Через 2 дня еду на learning workshop, где будет 4 курса, а именно:
1) торсоры над регулярными кольцами. Читать его будет очень сильный математик Kęstutis Česnavičius, который мне известен по совместной работе с Шольце про чистоту для когомологий в плоской топологии. Задача, кажется, возникла из сюжета над которым думал ещё Гротендик, но я плохо знаю про что это.
2) Локальные когомологии и комплекс Дюбуа. Что-то про извращённые пучки и связь с особенностями?
3) Особенности в смешанной и положительной характеристиках. Какие-то спекуляции на тему F-регулярности, про которые я ничего не знаю и ничего не понимаю, но будет шанс (мб) что-то понять.
4) К-стабильность и многообразия Фано. Что-то про построение пространства модулей каких-то специальных многообразий Фано.
Есть надежда, что из первого курса на самом деле много следствий, который можно сформулировать на элементарном языке, но посмотрим. Думаю про каждый писать какие-то главные идеи, которые там возникают.

В дифференциальной геометрии ключевое понятие это метрика на многообразии. Когда метрика хорошая — дифференциальным геометрам тоже хорошо. Один класс хороших метрик — метрики Кэлера-Эйнштейна. Кэлеровость значит согласованность метрики с комплексной структурой, а Эйнштейновость значит, что тензор Ричи пропорционален самой метрике (я плохо понимаю смысл этого, но мб кто-нибудь объяснит в комментариях, если я пойму как их включить).
Фундаментальный вопрос: когда на многообразии существует метрика Кэлера-Эйнштейна? Для “неположительных” многообразий ответ: всегда. “Неположительное” значит, что канонический класс (первый класс Черна кокасательного расслоения) отрицательный или нулевой.
Случай, когда первый класс Черна нулевой, это частный случай гипотезы Калаби, которую одолел Яу, за которую он получил Филдса.
В положительном случае (то есть в случае многообразий Фано), ответ: не всегда.
Оказывается, что такой дифференциально-геометрический вопрос тесно связан с алгебро-геометрическим понятием K-стабильности. А именно, для каждого многообразия Фано можно построить некоторый численный инвариант, который называется инвариант Футаки и вот многообразие называется K-полистабильным если этот инвариант неотрицательный. Строится этот инвариант чисто алгебро-геометрически. Чудесным образом оказывается, что многообразие допускает метрику Кэлера-Эйнштейна iff оно К-полистабильно.
Ещё это понятие К-полистабильности замечательно следующим. Вообще говоря, нет пространства модулей которое параметризует все многообразия Фано. Например, гиперповерхности заданные уравнением
t(x^3+y^3+z^3)+w^3=0 являются многообразиями Фано если t>0, но если t=0, то это тройная гиперплоскость и она не является Фано. А вот пространство модулей К-полистабильных многообразий Фано существует и оно проективное многообразие!

Пусть Х это гладкое многообразие. Один из способов что-то понять про Х — посмотреть какие на нём бывают векторные расслоения. Например, если X это евклидово пространство, то никаких нетривиальных не бывает, поскольку оно стягиваемо.
Что происходит в алгебраическом сеттинге? Аналог евклидова пространства это аффинное пространство Spec k[x_1, .., x_n] над полем, его алгебра функций это алгебра полиномов. Что такое (алгебраические) векторные расслоения на таком объекте? Это отдельный хороший вопрос, но не очень сложный: опираясь на теорему Свона-Серра, единственное разумное решение это рассматривать конечно-порождённые проективные модули над алгеброй полиномов.
Давайте посмотрим пример: в размерности один у нас есть k[x] и какой-то проективный модуль М. Несложно проверить, что такой M обязательно свободный (здесь важно что k[x] — кольцо главных идеалов). В частности, на аффинной прямой нет нетривиальных векторных расслоений!
Мотивируясь этим разумно предположить, что и в старших размерностях наблюдается подобный феномен, естественным образом обобщающий наблюдение из гладкой науки, что на евклидовом пространстве нет нетривиальных векторных расслоений. Это гипотезу выдвинул Серр в 1957 году. Решить ему её не удалось и она провисела открытой аж почти 20 лет! В конце концов независимо её одолели 2 человека: Квиллен и Суслин и доказательство там сильно неэлементарное.
Есть обобщение этой гипотезы: гипотеза Гротендика-Серра, которая говорит что на регулярном локальном кольце не бывает нетривиальных G-торсоров (в плоской топологии), где G — редуктивная, которые тривиализуются над общей точкой. Не вдаваясь в подробности (поскольку это сложно) скажу одну вещь: у этой гипотезы есть разветвлённый и неразветвлённый аналоги и вот про второй людям даже не понятно как подступиться! И скорее всего ещё довольно долго придётся ждать пока появятся нужные для её понимания инструменты.

Самая неожиданная связь в математике, которую я встречал это monstrous moonshine, она соединяет два мира, которые на первый взгляд не имеют ничего общего.
А именно, первый мир это мир групп. Есть понятие простой группы: та, у которой нет нетривиальных нормальных подгрупп <=> нетривиальных факторов, то есть попросту говоря она не является расширением никаких двух нетривиальных групп. Как описать все простые группы? Это, конечно, непосильная задача, но вот описать все конечные простые группы мы можем. А именно, есть несколько “регулярных” серий: циклические простого порядка, группа чётных перестановок A_n для больших n и группы типа Ли.
Но есть ещё конечный набор “спорадических” простых групп, которые не укладываются ни в какие серии, но почему-то существует, в частности есть самая большая спорадическая простая группа — группа Монстр.
Теперь второй мир: мир эллиптических кривых. Эллиптическая кривая над комплексными числами с топологической точки зрения просто тор. Но не простой тор, а который на самом деле представляется как фактор комплексной прямой по некоторой решётке и, более того, любую такую решётку можно преобразовать в решётку вида (1, t), где t лежит в верхней полуплоскости, и алгебраическая структура эллиптической кривой от этого не пострадает. Таким образом, точки верхней полуплоскости параметризуют эллиптические кривые. Каждой эллиптической кривой можно сопоставить некоторое число — j-инвариант этой кривой. Из того что я сказал выше этот j-инвариант можно рассматривать как функцию на верхней полуплоскости. Эта функция на самом деле мероморфная, а потому её можно разложить в ряд.
Как эти два мира соединяются? Ряд Лорана j-инварианта выглядит как 1/q+196884q+…, если внимательно посмотреть то коэффициент при q отличается от размерности минимального нетривиального неприводимого представления Монстра на 1! Оказывается, что остальные коэффициенты тоже некоторым разумным образом выражаются через размерности неприводимых представлений Монстра. Доказал чётко сформулированную связь между этими двумя мирами Ричард Борчердс в 1992 году, за что, в частности, получил Филдса. В доказательстве центральным понятием является понятие алгебры вершинных операторов (vertex operator algebra). Картинка в доказательстве довольно понятная — мб как-нибудь напишу про неё. Кстати, для остальных спорадических групп тоже есть некоторые мосты с модулярным миром, в частности для некоторых для них они уже построены, но не для всех.

галимый/галиматья
Оказывается, слово “галиматья” произошло от французского слова “galimatias”. Одна смешная версия на википедии гласит, что этимологически оно происходит от латинского слова gallus — “петух” и греческого слова matthias — “знание”. Другой вопрос, что про слово “галимый” не так всё очевидно. Я был убеждён, что слова “галимый” и “галиматья” одного поля ягоды, но гугл вот не уверен. Говорит, что “галимый” может происходить от “голимый”, что примерно значит “голый”.
Так или иначе, вывод прост: если вы видите кого-то кто говорит “лох галимый”, не смущайтесь; — перед фами француз.

Про что современная алгебраическая геометрия?
Ответ можно посмотреть вот в этом докладе, который рассчитан на широкую публику, а потому очень прост к пониманию:
https://www.youtube.com/watch?v=FWVHJlljouE

Как написано в следующем посте в этом паблике, эта задача связана с кластерными алгебрами, которые придумали Фомин с Зелевинским около 20 лет назад. Год назад я как раз ходил на курс про кластерные алгебры, который читал Фомин, а усложнённая версия этой задачи была в одном из домашних заданий.
Кластерные алгебры это такие коммутативные алгебры, у которых есть выделенные наборы образующих элементов, которые называются кластерами. Более того, есть некоторая комбинаторная операция, которая позволяет переходить от одного кластера к другому. Операция эта называется “мутированием”. То есть можно промутировать одну образующую и получить новый кластер, который отличается от старого одной образующей. Что замечательно, старая образующая X отличается от новой Y очень понятным образом: верна формула XY = M + M’, где M, M’ это мономы от старых образующих. Самое главное свойство кластерных алгебр заключается в феномене Лорана: новые кластерные образующие (те, которые мы получаем мутированием) это полиномы Лорана от старых.
Как это связано с задачей? Иногда кластерные алгебры приходят из колчанов и правило мутирования соответствует очень простой комбинаторной операции с колчанами. Конструкция простая, но рассказывать я её не буду, будем использовать её как чёрный ящик. Так вот трюк в том, что эта рекуррента это просто алгебраически записанное правило мутирования в некотором колчане (pic.). А если в его вершины поместить кластерные образующие z_1, z_2, z_3, z_4, то все остальные кластерные образующие z_n будут полиномами Лорана от первых четырёх, а поскольку мы придали всем четырём образующим значение 1, то все кластерные образующие специализируются в целые числа!
Более интересная задача: что будет если z_1=z_2=1, z_3=2, z_4=5? Тут уже чуть хитрее, но не сильно. Я приложу своё решение (неоптимальное), но по большому счёту всё опять следует из феномена Лорана.

а) последовательность задана рекуррентой z[k+2]*z[k]=z[k+1]^2+1
и начальным условием z[0]=z[1]=1
(например, z[2]=2, z[3]=5…)

б) последовательность задана рекуррентой z[k+4]*z[k]=z[k+3]*z[k+1]+z[k+2]^2
и начальным условием z[0]=z[1]=z[2]=z[3]=1
(например, z[4]=2, z[5]=3…)

в обоих случаях предлагается доказать, что все члены последовательности — целые числа