"Постоянное сидение нас убивает", — об этом говорит докладчик на ТЕДе.
Но решение есть:
После 25 минут сидения следует (активно) подвигаться 5 минут.
А отслеживать время поможет помидорный таймер. Он отсчитывает 25 минутные интервалы и 5 или 15 минутные перерывы.
Вот хороший, интуитивно понятный таймер.
https://pomofocus.io/
———
Доклад на ТЕДе.
#мысли
x x x
Но решение есть:
После 25 минут сидения следует (активно) подвигаться 5 минут.
А отслеживать время поможет помидорный таймер. Он отсчитывает 25 минутные интервалы и 5 или 15 минутные перерывы.
Вот хороший, интуитивно понятный таймер.
https://pomofocus.io/
———
Доклад на ТЕДе.
#мысли
x x x
Можно ли разбить сферу на правильные шестиугольники?
Теория говорит, что этого сделать невозможно.
Однако, в 2015 году г-н Акопян с сотоварищами путем трудоемких компьютерных расчетов нашли такое разбиение и представили интерактивную трехмерную модель гексасферы.
Вот как они это сделали.
#геометрия
↓
Теория говорит, что этого сделать невозможно.
Однако, в 2015 году г-н Акопян с сотоварищами путем трудоемких компьютерных расчетов нашли такое разбиение и представили интерактивную трехмерную модель гексасферы.
Вот как они это сделали.
#геометрия
↓
🏆4
A. V. Akopyan, J. Crowder, H. Edelsbrunner, R. Guseinov. (2015)
Hexagonal tiling of the two-dimensional sphere.
Вопрос к знатокам: кто же все-таки прав?
Ответ через несколько дней.
———
По такому случаю в канале открываются комментарии.
x x x
Hexagonal tiling of the two-dimensional sphere.
Хорошо известно, что эйлерова характеристика граничного комплекса любого четномерного выпуклого многогранника равна нулю, то есть число граней четной и нечетной размерности одинаково. Это позволяет создавать симметричные структуры на многомерных сферах. Исследуя размерности от 4 до 24, мы нашли сечения решетки Лича, которые дают многослойное покрытие двумерной сферы шестиугольниками. Компьютерные расчеты нашли параметры, при которых слои точно совмещаются, образуя регулярную шестиугольную разбиение сферы — так называемую "гексасферу". В конструкции отсутствуют скрытые пятиугольники.
Моделирование показывает, что гексасфера может быть физически реализована из атомов углерода и обладает высокой механической устойчивостью к экстремальным давлениям и температурам.
Вопрос к знатокам: кто же все-таки прав?
Ответ через несколько дней.
———
По такому случаю в канале открываются комментарии.
x x x
❤2
Религия многообразия Колаби-Яу.
Профессор Яу Шинтун — выдающийся математик и лауреат Филдсовской премии.
Он известен доказательством гипотезы Калаби
В честь него данные многообразия сейчас называются многообразиями Колаби-Яу.
Выглядят они, надо сказать, достаточно запутанно и даже в чем-то зловеще.
#геометрия #алгебра #арт
↓
Профессор Яу Шинтун — выдающийся математик и лауреат Филдсовской премии.
Он известен доказательством гипотезы Калаби
о существовании специальных метрик (Риччи-плоских метрик) на определённых комплексных многообразиях, известных как кэлеровы многообразия.
В честь него данные многообразия сейчас называются многообразиями Колаби-Яу.
Выглядят они, надо сказать, достаточно запутанно и даже в чем-то зловеще.
#геометрия #алгебра #арт
↓
🥰2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
В настоящее время профессор Яу руководит Шанхайским институтом математики и междисциплинарных наук (SIMIS).
Не так давно в институте была поставлена скульптура, изображающая проекцию многообразия в наш трехмерный мир.
Так вот,
Ну и, собственно, поклоняются)
Это первый документально зафиксированный случай религиозного поклонения сложной математической конструкции. Воистину, у неокрепшего ума, да и окрепшего тоже, она вызывает душевное смятение и трепет. Так что детей понять можно)
-------
Видео из тг "Математическая свалка Сепы".
x x x
Не так давно в институте была поставлена скульптура, изображающая проекцию многообразия в наш трехмерный мир.
Так вот,
Милые китайские дети воспринимают скульптуру, как нечто божественное, как религиозный символ, которому нужно поклоняться.
Ну и, собственно, поклоняются)
Это первый документально зафиксированный случай религиозного поклонения сложной математической конструкции. Воистину, у неокрепшего ума, да и окрепшего тоже, она вызывает душевное смятение и трепет. Так что детей понять можно)
-------
Видео из тг "Математическая свалка Сепы".
x x x
❤2
Что такое многогранник?
Многогранник (polyhedron) — это трехмерное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольных граней.
Грань (face) — это многоугольник (polygon): замкнутая плоская фигура, состоящая из вершин (vertex), соединенных прямолинейными отрезками — ребрами (edge).
#геометрия #многогранник
↓
Многогранник (polyhedron) — это трехмерное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольных граней.
Грань (face) — это многоугольник (polygon): замкнутая плоская фигура, состоящая из вершин (vertex), соединенных прямолинейными отрезками — ребрами (edge).
#геометрия #многогранник
↓
Выпуклый и невыпуклый многогранник.
(На рисунке показаны невыпуклые звездчатые многогранники.)
Выпуклый многогранник (convex polyhedron) не содержит вмятин и впадин. Если через любую его грань провести плоскость, то многогранник целиком останется с одной стороны от этой плоскости — плоскость не рассечет многогранник, а только коснется его в области грани.
Невыпуклый многогранник (non convex polyhedron) содержит впадины. Поэтому как минимум одна плоскость, проведенная через какую-то из его граней, пересечет многогранник.
———
Более строгое определение выпуклости и невыпуклости.
↓
(На рисунке показаны невыпуклые звездчатые многогранники.)
Выпуклый многогранник (convex polyhedron) не содержит вмятин и впадин. Если через любую его грань провести плоскость, то многогранник целиком останется с одной стороны от этой плоскости — плоскость не рассечет многогранник, а только коснется его в области грани.
Невыпуклый многогранник (non convex polyhedron) содержит впадины. Поэтому как минимум одна плоскость, проведенная через какую-то из его граней, пересечет многогранник.
———
Более строгое определение выпуклости и невыпуклости.
В выпуклом многограннике отрезок, соединяющий любые две вершины, останется либо внутри многогранника, либо на его поверхности.
В невыпуклом многограннике как минимум один из таких отрезков будет находится снаружи, вне многогранника.
↓
Платоновы тела.
Многогранник называется правильным, когда он состоит исключительно из правильных многоугольников.
В трехмерном евклидовом пространстве, в котором мы живем, существует только пять правильных выпуклых многогранников. Они называются платоновыми телами:
— тетраэдр, состоит из 4 равносторонних треугольников;
— куб, состоит из 6 квадратов;
— октаэдр, состоит из 8 равносторонних треугольников;
— додекаэдр, состоит из 12 правильных пятиугольников;
— икосаэдр, состоит из 20 правильных треугольников.
↓
Многогранник называется правильным, когда он состоит исключительно из правильных многоугольников.
В трехмерном евклидовом пространстве, в котором мы живем, существует только пять правильных выпуклых многогранников. Они называются платоновыми телами:
— тетраэдр, состоит из 4 равносторонних треугольников;
— куб, состоит из 6 квадратов;
— октаэдр, состоит из 8 равносторонних треугольников;
— додекаэдр, состоит из 12 правильных пятиугольников;
— икосаэдр, состоит из 20 правильных треугольников.
↓
Число Эйлера для многогранников.
Любой многогранник можно описать числом Эйлера χ.
Если у многогранника V вершин, E ребер и F граней, то число Эйлера равно следующему выражению:
χ = V - E + F.
#геометрия #многогранник #эйлер
↓
Любой многогранник можно описать числом Эйлера χ.
Если у многогранника V вершин, E ребер и F граней, то число Эйлера равно следующему выражению:
χ = V - E + F.
Число Эйлера равно количеству вершин, из которого вычтено количество ребер и добавлено количество граней многогранника.
#геометрия #многогранник #эйлер
↓
🤯1
Для любого простого выпуклого многогранника число Эйлера равно двум:
V - E + F = 2.
То есть если из числа вершин выпуклого многогранника вычесть количество ребер и прибавить число граней, то получится два.
По этой причине значение χ является хорошим индикатором для проверки того, является ли многогранник простым выпуклым или нет.
Для более тщательной проверки следует использовать дополнительные неравенства:
2 E ≥ 3 F — каждая грань имеет три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя граням;
2 E ≥ 3 F — в каждое вершине сходится три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя вершинами.
↓
V - E + F = 2.
То есть если из числа вершин выпуклого многогранника вычесть количество ребер и прибавить число граней, то получится два.
У всех правильных многогранников χ = 2.
По этой причине значение χ является хорошим индикатором для проверки того, является ли многогранник простым выпуклым или нет.
Если χ отличается от 2, то многогранник непростой или невыпуклый, либо он вообще не существует.
Для более тщательной проверки следует использовать дополнительные неравенства:
2 E ≥ 3 F — каждая грань имеет три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя граням;
2 E ≥ 3 F — в каждое вершине сходится три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя вершинами.
↓
К настоящему времени приведено
21 доказательство формулы Эйлера
для выпуклых многогранников:
V - E + F = 2.
Они описаны на этой странице (англ. яз.):
https://ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
↓
21 доказательство формулы Эйлера
для выпуклых многогранников:
V - E + F = 2.
Они описаны на этой странице (англ. яз.):
https://ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
↓
А здесь приведена запоминающаяся визуализация числа Эйлера для выпуклых многогранников из Quanta magazine.
x x x
x x x
Математический рок-н-ролл
Можно ли разбить сферу на правильные шестиугольники? Теория говорит, что этого сделать невозможно. Однако, в 2015 году г-н Акопян с сотоварищами путем трудоемких компьютерных расчетов нашли такое разбиение и представили интерактивную трехмерную модель гексасферы.…
Ответ.
Пришло время дать развернутый ответ на вопрос:
можно ли сферу целиком покрыть правильными шестиугольниками или нет?
Если кратко, то -- нет.
Господин Акопян и сотоварищи пошутили в честь 1 апреля)
Интерактивная модель гексасферы, якобы покрытой непрерывной сеткой шестиугольников -- это плоская картинка. Внутрь круга красиво вписана шестиугольная решетка, деформированная к краям так, что это создает иллюзию объемной фигуры. Двигая мышкой по рисунку, вы просто перемещаете плоскую конструкцию, а не трехмерный объект.
#геометрия #шар
А теперь перейдем к объяснениям.
↓
Пришло время дать развернутый ответ на вопрос:
можно ли сферу целиком покрыть правильными шестиугольниками или нет?
Если кратко, то -- нет.
Господин Акопян и сотоварищи пошутили в честь 1 апреля)
Интерактивная модель гексасферы, якобы покрытой непрерывной сеткой шестиугольников -- это плоская картинка. Внутрь круга красиво вписана шестиугольная решетка, деформированная к краям так, что это создает иллюзию объемной фигуры. Двигая мышкой по рисунку, вы просто перемещаете плоскую конструкцию, а не трехмерный объект.
#геометрия #шар
А теперь перейдем к объяснениям.
↓
Начнем с самого простого и интуитивно понятного.
Все знают, что правильными шестиугольниками можно покрыть плоскость без пропусков и самопересечений. Наглядный пример -- пчелиные соты.
Отсюда следует, что соединенные друг с другом правильные шестиугольники естественным образом формируют плоскую поверхность! И никак иначе.
Значит для того, чтобы этому плоскому покрытию придать объем, необходимо или исказить шестиугольники, сделав их неправильными, или дополнительно использовать другие многоугольники.
Если мы решили строить сферу только из правильных многоугольников, то такими дополнительными многоугольниками являются пятиугольники и их будет ровно 12, независимо от количества и размера использованных шестиугольников!
Почему так, рассмотрим далее.
↓
Все знают, что правильными шестиугольниками можно покрыть плоскость без пропусков и самопересечений. Наглядный пример -- пчелиные соты.
Отсюда следует, что соединенные друг с другом правильные шестиугольники естественным образом формируют плоскую поверхность! И никак иначе.
Значит для того, чтобы этому плоскому покрытию придать объем, необходимо или исказить шестиугольники, сделав их неправильными, или дополнительно использовать другие многоугольники.
Если мы решили строить сферу только из правильных многоугольников, то такими дополнительными многоугольниками являются пятиугольники и их будет ровно 12, независимо от количества и размера использованных шестиугольников!
Почему так, рассмотрим далее.
↓