Так, если разделить 1 на 999² = 998001, мы получим последовательность трёхзначных блоков, каждый из которых содержит числа от 000 до 999, кроме 998.
1/998001 = 0,
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 ... 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 999 ...
Алгебраический механизм этого феномена очень изящен.
↓
1/998001 = 0,
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 ... 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 999 ...
Алгебраический механизм этого феномена очень изящен.
↓
❤3✍2
Рассмотрим сначала базовые дроби:
1/9 = 0,111111…
1/99 = 0,010101…
1/999 = 0,001001001…
Каждая из них является бесконечной геометрической прогрессией. Например:
1/999 = 10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + 10⁻¹² + …
Теперь возведём эту сумму в квадрат. Поскольку 999² = 998001, получаем:
1/998001 = (1/999)² = (10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + …)²
При возведении суммы в квадрат каждое слагаемое умножается на каждое (включая само себя). Посмотрим, сколько способов даёт каждый член:
- 10⁻⁶ получается 1 способом (10⁻³ × 10⁻³)
- 10⁻⁹ получается 2 способами
- 10⁻¹² получается 3 способами
- …
- 10⁻³ⁿ получается (n−1) способами.
В итоге:
1/998001 = 1·10⁻⁶ + 2·10⁻⁹ + 3·10⁻¹² + 4·10⁻¹⁵ + …
Каждый коэффициент 1, 2, 3, 4, … занимает ровно три десятичных разряда и формирует красивую последовательность: 0,000 001 002 003 004 … 997 999 000 001 …
Блок 998 в этой последовательности отсутствует. Причина -- переносы при переполнении.
↓
1/9 = 0,111111…
1/99 = 0,010101…
1/999 = 0,001001001…
Каждая из них является бесконечной геометрической прогрессией. Например:
1/999 = 10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + 10⁻¹² + …
Теперь возведём эту сумму в квадрат. Поскольку 999² = 998001, получаем:
1/998001 = (1/999)² = (10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + …)²
При возведении суммы в квадрат каждое слагаемое умножается на каждое (включая само себя). Посмотрим, сколько способов даёт каждый член:
- 10⁻⁶ получается 1 способом (10⁻³ × 10⁻³)
- 10⁻⁹ получается 2 способами
- 10⁻¹² получается 3 способами
- …
- 10⁻³ⁿ получается (n−1) способами.
В итоге:
1/998001 = 1·10⁻⁶ + 2·10⁻⁹ + 3·10⁻¹² + 4·10⁻¹⁵ + …
Каждый коэффициент 1, 2, 3, 4, … занимает ровно три десятичных разряда и формирует красивую последовательность: 0,000 001 002 003 004 … 997 999 000 001 …
Блок 998 в этой последовательности отсутствует. Причина -- переносы при переполнении.
↓
❤1
Когда коэффициент достигает 1000, он уже не помещается в трехзначный блок. Единица уходит в старший разряд, а в текущем остается 000. Эта единица прибавляется к предыдущему блоку (999), что снова вызывает переполнение. Цепная реакция переносов съедает значение 998, и вместо … 997 998 999 … мы видим … 997 998 999 000 … 997 999 000.
Этот механизм работает для блоков любой длины:
Двузначные блоки:
1/99² = 1/9801 = 0,00 01 02 … 96 97 99 00 01… (отсутствует 98)
Трехзначные блоки:
1/999² = 1/998001 (отсутствует 998)
Четырехзначные блоки:
1/9999² = 1/99980001 (отсутствует 9998)
↓
Этот механизм работает для блоков любой длины:
Двузначные блоки:
1/99² = 1/9801 = 0,00 01 02 … 96 97 99 00 01… (отсутствует 98)
Трехзначные блоки:
1/999² = 1/998001 (отсутствует 998)
Четырехзначные блоки:
1/9999² = 1/99980001 (отсутствует 9998)
↓
❤2
A Cornucopia of Quadrilaterals
Alsina C., Nelsen R.B. 2021
В 2021 году вышла монография Клауди Альсины и Роджера Нельсена о четырехугольниках, чья структура, по мнению авторов, так же сложна и разнообразна, как и у треугольников.
Книга из одиннадцати глав строится от базовых понятий к частным темам. В начале рассматриваются простые фигуры, теорема Вариньона, связь четырехугольников с окружностями и их диагонали. Значительная часть текста посвящена трапециям, включая виды Фибоначчи и Гарфилда, а также параллелограммам и прямоугольникам с особыми пропорциями. Отдельно разбираются свойства квадрата, нестандартные формы (вогнутые, косые, самопересекающиеся) и связь геометрии с теорией чисел через фигурные числа.
Каждая глава содержит задачи для практики, а ответы к ним собраны в конце издания.
#книга #геометрия
↓
Alsina C., Nelsen R.B. 2021
В 2021 году вышла монография Клауди Альсины и Роджера Нельсена о четырехугольниках, чья структура, по мнению авторов, так же сложна и разнообразна, как и у треугольников.
Книга из одиннадцати глав строится от базовых понятий к частным темам. В начале рассматриваются простые фигуры, теорема Вариньона, связь четырехугольников с окружностями и их диагонали. Значительная часть текста посвящена трапециям, включая виды Фибоначчи и Гарфилда, а также параллелограммам и прямоугольникам с особыми пропорциями. Отдельно разбираются свойства квадрата, нестандартные формы (вогнутые, косые, самопересекающиеся) и связь геометрии с теорией чисел через фигурные числа.
Каждая глава содержит задачи для практики, а ответы к ним собраны в конце издания.
#книга #геометрия
↓
✍1🥰1
2021 -- A Cornucopia of Quadrilaterals.djvu
6.9 MB
В целом получился не сухой учебник, а живой рассказ, где теоремы и формулы показывают красоту и логику геометрических форм.
#пдф
x x x
#пдф
x x x
❤1
The Classification of Quadrilaterals: A Study in Definition
Usiskin J., Griffin J. 2008
В 2008 году вышла книга Залмана Усискина и Дженнифер Гриффин о классификации четырехугольников, где основной акцент сделан на выборе четких определений разновидностей четурехугольников.
Авторы показывают, как формулировка меняет логику текста. Так, определение трапеции через "ровно одну" пару параллельных сторон разбивает фигуры на непересекающиеся классы, а вариант с "хотя бы одной" парой выстраивает иерархию, где параллелограмм становится частным случаем трапеции, а формулы приобретают более общий вид без дополнительных оговорок.
Проанализировав более ста учебников, исследователи выяснили, что подобные разногласия системны и затрагивают многие геометрические понятия, от воздушных змеев до многоугольников.
#книга #геометрия
↓
Usiskin J., Griffin J. 2008
В 2008 году вышла книга Залмана Усискина и Дженнифер Гриффин о классификации четырехугольников, где основной акцент сделан на выборе четких определений разновидностей четурехугольников.
Авторы показывают, как формулировка меняет логику текста. Так, определение трапеции через "ровно одну" пару параллельных сторон разбивает фигуры на непересекающиеся классы, а вариант с "хотя бы одной" парой выстраивает иерархию, где параллелограмм становится частным случаем трапеции, а формулы приобретают более общий вид без дополнительных оговорок.
Проанализировав более ста учебников, исследователи выяснили, что подобные разногласия системны и затрагивают многие геометрические понятия, от воздушных змеев до многоугольников.
#книга #геометрия
↓
🔥1
2008_The_Classification_of_Quadrilaterals_A_Study_in_Definition.pdf
1.6 MB
Книга демонстрирует, что математические определения не даются изначально, а выбираются авторами, и каждый такой выбор имеет логические и методические последствия для всего учебного процесса.
#пдф
x x x
#пдф
x x x
👍3
Geometric Gems: An Appreciation for Geometric Curiosities.
Volume II: The Wonders of Quadrilaterals.
Posamentier A.S., Geretschlager R. 2025.
В 2025 году Альфред Посаментьер и Роберт Геретчлегер выпустили книгу о неожиданных свойствах четырехугольников.
Авторы пишут про неочевидные факты о трапециях, параллелограммах, прямоугольниках и произвольных фигурах. Например, как делить их на равные доли или почему соединение середин сторон всегда дает параллелограмм Вариньона.
Для каждого свойства приведено доказательство, но разбирать его необязательно — можно просто знакомиться с самими результатами.
#книга #геометрия
↓
Volume II: The Wonders of Quadrilaterals.
Posamentier A.S., Geretschlager R. 2025.
В 2025 году Альфред Посаментьер и Роберт Геретчлегер выпустили книгу о неожиданных свойствах четырехугольников.
Авторы пишут про неочевидные факты о трапециях, параллелограммах, прямоугольниках и произвольных фигурах. Например, как делить их на равные доли или почему соединение середин сторон всегда дает параллелограмм Вариньона.
Для каждого свойства приведено доказательство, но разбирать его необязательно — можно просто знакомиться с самими результатами.
#книга #геометрия
↓
❤1