موجودة ومحددة ولا تعتمد على الاتجاه الذي نقترب منه z نحو z0

في المستوى المركب المتغير z يمكن أن يقترب من z0 بعدد لا نهائي من الاتجاهات، ولذلك يجب أن تكون قيمة المشتقة واحدة مهما كان الاتجاه. هذه هي المشكلة الأساسية التي حلتها شروط كوشي ريمان، وهي ضمان أن هذه النهاية تكون نفسها من أي اتجاه في المستوى المركب.

إذا اقتربنا من النقطة z0 على محور x (أي y = y0)، نحصل على:

f’(z0) = ∂u/∂x (x0, y0) + i * ∂v/∂x (x0, y0)

أما إذا اقتربنا من محور y (أي x = x0)، نحصل على:

f’(z0) = ∂v/∂y (x0, y0) - i * ∂u/∂y (x0, y0)

لكي تكون المشتقة واحدة يجب أن تتساوى القيمتان، أي:

∂u/∂x + i * ∂v/∂x = ∂v/∂y - i * ∂u/∂y

بمساواة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي نحصل على شروط كوشي ريمان
1. ∂u/∂x = ∂v/∂y
2. ∂u/∂y = -∂v/∂x

بالآتي
إذا كانت الدالة تحقق هذين الشرطين وكانت المشتقات الجزئية مستمرة في الجوار، فإن f تكون قابلة للاشتقاق بالمعنى المركب (أي دالة تحليلية holomorphic).

@mathror

ما المشكلة التي حلتها هذه الشروط؟

في التحليل المركب، المتغير z يمكن أن يقترب من النقطة في عدد لا نهائي من الاتجاهات.
لذلك لا يكفي تعريف المشتقة كما في التحليل الحقيقي (من اتجاه واحد فقط).
شروط كوشي ريمان تضمن أن مشتقة f(z) ستكون نفسها مهما كان الاتجاه، أي أن الدالة قابلة للاشتقاق في المستوى المركب.

@mathror

متباينة كوشي–شوارتز (Cauchy–Schwarz Inequality) هي واحدة من أهم المتباينات في التحليل الرياضي والجبر الخطي ونظرية الفضاءات المتجهية، وتمثل قاعدة أساسية في دراسة الزوايا والمسافات في الفضاءات الإقليدية والفضاءات المتجهية المزودة بجداء داخلي.
(المقصود بالجداء الداخلي هو عملية حسابية يمكن استخدامها ليس فقط في الفضاءات التي نعرفها مثل المستوى أو الفضاء الثلاثي، بل في أي فضاء رياضي آخر، حتى لو لم نستطع رسمه أو تخيله.
عن طريق هذه العملية يمكننا أن نحسب طول أي متجه، والزاوية بين متجهين، والمسافة بين نقطتين، وحتى مقدار إسقاط متجه على آخر، تمامًا كما نفعل في الهندسة العادية.
بعبارة أبسط: الجداء الداخلي يعمم قواعد الهندسة المعروفة لتعمل في كل أنواع الفضاءات الرياضية)

@mathror

كتاب
A First Course in Linear Algebra
المؤلف: Kenneth Kuttler

هذا الكتاب يعد أول مدخل منهجي للجبر الخطي، يبدأ من الصفر ويُقدم المفاهيم خطوة بخطوة بطريقة منطقية تربط بين الحساب والمنطق الرياضي.

@mathror

مواضيع الكتاب باختصار:
1. أنظمة المعادلات الخطية والمصفوفات

2. الفضاءات المتجهية (Vector Spaces)

3. التحويلات الخطية (Linear Transformations)

4. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (Eigenvalues & Eigenvectors)

5. الأسس النظرية والبرهان الرياضي


@mathror

هذا ايضا جبر خطي لكن هذا للمتقدمين وليس للمبتدئين
يعني يفضل دراسة الكتاب الاول وبعدها الإنتقال لهذا الكتاب

اسمه
Advanced Linear Algebra Steven Roman

@mathror

[التخلي عن العواطف والأنا هو أول مفاتيح الفهم العلمي.]

إذا كنت طالب علم حقيقي يحمل فضولاً أصيلاً ورغبة حقيقية في معرفة الإجابات قبل أن تنقضي حياتك القصيرة وسط صعوبات الواقع، فعليك
أولاً: أن تهدأ، وتضبط انفعالاتك، وتكبح نزعة الأنا داخلك. لأنك إن لم تفعل، فلن تصل إلى معرفة تُرضي العقل، بل ستجد نفسك تميل نحو إجابات تُرضي عاطفتك لتشعر بالراحة، أو تُرضي غرورك لتسدّ النقص الذي بداخلك.

المنهج العلمي، كما أثبت علم النفس المعرفي، يقوم على الحياد الانفعالي والتجرد من الميول الذاتية، لأن الانفعال يشوه عملية الإدراك ويؤدي إلى التحيز التأكيدي، وهو ميل الإنسان إلى تصديق ما يوافق عواطفه لا ما تدعمه الأدلة. ولذلك فإن الباحث الصادق يجب أن يسمع ويتعلم حتى ممن يختلف معهم وجدانياً أو فكرياً، لأن القيمة الحقيقية تكمن في المعلومة لا في مصدرها.

على سبيل المثال، قد تجد كاتباً أو مفكراً يمتلك معرفة عميقة لكنه تحدث بازدراء عنك أو عن فئة تنتمي إليها. من غير العلمي أن ترفض فكره بالكامل بسبب هذا الموقف الانفعالي. البشر جميعاً، بمن فيهم العلماء والفلاسفة، يخطئون ويصيبون تبعاً لقدرتهم على ضبط مشاعرهم وحدود أناهم. ليس من المنطقي أن تطلب من المفكر كمالاً مطلقاً، لأن الخطأ جزء من الطبيعة الإنسانية، في أبولوجيا (21d–23b)، يروي سقراط أنه ذهب لعدد من السياسيين والشعراء والحرفيين بعد أن سمع من كاهنة دلفي أن «لا أحد أحكم من سقراط». فبدأ يبحث ليفهم كيف يمكن أن يكون هذا صحيحًا، فاكتشف أن هؤلاء يظنون أنهم يعرفون، بينما في الواقع يجهلون أنهم يجهلون.
أما هو، فيقول ما معناه:
«قد أكون أحكم منهم في شيء واحد: أني لا أظن أني أعلم ما لا أعلم.»
أي أنه يعترف بحدود معرفته، وهذا الاعتراف بحدود المعرفة هو عين الحكمة.

كذلك يجب ألا تتعلم من أجل التباهي أو السعي للتفوق الاجتماعي. فالتعلم لأجل إثبات الذات أو إحراج الآخرين ليس سعياً نحو الحقيقة، بل نحو الإشباع النفسي. علم النفس التحفيزي يبين أن الدوافع النرجسية تقلل من جودة التفكير النقدي لأنها تربط المعرفة بالهوية لا بالواقع. أما الهدف العلمي الأصيل فهو المعرفة في ذاتها، لا المكانة التي تتيحها.

والنقطة الثالثة تتعلق بعلاقة العلم بالمال. لا ضير في أن يسعى الإنسان إلى الاستفادة من علمه مادياً، فهذا ضروري للعيش في مجتمع يقوم على الاقتصاد الرأسمالي، لكن يجب ألا يصبح المال هو الدافع الأساسي. انظر إلى علماء الرياضيات مثل كارل فريدريش غاوس، وسيرين فيت، وهنري بوانكاريه، وأندرو وايلز، وغريغوري بيرلمان. الأخير رفض جائزة المليون دولار بعد حله لمسألة بوانكاريه الشهيرة، لأن هدفه كان الفهم لا الثمن. هؤلاء لم يسعوا إلى المال بل إلى حل المجهول. لذلك ينبغي أن يكون المال وسيلة تتيح لك الوقت للتفكير والتعلم، لا غاية بحد ذاته.

وأخيراً، لا تخف من الوقوع في الخطأ ولا من الاعتراف به. إن رفض الاعتراف بالخطأ يعني أنك تبحث عن التصفيق لا عن الحقيقة، وأن مشاعرك وأناك تحكمانك لا عقلك.

هذه النقاط تمثل الأسس النفسية والفلسفية لأي طالب علم حقيقي:
أن يكون موضوعياً رغم الميول، متواضعاً رغم المعرفة، صادقاً مع نفسه قبل أن يكون مقنعاً لغيره. فمن يطلب الحقيقة يجب أن يتحرر من ذاته أولاً.

(الكتابة هذه هي من تدويناتي الشخصية)
@Rababwrites

يُلاحظ الباحث في تاريخ الفلسفة أن الفكر الغربي يُظهر اهتمامًا محدودًا جدًا بالفلاسفة المسلمين المشارقة مثل الكندي والفارابي وابن سينا وشهاب الدين السهروردي وصدر الدين الشيرازي (ملا صدرا)، رغم عمق إسهاماتهم في الفلسفة والمنطق ونظرية المعرفة، بينما يولي عناية خاصة بـ ابن رشد، الذي يُقدم عادة بوصفه الشارح الأكبر لأرسطو.

هذا التفاوت في الاهتمام ليس مصادفة أكاديمية، بل يعكس منهجًا انتقائيًا في قراءة التاريخ الفلسفي لدى المفكرين الغربيين، يقوم على إبراز استمرارية مباشرة بين الفلسفة اليونانية والفكر الأوروبي الوسيط، مع تهميش المرحلة الإسلامية المشرقية التي مثلت الجسر الحقيقي بين العالمين.

@Rababwrites

توضيح مهم

حين أستخدم مصطلح (الفلاسفة الإسلاميين) أو (الفلاسفة في الحضارة الإسلامية)، فإن المقصود ليس أنهم كانوا بالضرورة مسلمين مؤمنين أو دعاة دينيين، ولا أن فلسفتهم كانت لاهوتية أو دينية الطابع.
بل المقصود هو أنهم نشأوا داخل الفضاء الثقافي للحضارة الإسلامية، وكتبوا بلغاتها العربية والفارسية، وتفاعلوا مع علومها وفكرها، فأنتجوا فلسفة ذات هوية حضارية تنتمي إلى هذا المجال الجغرافي والثقافي، (بصرف النظر عن معتقداتهم الشخصية.)

مثلاً:
ابن سينا وُصف بأنه أقرب إلى الإلحاد الفلسفي بسبب قوله بقدم العالم والعقل الفعّال وإنكاره للبعث الجسدي. وحتى الفارابي جعل السعادة القصوى غاية عقلية خالصة، لا دينية، واعتبر الدين صورة رمزية للفلسفة، وغيرهم وغيرهم.

ليس جميع من يُسمون بالفلاسفة الإسلاميين كانوا متدينين، بل إن بعضهم كان على خلاف صريح مع العقيدة الدينية السائدة، بل كفر رسميًا في عصره.
ومع ذلك، يُعدون جزءًا من الفكر الفلسفي في الحضارة الإسلامية لأنهم انبثقوا من داخلها، واشتغلوا بلغتها، وأسّسوا تقاليد فكرية في إطارها.

ف المقصود بالفلاسفة الإسلاميين هو الانتماء الحضاري والجغرافي والثقافي، لا الانتماء العقائدي أو الديني.
نحن نتحدث عن الفلسفة التي نشأت في المجال الإسلامي، لا عن الفلسفة الإسلامية بمعنى الإيمان الديني.

@Rababwrites

https://youtube.com/playlist?list=PLF797E961509B4EB5&si=sBxveT0idXflh5nd


هذا شرح رائع للـ Calculus 1
وايضا نفس القناة شارحه Calculus 2 و Calculus 3

@mathror

برأيي يجب على الانسان ان يأخذ عزلة مع نفسه من حين الى اخر، وهذه العزلة لا تتحقق اذا ظل مربوطا بمواقع التواصل الاجتماعي او بالمقاطع القصيرة التي ترفع الدوبامين بشكل فوري وتسبب الأدمان، فتلك ليست عزلة بل مجرد مضيعة وقت لا أكثر.

العزلة الحقيقية هي فترة لا يجد فيها الانسان منفذا سريعا للمتعة، حرفيا ينقطع عن كل مدمناته، وفي اول ايامها يشعر بالغضب والانزعاج لان الدماغ معتاد على التحفيز المستمر، مثل المدمن على المخـ*ـدرات، لكن مع الاستمرار يعتاد، وتبدأ مرحلة التساؤل الداخلي، هنا ينضج الوعي ويبدأ التفكير الحقيقي.

صدقا أن افضل طريقة لصناعة مجتمع جاهل وغبي هي أغراق أفراده بالاعمال والملهيات بحيث لا يجد الانسان لحظة ولو واحدة يستطيع فيها ان يعتزل ويفكر وينتج فكره الخاص،
ونتيجة لذلك يردد معظم الناس افكار غيرهم، لانهم لم يسبق لهم ان سمحوا لانفسهم بسماع او انتاج فكر مستقل. العزلة اذا هي اداة للنمو العقلي ولتحرير الفكر من قيود الاعراف والتكرار، وهي الشرط الاساسي لاي وعي اصيل .

@Rababwrites

من أسوأ ما في المجتمع الحديث أن الإنسان لم يعد يمنح نفسه فرصة للعزلة، ولو مرة كل شهرين، ليتأمل نفسه والعالم من حوله.
المشكلة ليست في المجتمع وحده، بل في الفرد نفسه. أصبح الإنسان أسيرًا لوسائل التواصل والأجهزة، يظن أنه يعيش عزلة حين يبتعد عن الناس، بينما عقله غارق في الشاشات والضجيج.
لهذا صار كثير من الناس يعيشون مثل الآلات، يتحركون ويعملون ويتحدثون، لكنهم لا يتأملون ولا يفكرون.
فمن لا يعرف كيف يختلي بنفسه مرة واحدة بعيدًا عن كل شيء، لن يعرف معنى أن يكون حيًا بحق، لن يعرف شيء وسُخدع بأي كلام يتم حشوه برأسه.

أنا لا أتحدث عن أمرٍ عابر يا أعزائي،
بل عن شيء جوهري في تكوين الإنسان نفسه.
العزلة ليست وسيلة للراحة أو للهروب، وليست ترفيهًا كما يظن البعض،
بل هي ضرورة أساسية للوعي الإنساني،
فمن دونها لا يمكن للعقل أن يرى ذاته.

@Rababwrites

تُرى ما هو ابسط كتاب في التبولوجيا يُمكننا قراءته بحيث يمكن استخدامهُ كمدخل لدراسة التبولوجيا ؟.
سؤال طرحته على نفسي و لم يسئلني اياه احد.
سجاد رحيم

اقترح للاجابة على ذلك ، كتاب مقدمة في التبولوجيا العامة للدكتور سمير بشير حديد .
هذا الكتاب يتميز بعرض سهل للتبولوجيا مع تكثير للامثلة الذي توضح المطلب ، بحيث انه لا يدخل ببعض الامور التبولوجية التاريخية التي اكتُشفت في بدايات ظهور علم التبولوجيا ، و هذه الامور التاريخية صعبة على المبتدىء و مكان بعضها الان في بعض ابواب التبولوجيا الجبرية او التبولوجيا التفاضلية.

الكتاب مكون من اثنى عشر فصلاً و هو بحدود ٢٥٠ صفحة و باللغة العربية ، و عناوين فصوله هي :
١. المجموعات و الدوال
٢. الفضاءات المترية
٣. الفضاءات التبولوجية
٤.القواعد و التبولوجيات النسبية
٥. الترابط و التراص
٦.الاستمرارية في الفضاءات التبولوجية
٧.الصفات التبولوجية و غير التبولوجية
٨. الصفات الوراثية و غير الوراثية
٩.بديهيات الفصل
١٠. المتتابعات في الفضاءات التبولوجية
١١.الفضاءات المنتظمة و السوية
١٢. الفضاءات المترية كفضاءات تبولوجية.

فالفصل الاول يعطينا تعاريف المجموعة و الدالة - و لو المجموعة لا يمكن تعريفها - و مفاهيم التقاطع و الاتحاد و غيرها من العمليات على المجموعات ثم مفهوم الصور و الصور العكسية للدوال . اما الفضاءات المترية في الفصل الثاني فيعطينا فيها مفهوم هذا الفضاء الذي يعتبر تعميم للمسافة الاعتيادية و امور اخرى تخصه مثل مجموعاته المفتوحة و كراته المفتوحة و غيرها.
الفصل الثالث يمكن اعتباره اول فصل في التبولوجيا على اعتبار ان الفصل الاول و الثاني هما اساسيات لا بد منهما ، و في الفصل الثالث يستعرض التعريف الرسمي لكي تكون هناك تبولوجيا على مجموعة ما من خلال تعريف المجموعة المفتوحة في ذلك الفضاء التبولوجي ، - و كما قلنا سابقاً - يوجد عدد كبير من الامثلة على هذه الفضاءات و ايضاً امثلة على المفاهيم التي ترتبط بهذه الفضاءات مثل مفهوم داخل المجموعة و خارجها و حدودها ، في الفصل الرابع يتحدث عن الفضاء النسبي و يجب ان لا يخدعنا المصطلح و ترجمته ، فالفضاء النسبي هو الفضاء التبولوجي الجزئي subspace topology الذي يكون في داخل الفضاء الكبير ، و يمكن الحصول على مجموعاته المفتوحة من خلال تقاطع مجموعته الرئيسية مع المجموعات المفتوحة للفضاء الكبير. في الفصل الخامس التراص عندي اهم الترابط ، الاستمرارية في الفصل السادس تُدرس على ضوء المجموعات العكسية المفتوحة ، الصفات التبولوجية في الفصل السابع تنتقل بين الفضائين التبولوجيين اذا كان بينهما تشاكل isomorphism او homeomorphism و بكلام ابسط اذا كان هناك دالة متقابلة بينهما تكون مستمرة و معكوسها ايضاً مستمرة ، في الفصل الثامن هناك دراسة للصفات الوراثية التي تنتقل من الفضاء الكبير الى الفضاء الجزئي الصغير الذي بداخله ، في الفصل التاسع هناك صفات الفصل مثل T0 و T1 و T2 مع تعاريفها و هنا T2 هو فضاء هاوزدورف و هو اهمها ، في الفصل العاشر المتتابعات ، و في الحادي عشر يدرس صفات الفصل T3 و T4 و علاقتها بالانتظام في الفضاء التبولوجي ، و اخيراً هناك دراسة للفضاءات المتري كفضاء تبولوجي ، فكما نعرف ان كل فضاء متري هو فضاء تبولوجي لكن العكس ليس صحيحاً فبعض الفضاءات التبولوجية لا يمكن تمتيرها .

يجب ان لا يفهم هذا العرض الذي كتبته للكتاب على كونه جاء من دراسة مستقصاة للكتاب بل العكس هو الصحيح فأنا طالعت بعض صفحاته و درست الفصل الاول و جزء من الفصل الثاني ، لقد استعرت هذه النسخة من الدكتورة عفراء راضي التي تُدرس التبولوجيا في قسمنا منذ زمن طويل ، لقد طلب منا استاذنا في التبولوجيا الجبرية الدكتور محمد غازي ان نطالع كتاب سمير بشير لانه يعتبره احد الكتب التي تزودنا بأساس لا بأس به من اجل دراسة التبولوجيا الجبرية ، بالنهاية اقول امرين ، اولهما التبولوجيا ثلاث مستويات اولها العامة و ثانيها الجبرية و ثالثها التفاضلية ، و الامر الاخر من اجل ان يُقرأ كتاب سمير بشير يجب ان يقرأ الطالب قبله كتاب اسس الرياضيات لهادي جابر مصطفى و زميليه و كتاب مقدمة في التحليل الرياضي لعادل غسان نعوم كي يمتلك الاساس المطلوب لدراسة التبولوجيا.