1. Что такое "дефект" в этом контексте?
В плоской поверхности (как бесконечный лист графена или замощение плоскости шестиугольниками) всё идеально: вокруг каждой вершины сходятся три шестиугольника, и сумма углов равна ровно 360° (3 × 120° = 360°). Нет зазоров, нет перекрытий — поверхность плоская, кривизна нулевая.
Если мы хотим "искривить" эту поверхность, чтобы она замкнулась в сферу (как шар), нужно ввести дефекты. Дефект — это локальное нарушение регулярности, которое создаёт кривизну. В теории дислинаций (из физики твёрдого тела) такие дефекты описываются как "вырезание" или "вставка" сектора в решётке.
Положительный дефект (для сферы) создаёт "положительную кривизну" — поверхность "сжимается" внутрь, как конус или купол. Отрицательный — "растягивает" (отрицательная кривизна, как седло).
2. Почему именно пятиугольник вносит дефект 60°?
Представьте плоскую шестиугольную решётку (как соты). Каждый шестиугольник делит круг (360°) на 6 равных секторов по 60° (360° / 6 = 60°).
Чтобы создать пятиугольник, вы мысленно "вырезаете" один сектор в 60° из шестиугольника и сшиваете края. В результате:
— Вместо 6 сторон получается 5.
— Это создаёт локальный "конус" с апексным углом, соответствующим дефициту в 60°. Поверхность в этом месте искривляется вверх (положительная кривизна).
В терминах углов вершин:
— Внутренний угол правильного шестиугольника — 120°.
— У пятиугольника — 108°.
— В вершине, где сходятся, например, два шестиугольника и один пятиугольник, сумма углов: 120° + 120° + 108° = 348°. Дефицит по сравнению с плоскими 360°: 360° - 348° = 12° на вершину.
— Но пятиугольник влияет на пять вершин. Если суммировать вклад по всем вершинам пятиугольника, общий дефект оказывается эквивалентен 60° (5 × 12° = 60°, но это упрощённо; точный расчёт из теории дисклинаций подтверждает 60° как угловой дефицит дисклинации).
Это не произвольное число: 60° — это базовый "квант" для шестиугольной решётки, потому что 360° / 6 = 60°. Семигранник (heptagon) ввёл бы отрицательный дефект -60° (вставка сектора).
3. Почему для сферы нужно ровно 720° дефекта и 12 пятиугольников?
По теореме Гаусса-Бонне (из дифференциальной геометрии), интегральная (общая) кривизна замкнутой поверхности сферы равна 4π радиан. В градусах: 4π радиан = 720° (поскольку π радиан = 180°).
Это значит, что для замыкания в сферу нужно ровно 720° положительного дефекта.
Каждый пятиугольник вносит +60° дефекта.
Следовательно: 720° / 60° = 12. Именно поэтому всегда 12 пятиугольников — не больше, не меньше. Это вытекает из топологической инвариантности (характеристика Эйлера для сферы: V - E + F = 2, где из неё следует P = 12 для смеси пяти- и шестиугольников).
Если меньше 12 (например, 11), дефект < 720°, поверхность не замкнётся в сферу — получится что-то вроде гиперболоида (отрицательная кривизна в целом).
Если больше (например, 13), дефект > 720°, поверхность "перекривится" и не будет похожа на гладкую сферу.
Шестиугольники не вносят дефекта (0°), поэтому их можно добавлять сколько угодно — они просто "растягивают" структуру, как в примерах из текста (от додекаэдра с 0 шестиугольниками до больших фуллеренов).
4. Так ли это на самом деле? Подтверждения
Да, это стандартная концепция в нанотехнологиях, материаловедении и геометрии. Например:
— В молекулах фуллеренов всегда 12 пятиугольников, независимо от размера.
— В вирусах (капсиды) или поледрах Гольдберга — то же правило.
— Это подтверждается экспериментами (синтез фуллеренов) и математикой (формула Эйлера, теория дислинаций).
Например, для квадратной решётки базовый дефект был бы 90° (360°/4), но для шестиугольной — именно 60°.
#геометрия #многогранник
x x x
В плоской поверхности (как бесконечный лист графена или замощение плоскости шестиугольниками) всё идеально: вокруг каждой вершины сходятся три шестиугольника, и сумма углов равна ровно 360° (3 × 120° = 360°). Нет зазоров, нет перекрытий — поверхность плоская, кривизна нулевая.
Если мы хотим "искривить" эту поверхность, чтобы она замкнулась в сферу (как шар), нужно ввести дефекты. Дефект — это локальное нарушение регулярности, которое создаёт кривизну. В теории дислинаций (из физики твёрдого тела) такие дефекты описываются как "вырезание" или "вставка" сектора в решётке.
Положительный дефект (для сферы) создаёт "положительную кривизну" — поверхность "сжимается" внутрь, как конус или купол. Отрицательный — "растягивает" (отрицательная кривизна, как седло).
2. Почему именно пятиугольник вносит дефект 60°?
Представьте плоскую шестиугольную решётку (как соты). Каждый шестиугольник делит круг (360°) на 6 равных секторов по 60° (360° / 6 = 60°).
Чтобы создать пятиугольник, вы мысленно "вырезаете" один сектор в 60° из шестиугольника и сшиваете края. В результате:
— Вместо 6 сторон получается 5.
— Это создаёт локальный "конус" с апексным углом, соответствующим дефициту в 60°. Поверхность в этом месте искривляется вверх (положительная кривизна).
В терминах углов вершин:
— Внутренний угол правильного шестиугольника — 120°.
— У пятиугольника — 108°.
— В вершине, где сходятся, например, два шестиугольника и один пятиугольник, сумма углов: 120° + 120° + 108° = 348°. Дефицит по сравнению с плоскими 360°: 360° - 348° = 12° на вершину.
— Но пятиугольник влияет на пять вершин. Если суммировать вклад по всем вершинам пятиугольника, общий дефект оказывается эквивалентен 60° (5 × 12° = 60°, но это упрощённо; точный расчёт из теории дисклинаций подтверждает 60° как угловой дефицит дисклинации).
Это не произвольное число: 60° — это базовый "квант" для шестиугольной решётки, потому что 360° / 6 = 60°. Семигранник (heptagon) ввёл бы отрицательный дефект -60° (вставка сектора).
3. Почему для сферы нужно ровно 720° дефекта и 12 пятиугольников?
По теореме Гаусса-Бонне (из дифференциальной геометрии), интегральная (общая) кривизна замкнутой поверхности сферы равна 4π радиан. В градусах: 4π радиан = 720° (поскольку π радиан = 180°).
Это значит, что для замыкания в сферу нужно ровно 720° положительного дефекта.
Каждый пятиугольник вносит +60° дефекта.
Следовательно: 720° / 60° = 12. Именно поэтому всегда 12 пятиугольников — не больше, не меньше. Это вытекает из топологической инвариантности (характеристика Эйлера для сферы: V - E + F = 2, где из неё следует P = 12 для смеси пяти- и шестиугольников).
Если меньше 12 (например, 11), дефект < 720°, поверхность не замкнётся в сферу — получится что-то вроде гиперболоида (отрицательная кривизна в целом).
Если больше (например, 13), дефект > 720°, поверхность "перекривится" и не будет похожа на гладкую сферу.
Шестиугольники не вносят дефекта (0°), поэтому их можно добавлять сколько угодно — они просто "растягивают" структуру, как в примерах из текста (от додекаэдра с 0 шестиугольниками до больших фуллеренов).
4. Так ли это на самом деле? Подтверждения
Да, это стандартная концепция в нанотехнологиях, материаловедении и геометрии. Например:
— В молекулах фуллеренов всегда 12 пятиугольников, независимо от размера.
— В вирусах (капсиды) или поледрах Гольдберга — то же правило.
— Это подтверждается экспериментами (синтез фуллеренов) и математикой (формула Эйлера, теория дислинаций).
Если бы дефект был другим, вся структура не работала бы.
Например, для квадратной решётки базовый дефект был бы 90° (360°/4), но для шестиугольной — именно 60°.
#геометрия #многогранник
x x x
Палитра из хорошо различимых цветов 1/n
Если вы занимаетесь визуализацией наборов данных и вам требуется палитра из нескольких хорошо различимых цветов, то ниже вы найдете отличные примеры таких палитр. Они пригодятся для раскрашивания графиков, диаграмм или карт, где цвета должны четко разделять категории.
Основное требование.
Они не должны сливаться с фоном и друг с другом. Идеально, если цвета имеют яркость, насыщенность и оттенок достаточные для их легкого различения. Также их должны различать люди с нарушениями цветового зрения.
#визуализация : #цвет
↓
Если вы занимаетесь визуализацией наборов данных и вам требуется палитра из нескольких хорошо различимых цветов, то ниже вы найдете отличные примеры таких палитр. Они пригодятся для раскрашивания графиков, диаграмм или карт, где цвета должны четко разделять категории.
Основное требование.
Цвета в палитре должны быть контрастными и заметно непохожими друг на друга.
Они не должны сливаться с фоном и друг с другом. Идеально, если цвета имеют яркость, насыщенность и оттенок достаточные для их легкого различения. Также их должны различать люди с нарушениями цветового зрения.
#визуализация : #цвет
↓
Схема лондонского метро
Официальная карта Лондонского метро (Transport for London) использует яркие цвета, но многие линии различаются только оттенками, которые проблематичны для дальтоников.
Например, красная Central line и зеленая District line часто сливаются в похожие коричневые или серые тона для людей с красно-зеленой дальтонией.
Аналогичные жалобы касаются желтой Circle line и оранжевой Hammersmith & City line, которые могут выглядеть идентично.
↓
Официальная карта Лондонского метро (Transport for London) использует яркие цвета, но многие линии различаются только оттенками, которые проблематичны для дальтоников.
Например, красная Central line и зеленая District line часто сливаются в похожие коричневые или серые тона для людей с красно-зеленой дальтонией.
Аналогичные жалобы касаются желтой Circle line и оранжевой Hammersmith & City line, которые могут выглядеть идентично.
↓
Схема метро Токио
Это одна из самых сложных и запутанных метросхем. Содержит множество переплетающихся маршрутов.
Для обозначения линий используются близкие пастельные оттенки: светло-зеленый, бирюзовый, голубой. Их трудно отличить даже людям без нарушения зрения. А для дальтоников схема практически не читаема.
↓
Это одна из самых сложных и запутанных метросхем. Содержит множество переплетающихся маршрутов.
Для обозначения линий используются близкие пастельные оттенки: светло-зеленый, бирюзовый, голубой. Их трудно отличить даже людям без нарушения зрения. А для дальтоников схема практически не читаема.
↓
Математика цвета
Для построения удобных палитр используется математика цвета. Она описывает правила для подбора цветов в специфических цветовых пространствах.
———
Продолжение: одиннадцать цветов, которые мы почти никогда не путаем
x x x
Для построения удобных палитр используется математика цвета. Она описывает правила для подбора цветов в специфических цветовых пространствах.
———
Продолжение: одиннадцать цветов, которые мы почти никогда не путаем
x x x
Математический рок-н-ролл
Слова-индикаторы научного текста, сгенерированного ИИ. Эти слова ИИ чаще всего помещает в аннотацию (линейный график) или в заголовок (столбчатый график) сгенерированной научной статьи. captivating delve dive elevate embark embrace realm reveal tapestry…
Эта прекрасная диаграмма с наиболее частыми английскими словами, которые используют нейросетевые модели, извлечена из не менее прекрасной книги Ивана Резникова:
"LangChain for life sciences and healthcare: Innovation through LLMs and generative AI agents",
которую хочу порекомендовать всем, кто интересуется, планирует или внедряет ИИ в работу и исследования.
#ии #книга
↓
"LangChain for life sciences and healthcare: Innovation through LLMs and generative AI agents",
которую хочу порекомендовать всем, кто интересуется, планирует или внедряет ИИ в работу и исследования.
#ии #книга
↓
Книга «LangChain or Life Sciences and Healthcare» посвящена применению фреймворка LangChain и больших языковых моделей в области наук о жизни и здравоохранения.
В издании рассматриваются принципы построения интеллектуальных приложений на базе LLM, интеграция языковых моделей с биомедицинскими данными, научными публикациями, клиническими записями и внешними инструментами анализа.
Особое внимание уделяется практическим кейсам: автоматизации обзоров литературы, поддержке клинических решений, анализу медицинских текстов, работе с биологическими базами данных и созданию безопасных, воспроизводимых AI-пайплайнов.
Книга ориентирована на исследователей, разработчиков и специалистов в сфере здравоохранения, заинтересованных в использовании современных NLP-технологий для ускорения научных исследований и повышения эффективности медицинских процессов.
↓
В издании рассматриваются принципы построения интеллектуальных приложений на базе LLM, интеграция языковых моделей с биомедицинскими данными, научными публикациями, клиническими записями и внешними инструментами анализа.
Особое внимание уделяется практическим кейсам: автоматизации обзоров литературы, поддержке клинических решений, анализу медицинских текстов, работе с биологическими базами данных и созданию безопасных, воспроизводимых AI-пайплайнов.
Книга ориентирована на исследователей, разработчиков и специалистов в сфере здравоохранения, заинтересованных в использовании современных NLP-технологий для ускорения научных исследований и повышения эффективности медицинских процессов.
↓
Математический рок-н-ролл
Палитра из хорошо различимых цветов 1/n Если вы занимаетесь визуализацией наборов данных и вам требуется палитра из нескольких хорошо различимых цветов, то ниже вы найдете отличные примеры таких палитр. Они пригодятся для раскрашивания графиков, диаграмм…
Одиннадцать цветов, которые мы почти никогда не путаем
Палитра из хорошо различимых цветов 2/n
Мы привыкли думать о цвете как о чем-то расплывчатом и субъективном. Вот представьте, что вы смотрите на картину художника. Сколько цветов вы можете назвать, не задумываясь?
Это не просто субъективное ощущение, а научный факт, подтвержденный экспериментами в области цветового зрения.
#визуализация : #цвет
↓
Палитра из хорошо различимых цветов 2/n
Мы привыкли думать о цвете как о чем-то расплывчатом и субъективном. Вот представьте, что вы смотрите на картину художника. Сколько цветов вы можете назвать, не задумываясь?
Оказывается, существует всего одиннадцать базовых цветов, которые наш мозг распознает мгновенно и практически безошибочно.
Это не просто субъективное ощущение, а научный факт, подтвержденный экспериментами в области цветового зрения.
#визуализация : #цвет
↓
В конце 1980-х годов исследователь-колориметрист Роберт Бойнтон провел серию экспериментов, которые показали, что люди с нормальным цветовым зрением почти никогда не путают между собой одиннадцать ключевых оттенков.
Boyton R.M. (1980)
Eleven Colors That Are Almost Never Confused.
Не потому что нас так научили — а потому что так устроено восприятие.
Зрительная система умеет удивительно хорошо удерживать цвет как стабильное свойство мира, независимо от колебаний освещения. Именно эта стабильность и делает цвет удобным инструментом различения и ориентации.
↓
Boyton R.M. (1980)
Eleven Colors That Are Almost Never Confused.
Человеческое зрение опирается всего на одиннадцать цветов, которые при нормальных условиях практически невозможно перепутать друг с другом.
Не потому что нас так научили — а потому что так устроено восприятие.
Зрительная система умеет удивительно хорошо удерживать цвет как стабильное свойство мира, независимо от колебаний освещения. Именно эта стабильность и делает цвет удобным инструментом различения и ориентации.
↓
Среди бесконечного множества оттенков есть небольшой набор цветов, которые люди называют быстро, уверенно и практически одинаково, независимо от языка и культуры.
Ахроматические
— белый (white)
— серый (gray)
— черный (black)
Хроматические опорные
— красный (red)
— зеленый (green)
— желтый (yellow)
— синий (blue)
Хроматические прочие
— розовый (pink)
— коричневый (brown)
— оранжевый (orange)
— фиолетовый (purple)
Эти названия — не случайный набор. Они соответствуют базовым цветовым терминам, которые однословные, первыми приходят на ум, рано усваиваются детьми и имеют четкие аналоги в разных языках мира.
Желтый не кажется ни зеленоватым, ни красноватым. Синий — ни фиолетовым, ни зеленым. Красный — это просто красный. То есть эти цвета являются якорями восприятия.
В отличие от них, такие названия оттенков, как лавандовый, персиковый или хаки, есть субъективные, культурно-зависимые нюансы.
↓
Ахроматические
— белый (white)
— серый (gray)
— черный (black)
Хроматические опорные
— красный (red)
— зеленый (green)
— желтый (yellow)
— синий (blue)
Хроматические прочие
— розовый (pink)
— коричневый (brown)
— оранжевый (orange)
— фиолетовый (purple)
Эти названия — не случайный набор. Они соответствуют базовым цветовым терминам, которые однословные, первыми приходят на ум, рано усваиваются детьми и имеют четкие аналоги в разных языках мира.
Желтый не кажется ни зеленоватым, ни красноватым. Синий — ни фиолетовым, ни зеленым. Красный — это просто красный. То есть эти цвета являются якорями восприятия.
В отличие от них, такие названия оттенков, как лавандовый, персиковый или хаки, есть субъективные, культурно-зависимые нюансы.
↓
Эксперимент
Для выделения основных цветов ученые использовали коллекцию из 424 цветовых образцов из цветового пространства OSA -- Uniform Color Scales. Испытуемым показывали образцы по одному и просили назвать цвет.
Результаты были поразительными. Для каждого из восьми хроматических цветов нашелся образец-чемпион, который 23 человека из 27 назвали одинаково. Более того, даже соседние с ним по цвету образцы в 95% случаев называли тем же базовым именем.
Чтобы окончательно убедиться в точности цветовых категорий, ученые провели простой тест. На белые фишки нанесли названия цветов, а на карточки -- эталонные образцы этих цветов. Задача испытуемых была тривиальной: сопоставить название цвета с цветной карточкой. Результат — ноль ошибок! Люди выполняли задание быстро и уверенно, часто недоумевая над ее простотой.
Эксперименты подтвердили, что:
Для выделения основных цветов ученые использовали коллекцию из 424 цветовых образцов из цветового пространства OSA -- Uniform Color Scales. Испытуемым показывали образцы по одному и просили назвать цвет.
Результаты были поразительными. Для каждого из восьми хроматических цветов нашелся образец-чемпион, который 23 человека из 27 назвали одинаково. Более того, даже соседние с ним по цвету образцы в 95% случаев называли тем же базовым именем.
Чтобы окончательно убедиться в точности цветовых категорий, ученые провели простой тест. На белые фишки нанесли названия цветов, а на карточки -- эталонные образцы этих цветов. Задача испытуемых была тривиальной: сопоставить название цвета с цветной карточкой. Результат — ноль ошибок! Люди выполняли задание быстро и уверенно, часто недоумевая над ее простотой.
Эксперименты подтвердили, что:
одиннадцать базовых цветов — это не абстракция, а реальные, интуитивно ясные категории нашего мышления и зрения.↓
Это открытие — не просто игра ума. Оно имеет прямое практическое применение в дизайне, естественных науках и визуализации данных. Если нам нужно максимально быстро и безошибочно различать элементы, например, сегменты на диаграмме, коды на карте или сигналы на панели, следует использовать именно эти одиннадцать цветов. Они создают максимальный перцептивный контраст и минимизируют когнитивную нагрузку.
x x x
x x x
Forwarded from Дмитрий Перетолчин — «Картина Мира»
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Люди стали совершать меньше выходящих за рамки поступков, что является снижением креативности в целом: до 2000 года только около 25% самых кассовых фильмов были приквелами, продолжениями, спиноффами и т.д. Сейчас это 75%. Согласно анализу The Pudding, современная популярная музыка стала более однородной и содержит больше повторяющихся текстов. Все сайты имеют одинаковый внешний вид: лаконичные элементы минималистского дизайна с большим количеством картинок. Также однотипными стали страницы пользователей в интернете: все профили на Facebook идентичны, за исключением фотографий, все видеозарисовки выглядят как сошедшие с одного конвейера. Вся архитектура выглядит одинаково, и это не связано со стоимостью работ, мы можем создавать интересный дизайн, но просто предпочитаем «не усложнять». В мировом масштабе уровень преступности снизился вдвое. По мере того, как мы наблюдаем повсеместное снижение уровня девиантности, мы также наблюдаем снижение темпов научного прогресса. Новые идеи все реже вытесняют старые. Автор книги о культах Филипп Джекинс (Philip Jenkins) пишет, что по сравнению с 70-ми проблема с культами практически сошла на нет. Начиная с середины 80-х американцы больше не покидают места проживания. Практически 100% статей в медицинских журналах теперь используют один и тот же формат: введение, методы, результаты и обсуждение, и это не просто эстетический сдвиг. Стандартизация вашего письма отражает стандартизацию вашего мышления. Когда вы постоянно следуете правилам, то вы не только перестаёте их нарушать, вы забываете, что это вообще можно делать, в то время как создание чего-то нового, это зачастую нарушение правил …
https://www.experimental-history.com/p/the-decline-of-deviance
https://www.experimental-history.com/p/the-decline-of-deviance
😭1
Самая короткая статья, опровергающая гипотезу Эйлера, и что за ней последовало.
Леонард Эйлер в середине XVIII века высказал гипотезу о том, что для любого натурального n>2 и k>n никакую k-ую степень n натуральных слагаемых {An}, нельзя представить в виде k-ой степени другого натурального числа B:
A1^k + A2^k + ... + An^k ≠ B^k.
То есть Эйлер предположил, что уравнения:
A^3 + B^3 = C^3,
A^4 + B^4 + C^4 = D^4,
A^5 + B^5 + C^5 + D^5 = E^5,
...
не имеют решения в натуральных числах.
Гипотеза обобщала великую теорему Ферма, справедливую для k, n = 2.
#теория_чисел #эйлер
↓
Леонард Эйлер в середине XVIII века высказал гипотезу о том, что для любого натурального n>2 и k>n никакую k-ую степень n натуральных слагаемых {An}, нельзя представить в виде k-ой степени другого натурального числа B:
A1^k + A2^k + ... + An^k ≠ B^k.
То есть Эйлер предположил, что уравнения:
A^3 + B^3 = C^3,
A^4 + B^4 + C^4 = D^4,
A^5 + B^5 + C^5 + D^5 = E^5,
...
не имеют решения в натуральных числах.
Гипотеза обобщала великую теорему Ферма, справедливую для k, n = 2.
#теория_чисел #эйлер
↓
❤1