key results of this paper. To Tom,
I could have explained why he must be listed as a coauthor. During his
lifetime, Tom also pointed out the interesting comparison of the careers of
Grothendieck and Newton.
Небольшой математический комментарий по этому поводу: “just as one extends a coherent sheaf” это по сути упражнение из Хартсхорна, которое говорит, что для любого когерентного пучка на открытой подсхеме в некоторой схеме Х существует когерентный пучок на всём Х, который даёт нужное ограничение. Как правильно пишет Томасон, для совершенных комплексов это неверно и препятствие лежит в K_{-1}_Z (X), то есть в К-теории Х с носителем на дополнении к открытому множеству. В некотором смысле Томасон знал слишком много.. Тем не менее его друг в его же видении был (в некотором смысле) прав. А именно, Томасон использовал такую совершенно чудесную по своей простоте и наивности идею: для совершенного комплекса Е, быть может, препятствие в К-теории и ненулевое, но для E + E[1] оно уж точно нулевое, поскольку просто класс у этого комплекса нулевой. Оказывается, что такой комплекс продолжать на весь Х проще, а дальше из этого (видимо) можно выудить продолжение Е по крайней мере в К-теории, а из этого уже довольно легко получить спуск.
Необычно в этой работе то, что у неё было два автора, хотя один из них умер примерно за 3 года до её публикации. Вот что сказано в благодарностях в оригинальной работе:
The first author must state that his coauthor and close friend, Tom Trobaugh,
quite intelligent, singularly original, and inordinately generous, killed himself consequent to endogenous depression. Ninety-four days later, in my
dream, Tom’s simulacrum remarked, “The direct limit characterization of
perfect complexes shows that they extend, just as one extends a coherent
sheaf.” Awaking with a start, I knew this idea had to be wrong, since some
perfect complexes have a non-vanishing K0 obstruction to extension. I had
worked on this problem for 3 years, and saw this approach to be hopeless.
But Tom’s simulacrum had been so insistent, I knew he wouldn’t let me
sleep undisturbed until I had worked out the argument and could point to
the gap. This work quickly led to the key results of this paper. To Tom,
I could have explained why he must be listed as a coauthor. During his
lifetime, Tom also pointed out the interesting comparison of the careers of
Grothendieck and Newton.
Небольшой математический комментарий по этому поводу: “just as one extends a coherent sheaf” это по сути упражнение из Хартсхорна, которое говорит, что для любого когерентного пучка на открытой подсхеме в некоторой схеме Х существует когерентный пучок на всём Х, который даёт нужное ограничение. Как правильно пишет Томасон, для совершенных комплексов это неверно и препятствие лежит в K_{-1}_Z (X), то есть в К-теории Х с носителем на дополнении к открытому множеству. В некотором смысле Томасон знал слишком много.. Тем не менее его друг в его же видении был (в некотором смысле) прав. А именно, Томасон использовал такую совершенно чудесную по своей простоте и наивности идею: для совершенного комплекса Е, быть может, препятствие в К-теории и ненулевое, но для E + E[1] оно уж точно нулевое, поскольку просто класс у этого комплекса нулевой. Оказывается, что такой комплекс продолжать на весь Х проще, а дальше из этого (видимо) можно выудить продолжение Е по крайней мере в К-теории, а из этого уже довольно легко получить спуск.