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O QUE É UMA PROVA?

Por William P. Thurston

Esta transcrição é parte do famoso ensaio On the proof and Progress in Mathematics (Sobre prova e progresso em matemática) de William P. Thurston que a Revista Matemática Universitária número 17 de dezembro de 1994 traduziu e publicou e cujas ideias servem muito bem na atualidade. Vejamos então segundo o autor "O que é uma prova?".

Quando iniciei meu curso de pós-graduação em Berkeley, tive dificuldades em imaginar como poderia "provar" um teorema matemático novo e interessante. De fato, eu não compreendia o que era uma "prova".

Participando de seminários, lendo artigos, e conversando com outros alunos de pós-graduação, comecei gradualmente a dominar o assunto. Em qualquer área, existem certos teoremas e certas técnicas que são comumente conhecidas e comumente aceitas. Quando você escreve um artigo, refere-se a eles sem prova. Você lê outros artigos da área, e vê quais fatos são admitidos sem demonstração, e os que citam em suas bibliografias. Você aprende de outras pessoas algumas ideias das provas. Aí você está livre para usar os mesmos teoremas e fazer as mesmas citações. Você não tem que ler todos os artigos e livros que estão em sua bibliografia.

Muito das coisas comumente conhecidas são coisas para as quais podem não existir fontes escritas conhecidas. Enquanto os especialistas da área confiarem que a ideia funciona, não é necessário haver uma referência escrita. Inicialmente, eu estava bastante desconfiado desse processo. Tinha dúvidas sobre quando uma ideia estava realmente estabelecida. Mas descobri que poderia perguntar às pessoas, e elas poderiam fornecer-me explicações e provas, ou indicar-me outras pessoas ou fontes escritas que me dariam explicações e provas. Existiam teoremas publicados que eram reconhecidamente falsos, ou cujas provas eram reconhecidamente incompletas.

"O conhecimento e a compreensão da matemática estão mergulhados nas mentes e no tecido social daqueles que pensam sobre um tópico específico. Este conhecimento está apoiado em documentos escritos, mas estes não são realmente indispensáveis".

Penso que esse modelo varia bastante de uma área para outra. Eu estava interessado em áreas geométricas da matemática, onde é difícil aparecer um trabalho que reflita bem o modo como as pessoas pensam. Em áreas mais algébricas ou simbólicas, não é necessariamente assim, e tenho a impressão que em algumas áreas os documentos estão muito próximos de trazerem consigo a vida do assunto. Mas em qualquer área, existe um forte padrão social de validade e de verdade. A prova de Andrew Wiles para o Último Teorema de Fermat é uma boa ilustração disso, numa área que é muito algébrica.

Os especialistas começam a acreditar que a prova está basicamente com base em idéias de alto nível, muito antes dos detalhes terem sido checados. Esta demonstração passará por maior verificação e escrutínio se comparada com a maioria das provas matemáticas; mas independente de como o processo de verificação ocorra, ele ajuda a ilustrar como a matemática evolui por processos psicológicos e sociais basicamente orgânicos. Quando se faz matemática, o fluxo de ideias e o padrão social de validade são muito mais confiáveis que documentos formais.

"As pessoas não são usualmente muito boas para checar a correção formal das provas, mas o são para detectar pontos fracos e falhas potenciais em uma prova".

Para evitar más interpretações, gostaria de enfatizar duas coisas que não estou dizendo. Primeiro, não estou advogando qualquer relaxamento do modelo de provas de nossa comunidade; estou tentando descrever como o processo funciona na realidade. Demonstrações cuidadosas que sobrevivem ao escrutínio são muito importantes. Penso que o processo da prova com um todo funciona muito bem na comunidade matemática.

"A natureza da mudança que eu advogaria é que os ma[...]

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