Что такое многогранник?
Многогранник (polyhedron) — это трехмерное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольных граней.
Грань (face) — это многоугольник (polygon): замкнутая плоская фигура, состоящая из вершин (vertex), соединенных прямолинейными отрезками — ребрами (edge).
#геометрия #многогранник
↓
Многогранник (polyhedron) — это трехмерное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольных граней.
Грань (face) — это многоугольник (polygon): замкнутая плоская фигура, состоящая из вершин (vertex), соединенных прямолинейными отрезками — ребрами (edge).
#геометрия #многогранник
↓
Выпуклый и невыпуклый многогранник.
(На рисунке показаны невыпуклые звездчатые многогранники.)
Выпуклый многогранник (convex polyhedron) не содержит вмятин и впадин. Если через любую его грань провести плоскость, то многогранник целиком останется с одной стороны от этой плоскости — плоскость не рассечет многогранник, а только коснется его в области грани.
Невыпуклый многогранник (non convex polyhedron) содержит впадины. Поэтому как минимум одна плоскость, проведенная через какую-то из его граней, пересечет многогранник.
———
Более строгое определение выпуклости и невыпуклости.
↓
(На рисунке показаны невыпуклые звездчатые многогранники.)
Выпуклый многогранник (convex polyhedron) не содержит вмятин и впадин. Если через любую его грань провести плоскость, то многогранник целиком останется с одной стороны от этой плоскости — плоскость не рассечет многогранник, а только коснется его в области грани.
Невыпуклый многогранник (non convex polyhedron) содержит впадины. Поэтому как минимум одна плоскость, проведенная через какую-то из его граней, пересечет многогранник.
———
Более строгое определение выпуклости и невыпуклости.
В выпуклом многограннике отрезок, соединяющий любые две вершины, останется либо внутри многогранника, либо на его поверхности.
В невыпуклом многограннике как минимум один из таких отрезков будет находится снаружи, вне многогранника.
↓
Платоновы тела.
Многогранник называется правильным, когда он состоит исключительно из правильных многоугольников.
В трехмерном евклидовом пространстве, в котором мы живем, существует только пять правильных выпуклых многогранников. Они называются платоновыми телами:
— тетраэдр, состоит из 4 равносторонних треугольников;
— куб, состоит из 6 квадратов;
— октаэдр, состоит из 8 равносторонних треугольников;
— додекаэдр, состоит из 12 правильных пятиугольников;
— икосаэдр, состоит из 20 правильных треугольников.
↓
Многогранник называется правильным, когда он состоит исключительно из правильных многоугольников.
В трехмерном евклидовом пространстве, в котором мы живем, существует только пять правильных выпуклых многогранников. Они называются платоновыми телами:
— тетраэдр, состоит из 4 равносторонних треугольников;
— куб, состоит из 6 квадратов;
— октаэдр, состоит из 8 равносторонних треугольников;
— додекаэдр, состоит из 12 правильных пятиугольников;
— икосаэдр, состоит из 20 правильных треугольников.
↓
Число Эйлера для многогранников.
Любой многогранник можно описать числом Эйлера χ.
Если у многогранника V вершин, E ребер и F граней, то число Эйлера равно следующему выражению:
χ = V - E + F.
#геометрия #многогранник #эйлер
↓
Любой многогранник можно описать числом Эйлера χ.
Если у многогранника V вершин, E ребер и F граней, то число Эйлера равно следующему выражению:
χ = V - E + F.
Число Эйлера равно количеству вершин, из которого вычтено количество ребер и добавлено количество граней многогранника.
#геометрия #многогранник #эйлер
↓
🤯1
Для любого простого выпуклого многогранника число Эйлера равно двум:
V - E + F = 2.
То есть если из числа вершин выпуклого многогранника вычесть количество ребер и прибавить число граней, то получится два.
По этой причине значение χ является хорошим индикатором для проверки того, является ли многогранник простым выпуклым или нет.
Для более тщательной проверки следует использовать дополнительные неравенства:
2 E ≥ 3 F — каждая грань имеет три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя граням;
2 E ≥ 3 F — в каждое вершине сходится три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя вершинами.
↓
V - E + F = 2.
То есть если из числа вершин выпуклого многогранника вычесть количество ребер и прибавить число граней, то получится два.
У всех правильных многогранников χ = 2.
По этой причине значение χ является хорошим индикатором для проверки того, является ли многогранник простым выпуклым или нет.
Если χ отличается от 2, то многогранник непростой или невыпуклый, либо он вообще не существует.
Для более тщательной проверки следует использовать дополнительные неравенства:
2 E ≥ 3 F — каждая грань имеет три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя граням;
2 E ≥ 3 F — в каждое вершине сходится три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя вершинами.
↓
К настоящему времени приведено
21 доказательство формулы Эйлера
для выпуклых многогранников:
V - E + F = 2.
Они описаны на этой странице (англ. яз.):
https://ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
↓
21 доказательство формулы Эйлера
для выпуклых многогранников:
V - E + F = 2.
Они описаны на этой странице (англ. яз.):
https://ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
↓
А здесь приведена запоминающаяся визуализация числа Эйлера для выпуклых многогранников из Quanta magazine.
x x x
x x x
Математический рок-н-ролл
Можно ли разбить сферу на правильные шестиугольники? Теория говорит, что этого сделать невозможно. Однако, в 2015 году г-н Акопян с сотоварищами путем трудоемких компьютерных расчетов нашли такое разбиение и представили интерактивную трехмерную модель гексасферы.…
Ответ.
Пришло время дать развернутый ответ на вопрос:
можно ли сферу целиком покрыть правильными шестиугольниками или нет?
Если кратко, то -- нет.
Господин Акопян и сотоварищи пошутили в честь 1 апреля)
Интерактивная модель гексасферы, якобы покрытой непрерывной сеткой шестиугольников -- это плоская картинка. Внутрь круга красиво вписана шестиугольная решетка, деформированная к краям так, что это создает иллюзию объемной фигуры. Двигая мышкой по рисунку, вы просто перемещаете плоскую конструкцию, а не трехмерный объект.
#геометрия #шар
А теперь перейдем к объяснениям.
↓
Пришло время дать развернутый ответ на вопрос:
можно ли сферу целиком покрыть правильными шестиугольниками или нет?
Если кратко, то -- нет.
Господин Акопян и сотоварищи пошутили в честь 1 апреля)
Интерактивная модель гексасферы, якобы покрытой непрерывной сеткой шестиугольников -- это плоская картинка. Внутрь круга красиво вписана шестиугольная решетка, деформированная к краям так, что это создает иллюзию объемной фигуры. Двигая мышкой по рисунку, вы просто перемещаете плоскую конструкцию, а не трехмерный объект.
#геометрия #шар
А теперь перейдем к объяснениям.
↓
Начнем с самого простого и интуитивно понятного.
Все знают, что правильными шестиугольниками можно покрыть плоскость без пропусков и самопересечений. Наглядный пример -- пчелиные соты.
Отсюда следует, что соединенные друг с другом правильные шестиугольники естественным образом формируют плоскую поверхность! И никак иначе.
Значит для того, чтобы этому плоскому покрытию придать объем, необходимо или исказить шестиугольники, сделав их неправильными, или дополнительно использовать другие многоугольники.
Если мы решили строить сферу только из правильных многоугольников, то такими дополнительными многоугольниками являются пятиугольники и их будет ровно 12, независимо от количества и размера использованных шестиугольников!
Почему так, рассмотрим далее.
↓
Все знают, что правильными шестиугольниками можно покрыть плоскость без пропусков и самопересечений. Наглядный пример -- пчелиные соты.
Отсюда следует, что соединенные друг с другом правильные шестиугольники естественным образом формируют плоскую поверхность! И никак иначе.
Значит для того, чтобы этому плоскому покрытию придать объем, необходимо или исказить шестиугольники, сделав их неправильными, или дополнительно использовать другие многоугольники.
Если мы решили строить сферу только из правильных многоугольников, то такими дополнительными многоугольниками являются пятиугольники и их будет ровно 12, независимо от количества и размера использованных шестиугольников!
Почему так, рассмотрим далее.
↓
Давайте вспомним классическую формулу Эйлера для выпуклого трехмерного многогранника без дыр.
Г - Р + В = 2. (*)
Если из числа Граней многогранника вычесть количество Ребер и прибавить число Вершин, то получится 2. (Для прочих многогранников итоговое значение может быть иным.)
#эйлер
Следовательно, данное выражение должно выполняться для нашей многоугольной сферы.
А что получается на самом деле?
↓
Г - Р + В = 2. (*)
Если из числа Граней многогранника вычесть количество Ребер и прибавить число Вершин, то получится 2. (Для прочих многогранников итоговое значение может быть иным.)
#эйлер
Следовательно, данное выражение должно выполняться для нашей многоугольной сферы.
А что получается на самом деле?
↓
Предположим, что мне удалось построить сферу только из правильных шестиугольников и она содержит некоторое число Граней.
Посчитаем, сколько у нее Ребер и Вершин.
(1) У каждой грани шесть ребер. При этом каждое ребро принадлежит двум граням. Значит:
Р = 6 ∙ Г / 2 = 3 ∙ Г.
То есть число ребер в три раза больше числа граней.
(2) У каждой грани шесть вершин, и при этом каждая вершина относится к шести граням. Значит:
В = 6 ∙ Г / 3 = 2 ∙ Г.
То есть число вершин в два раза больше числа граней.
(3) Подставим результаты в формулу Эйлера (*):
Г - Р + В = Г - 3Г + 2Г = 0 ≠ 2.
Мы получили ноль, а по формуле Эйлера должны были получить два.
Значит наше построение невозможно.
↓
Посчитаем, сколько у нее Ребер и Вершин.
(1) У каждой грани шесть ребер. При этом каждое ребро принадлежит двум граням. Значит:
Р = 6 ∙ Г / 2 = 3 ∙ Г.
То есть число ребер в три раза больше числа граней.
(2) У каждой грани шесть вершин, и при этом каждая вершина относится к шести граням. Значит:
В = 6 ∙ Г / 3 = 2 ∙ Г.
То есть число вершин в два раза больше числа граней.
(3) Подставим результаты в формулу Эйлера (*):
Г - Р + В = Г - 3Г + 2Г = 0 ≠ 2.
Мы получили ноль, а по формуле Эйлера должны были получить два.
Значит наше построение невозможно.
↓
👍1
Построение станет возможным, когда мы разбавим Шестиугольники правильными Пятиугольниками. Давайте подсчитаем их (минимально) необходимое количество.
Общее число граней у новой сферы равно:
Г = Ш + П.
Общее число ребер:
Р = 6 ∙ Ш / 2 + 5 ∙ П / 2.
Каждая вершина, все так же, граничит с тремя гранями, неважно какими. Поэтому общее число вершин:
B = 6 ∙ Ш / 3 + 5 ∙ П / 3.
Подставим значения в формулу Эйлера (*):
(Ш + П) - (6Ш/2 + 5П/2) + (6Ш/3 + 5П/3) = 2.
6Ш + 6П - 18Ш - 15П + 12Ш + 10П = 12.
П = 12.
Значит в нашей сфере, состоящей из шестиугольников, должно присутствовать ровно 12 пятиугольников.
Число пятиугольников — 12 — не зависит ни от количества шестиугольников, ни от их размера!
↓
Общее число граней у новой сферы равно:
Г = Ш + П.
Общее число ребер:
Р = 6 ∙ Ш / 2 + 5 ∙ П / 2.
Каждая вершина, все так же, граничит с тремя гранями, неважно какими. Поэтому общее число вершин:
B = 6 ∙ Ш / 3 + 5 ∙ П / 3.
Подставим значения в формулу Эйлера (*):
(Ш + П) - (6Ш/2 + 5П/2) + (6Ш/3 + 5П/3) = 2.
6Ш + 6П - 18Ш - 15П + 12Ш + 10П = 12.
П = 12.
Значит в нашей сфере, состоящей из шестиугольников, должно присутствовать ровно 12 пятиугольников.
12 правильных пятиугольников + N правильных шестиугольников = полигональная сфера.
Число пятиугольников — 12 — не зависит ни от количества шестиугольников, ни от их размера!
↓
Можно ли взять не 12 пятиугольников?
Нет. Только 12. И вот почему.
Пятиугольники создают "положительную кривизну" (дефицит углов), необходимую для замыкания сферы. Каждый пятиугольник вносит "дефект" в 60° (по сравнению с плоским разбиением), и для сферы нужно ровно 720° дефекта (полная сфера -- 4π стерадиан, что эквивалентно 12 дефектам).
Если использовать иное число пятиугольников, то полученная конструкция не замкнется в сферу: при меньшем количестве -- получится поверхность с отрицательной кривизной (как гиперболоид), при большей -- она не будет похожа на сферу.
———
Сколько шестиугольников нужно использовать?
Любое количество: от нуля, до бесконечности.
0 шестиугольников -- получится правильный додекаэдр. Он состоит ровно из 12 пятиугольников.
20 шестиугольников -- футбольный мяч или фуллерен C60.
100 шестиугольников -- гипотетический большой фуллерен C240.
...
↓
Нет. Только 12. И вот почему.
Пятиугольники создают "положительную кривизну" (дефицит углов), необходимую для замыкания сферы. Каждый пятиугольник вносит "дефект" в 60° (по сравнению с плоским разбиением), и для сферы нужно ровно 720° дефекта (полная сфера -- 4π стерадиан, что эквивалентно 12 дефектам).
Если использовать иное число пятиугольников, то полученная конструкция не замкнется в сферу: при меньшем количестве -- получится поверхность с отрицательной кривизной (как гиперболоид), при большей -- она не будет похожа на сферу.
———
Сколько шестиугольников нужно использовать?
Любое количество: от нуля, до бесконечности.
0 шестиугольников -- получится правильный додекаэдр. Он состоит ровно из 12 пятиугольников.
20 шестиугольников -- футбольный мяч или фуллерен C60.
100 шестиугольников -- гипотетический большой фуллерен C240.
...
↓