У невыпуклых, звездчатых, непростых многогранников с отверстиями значение числа Эйлера будет иным. В том числе оно может быть отрицательным или нулем.

↓

А здесь приведена запоминающаяся визуализация числа Эйлера для выпуклых многогранников из Quanta magazine.

x x x

Ответ.

Пришло время дать развернутый ответ на вопрос:
можно ли сферу целиком покрыть правильными шестиугольниками или нет?

Если кратко, то -- нет.

Господин Акопян и сотоварищи пошутили в честь 1 апреля)

Интерактивная модель гексасферы, якобы покрытой непрерывной сеткой шестиугольников -- это плоская картинка. Внутрь круга красиво вписана шестиугольная решетка, деформированная к краям так, что это создает иллюзию объемной фигуры. Двигая мышкой по рисунку, вы просто перемещаете плоскую конструкцию, а не трехмерный объект.

#геометрия #шар

А теперь перейдем к объяснениям.
↓

Давайте вспомним классическую формулу Эйлера для выпуклого трехмерного многогранника без дыр.

Г - Р + В = 2. (*)

Если из числа Граней многогранника вычесть количество Ребер и прибавить число Вершин, то получится 2. (Для прочих многогранников итоговое значение может быть иным.)

#эйлер

Следовательно, данное выражение должно выполняться для нашей многоугольной сферы.

А что получается на самом деле?
↓

Предположим, что мне удалось построить сферу только из правильных шестиугольников и она содержит некоторое число Граней.

Посчитаем, сколько у нее Ребер и Вершин.

(1) У каждой грани шесть ребер. При этом каждое ребро принадлежит двум граням. Значит:

Р = 6 ∙ Г / 2 = 3 ∙ Г.

То есть число ребер в три раза больше числа граней.

(2) У каждой грани шесть вершин, и при этом каждая вершина относится к шести граням. Значит:

В = 6 ∙ Г / 3 = 2 ∙ Г.

То есть число вершин в два раза больше числа граней.

(3) Подставим результаты в формулу Эйлера (*):

Г - Р + В = Г - 3Г + 2Г = 0 ≠ 2.

Мы получили ноль, а по формуле Эйлера должны были получить два.

Значит наше построение невозможно.

↓

Построение станет возможным, когда мы разбавим Шестиугольники правильными Пятиугольниками. Давайте подсчитаем их (минимально) необходимое количество.

Общее число граней у новой сферы равно:

Г = Ш + П.

Общее число ребер:

Р = 6 ∙ Ш / 2 + 5 ∙ П / 2.

Каждая вершина, все так же, граничит с тремя гранями, неважно какими. Поэтому общее число вершин:

B = 6 ∙ Ш / 3 + 5 ∙ П / 3.

Подставим значения в формулу Эйлера (*):

(Ш + П) - (6Ш/2 + 5П/2) + (6Ш/3 + 5П/3) = 2.
6Ш + 6П - 18Ш - 15П + 12Ш + 10П = 12.
П = 12.

Значит в нашей сфере, состоящей из шестиугольников, должно присутствовать ровно 12 пятиугольников.

12 правильных пятиугольников + N правильных шестиугольников = полигональная сфера.

Число пятиугольников — 12 — не зависит ни от количества шестиугольников, ни от их размера!

↓

Можно ли взять не 12 пятиугольников?

Нет. Только 12. И вот почему.

Пятиугольники создают "положительную кривизну" (дефицит углов), необходимую для замыкания сферы. Каждый пятиугольник вносит "дефект" в 60° (по сравнению с плоским разбиением), и для сферы нужно ровно 720° дефекта (полная сфера -- 4π стерадиан, что эквивалентно 12 дефектам).

Если использовать иное число пятиугольников, то полученная конструкция не замкнется в сферу: при меньшем количестве -- получится поверхность с отрицательной кривизной (как гиперболоид), при большей -- она не будет похожа на сферу.

———

Сколько шестиугольников нужно использовать?
Любое количество: от нуля, до бесконечности.

0 шестиугольников -- получится правильный додекаэдр. Он состоит ровно из 12 пятиугольников.

20 шестиугольников -- футбольный мяч или фуллерен C60.

100 шестиугольников -- гипотетический большой фуллерен C240.

...

↓

Многогранники, состоящие из шестиугольников и 12 пятиугольников -- называются многогранниками Гольдберга.

Они разнообразны, красивы и интересны, поэтому про них расскажу в другой раз.

x x x

Читатель задал вопрос:
Почему пятиугольник вносит дефект в 60°?

ИИ очень хорошо объяснил.
↓

1. Что такое "дефект" в этом контексте?

В плоской поверхности (как бесконечный лист графена или замощение плоскости шестиугольниками) всё идеально: вокруг каждой вершины сходятся три шестиугольника, и сумма углов равна ровно 360° (3 × 120° = 360°). Нет зазоров, нет перекрытий — поверхность плоская, кривизна нулевая.

Если мы хотим "искривить" эту поверхность, чтобы она замкнулась в сферу (как шар), нужно ввести дефекты. Дефект — это локальное нарушение регулярности, которое создаёт кривизну. В теории дислинаций (из физики твёрдого тела) такие дефекты описываются как "вырезание" или "вставка" сектора в решётке.

Положительный дефект (для сферы) создаёт "положительную кривизну" — поверхность "сжимается" внутрь, как конус или купол. Отрицательный — "растягивает" (отрицательная кривизна, как седло).

2. Почему именно пятиугольник вносит дефект 60°?

Представьте плоскую шестиугольную решётку (как соты). Каждый шестиугольник делит круг (360°) на 6 равных секторов по 60° (360° / 6 = 60°).

Чтобы создать пятиугольник, вы мысленно "вырезаете" один сектор в 60° из шестиугольника и сшиваете края. В результате:
— Вместо 6 сторон получается 5.
— Это создаёт локальный "конус" с апексным углом, соответствующим дефициту в 60°. Поверхность в этом месте искривляется вверх (положительная кривизна).

В терминах углов вершин:
— Внутренний угол правильного шестиугольника — 120°.
— У пятиугольника — 108°.
— В вершине, где сходятся, например, два шестиугольника и один пятиугольник, сумма углов: 120° + 120° + 108° = 348°. Дефицит по сравнению с плоскими 360°: 360° - 348° = 12° на вершину.
— Но пятиугольник влияет на пять вершин. Если суммировать вклад по всем вершинам пятиугольника, общий дефект оказывается эквивалентен 60° (5 × 12° = 60°, но это упрощённо; точный расчёт из теории дисклинаций подтверждает 60° как угловой дефицит дисклинации).

Это не произвольное число: 60° — это базовый "квант" для шестиугольной решётки, потому что 360° / 6 = 60°. Семигранник (heptagon) ввёл бы отрицательный дефект -60° (вставка сектора).

3. Почему для сферы нужно ровно 720° дефекта и 12 пятиугольников?

По теореме Гаусса-Бонне (из дифференциальной геометрии), интегральная (общая) кривизна замкнутой поверхности сферы равна 4π радиан. В градусах: 4π радиан = 720° (поскольку π радиан = 180°).
Это значит, что для замыкания в сферу нужно ровно 720° положительного дефекта.

Каждый пятиугольник вносит +60° дефекта.

Следовательно: 720° / 60° = 12. Именно поэтому всегда 12 пятиугольников — не больше, не меньше. Это вытекает из топологической инвариантности (характеристика Эйлера для сферы: V - E + F = 2, где из неё следует P = 12 для смеси пяти- и шестиугольников).

Если меньше 12 (например, 11), дефект < 720°, поверхность не замкнётся в сферу — получится что-то вроде гиперболоида (отрицательная кривизна в целом).

Если больше (например, 13), дефект > 720°, поверхность "перекривится" и не будет похожа на гладкую сферу.

Шестиугольники не вносят дефекта (0°), поэтому их можно добавлять сколько угодно — они просто "растягивают" структуру, как в примерах из текста (от додекаэдра с 0 шестиугольниками до больших фуллеренов).

4. Так ли это на самом деле? Подтверждения

Да, это стандартная концепция в нанотехнологиях, материаловедении и геометрии. Например:
— В молекулах фуллеренов всегда 12 пятиугольников, независимо от размера.
— В вирусах (капсиды) или поледрах Гольдберга — то же правило.
— Это подтверждается экспериментами (синтез фуллеренов) и математикой (формула Эйлера, теория дислинаций).

Если бы дефект был другим, вся структура не работала бы.

Например, для квадратной решётки базовый дефект был бы 90° (360°/4), но для шестиугольной — именно 60°.

#геометрия #многогранник

x x x

Палитра из хорошо различимых цветов 1/n

Если вы занимаетесь визуализацией наборов данных и вам требуется палитра из нескольких хорошо различимых цветов, то ниже вы найдете отличные примеры таких палитр. Они пригодятся для раскрашивания графиков, диаграмм или карт, где цвета должны четко разделять категории.

Основное требование.

Цвета в палитре должны быть контрастными и заметно непохожими друг на друга.

Они не должны сливаться с фоном и друг с другом. Идеально, если цвета имеют яркость, насыщенность и оттенок достаточные для их легкого различения. Также их должны различать люди с нарушениями цветового зрения.

#визуализация : #цвет

↓

Дальтонизм

Представьте, что у вас проблемы с цветовым восприятием, и вы рассматриваете схему метро. Если цвета на схеме подобраны неудачно, некоторые ветки сольются друг с другом и вы просто-напросто не поймете, как вам доехать до нужной станции.

↓

Схема лондонского метро

Официальная карта Лондонского метро (Transport for London) использует яркие цвета, но многие линии различаются только оттенками, которые проблематичны для дальтоников.

Например, красная Central line и зеленая District line часто сливаются в похожие коричневые или серые тона для людей с красно-зеленой дальтонией.

Аналогичные жалобы касаются желтой Circle line и оранжевой Hammersmith & City line, которые могут выглядеть идентично.

↓

Слева: официальные цвета метролиний Лондона.

Центр: так их воспринимают дальтоники.

Справа: нанесение паттерна помогает различать линии даже в черно-белом исполнении.

↓

Схема метро Токио

Это одна из самых сложных и запутанных метросхем. Содержит множество переплетающихся маршрутов.

Для обозначения линий используются близкие пастельные оттенки: светло-зеленый, бирюзовый, голубой. Их трудно отличить даже людям без нарушения зрения. А для дальтоников схема практически не читаема.

↓

Математика цвета

Для построения удобных палитр используется математика цвета. Она описывает правила для подбора цветов в специфических цветовых пространствах.

———

Продолжение: одиннадцать цветов, которые мы почти никогда не путаем

x x x