Почему бы во время новогодних маскарадов не прийти на карнавал в гиперболическом пончо? Это будет свежо, оригинально и подчеркнет вашу увлеченность математикой.

Пончо шьется из 51 одинакового гиперболического пятиугольника, выкройка которого приведена в комментариях. Выкройка состоит из двух листов, которые следует аккуратно склеить и вырезать, чтобы получить картонный шаблон. Его, в свою очередь, следует перенести на флисовую ткань двух цветов. (Важно, чтобы ткань была эластичной!) Всего вам понадобиться 25 одинаковых пятиугольников одного цвета и 26 другого.

Вырезанные из ткани детали необходимо сшить по схеме. Получится уникальное пончо.

Вот ссылка на схему пончо.

↓

История и особенности пончо.

Гиперболическое пончо придумал американский математик и скульптор Хеламан Рольф Пратт Фергюсон, доныне здравствующий. Это не первая конструкция подобного рода. Однако пончо Фергюсона более равномерно распределяет кривизну по ткани, в отличие от бумажных и картонных моделей.

Так, если вырезать 51 пятиугольник из картона и соединить их так, чтобы в каждой вершине встречались четыре пятиугольника, получится поверхность, внешне похожая на пончо Фергюсона, но с существенным недостатком: каждый картонный пятиугольник имеет прямые стороны и углы по 108°, так что вокруг одной вершины соединиться 4 угла по 108°, что даст 432° и приведет к неприятной деформации конструкции.

Пончо Фергюсона корректирует локальную деформацию двумя хитрыми приемами.

Первый прием заключается в том, чтобы вырезать каждый пятиугольник с вогнутыми сторонами и точными внутренними углами в 90°. В результате, когда вы сошьете два пятиугольника с вогнутыми сторонами, вы равномерно распределите кривизну вдоль шва. Иными словами кривизна, ранее сосредоточенная в 0-мерных вершинах (как в картонной модели), теперь растягивается по 1-мерным швам.

Вторая идея заключается в том, чтобы сделать пончо из эластичного флиса вместо неэластичной ткани. Эластичность позволяет кривизне вдоль каждого шва распространиться внутрь двух соседних пятиугольников. То есть кривизна, которая раньше концентрировалась вдоль 1‑мерных швов, теперь будет распределена по всей поверхности.

Приятных вечеринок!

x x x

If you don’t use it, you lose it
Если вы этим не пользуетесь — вы его теряете.

"If you don’t use it, you lose it" means that skills, knowledge, and physical abilities decline or disappear without regular practice, applying to muscles that atrophy, brains that lose neural connections, and talents that fade, emphasizing the need for continuous engagement to maintain function.

Фраза "если вы этим не пользуетесь, то вы его теряете" означает, что навыки, знания и физические способности снижаются или полностью исчезают без регулярной практики: мускулы атрофируются без физических упражнений, мозг теряет нейронные связи без регулярного повторения, таланты угасают без применения.

This principle of neuroplasticity and physical maintenance shows that consistent effort is required to retain abilities, from playing an instrument to staying fit.

Это принцип показывает, что для поддержания любых способностей нужны существенные усилия.

Будьте в форме и будете в норме!

#мысли

x x x

"Постоянное сидение нас убивает", — об этом говорит докладчик на ТЕДе.

Но решение есть:

После 25 минут сидения следует (активно) подвигаться 5 минут.

А отслеживать время поможет помидорный таймер. Он отсчитывает 25 минутные интервалы и 5 или 15 минутные перерывы.

Вот хороший, интуитивно понятный таймер.
https://pomofocus.io/

———
Доклад на ТЕДе.

#мысли

x x x

Можно ли разбить сферу на правильные шестиугольники?

Теория говорит, что этого сделать невозможно.

Однако, в 2015 году г-н Акопян с сотоварищами путем трудоемких компьютерных расчетов нашли такое разбиение и представили интерактивную трехмерную модель гексасферы.

Вот как они это сделали.

#геометрия

↓

A. V. Akopyan, J. Crowder, H. Edelsbrunner, R. Guseinov. (2015)
Hexagonal tiling of the two-dimensional sphere.

Хорошо известно, что эйлерова характеристика граничного комплекса любого четномерного выпуклого многогранника равна нулю, то есть число граней четной и нечетной размерности одинаково. Это позволяет создавать симметричные структуры на многомерных сферах. Исследуя размерности от 4 до 24, мы нашли сечения решетки Лича, которые дают многослойное покрытие двумерной сферы шестиугольниками. Компьютерные расчеты нашли параметры, при которых слои точно совмещаются, образуя регулярную шестиугольную разбиение сферы — так называемую "гексасферу". В конструкции отсутствуют скрытые пятиугольники.

Моделирование показывает, что гексасфера может быть физически реализована из атомов углерода и обладает высокой механической устойчивостью к экстремальным давлениям и температурам.

Вопрос к знатокам: кто же все-таки прав?

Ответ через несколько дней.

———
По такому случаю в канале открываются комментарии.

x x x

Религия многообразия Колаби-Яу.

Профессор Яу Шинтун — выдающийся математик и лауреат Филдсовской премии.

Он известен доказательством гипотезы Калаби

о существовании специальных метрик (Риччи-плоских метрик) на определённых комплексных многообразиях, известных как кэлеровы многообразия.

В честь него данные многообразия сейчас называются многообразиями Колаби-Яу.

Выглядят они, надо сказать, достаточно запутанно и даже в чем-то зловеще.

#геометрия #алгебра #арт

↓

В настоящее время профессор Яу руководит Шанхайским институтом математики и междисциплинарных наук (SIMIS).

Не так давно в институте была поставлена скульптура, изображающая проекцию многообразия в наш трехмерный мир.

Так вот,

Милые китайские дети воспринимают скульптуру, как нечто божественное, как религиозный символ, которому нужно поклоняться.

Ну и, собственно, поклоняются)

Это первый документально зафиксированный случай религиозного поклонения сложной математической конструкции. Воистину, у неокрепшего ума, да и окрепшего тоже, она вызывает душевное смятение и трепет. Так что детей понять можно)

-------
Видео из тг "Математическая свалка Сепы".

x x x

матмем
Обыкновенные выходные обыкновенного математика.

#матмем

x x x

Что такое многогранник?

Многогранник (polyhedron) — это трехмерное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольных граней.

Грань (face) — это многоугольник (polygon): замкнутая плоская фигура, состоящая из вершин (vertex), соединенных прямолинейными отрезками — ребрами (edge).

#геометрия #многогранник

↓

Многоугольная грань.

Многоугольная грань должна быть простой (как слева). То есть в ней не должно быть отверстий (как справа).

Многогранник состоит из простых многоугольных граней.

↓

Цельный многогранник.

Многогранник является цельной фигурой. Он не может состоять из частей, соединенных только ребром (как слева) или вершиной (как справа).

↓

Выпуклый и невыпуклый многогранник.

(На рисунке показаны невыпуклые звездчатые многогранники.)

Выпуклый многогранник (convex polyhedron) не содержит вмятин и впадин. Если через любую его грань провести плоскость, то многогранник целиком останется с одной стороны от этой плоскости — плоскость не рассечет многогранник, а только коснется его в области грани.

Невыпуклый многогранник (non convex polyhedron) содержит впадины. Поэтому как минимум одна плоскость, проведенная через какую-то из его граней, пересечет многогранник.

———

Более строгое определение выпуклости и невыпуклости.

В выпуклом многограннике отрезок, соединяющий любые две вершины, останется либо внутри многогранника, либо на его поверхности.

В невыпуклом многограннике как минимум один из таких отрезков будет находится снаружи, вне многогранника.

↓

Платоновы тела.

Многогранник называется правильным, когда он состоит исключительно из правильных многоугольников.

В трехмерном евклидовом пространстве, в котором мы живем, существует только пять правильных выпуклых многогранников. Они называются платоновыми телами:
— тетраэдр, состоит из 4 равносторонних треугольников;
— куб, состоит из 6 квадратов;
— октаэдр, состоит из 8 равносторонних треугольников;
— додекаэдр, состоит из 12 правильных пятиугольников;
— икосаэдр, состоит из 20 правильных треугольников.

↓

Огромное разнообразие иных красивых многогранников, а также многогранников в пространствах высших размерностей, называемых политопами, вызывает непреодолимое желание рассказать о них в других заметках.

x x x

Число Эйлера для многогранников.

Любой многогранник можно описать числом Эйлера χ.

Если у многогранника V вершин, E ребер и F граней, то число Эйлера равно следующему выражению:

χ = V - E + F.

Число Эйлера равно количеству вершин, из которого вычтено количество ребер и добавлено количество граней многогранника.

#геометрия #многогранник #эйлер

↓

Для любого простого выпуклого многогранника число Эйлера равно двум:

V - E + F = 2.

То есть если из числа вершин выпуклого многогранника вычесть количество ребер и прибавить число граней, то получится два.

У всех правильных многогранников χ = 2.

По этой причине значение χ является хорошим индикатором для проверки того, является ли многогранник простым выпуклым или нет.

Если χ отличается от 2, то многогранник непростой или невыпуклый, либо он вообще не существует.

Для более тщательной проверки следует использовать дополнительные неравенства:

2 E ≥ 3 F — каждая грань имеет три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя граням;
2 E ≥ 3 F — в каждое вершине сходится три или более ребра (3 F) и каждое ребро делится между двумя вершинами.

↓