(Картинка из издания "Вашингтон пост")
Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно.
Предыдущие выборы показали, что обычно каждая тысяча человек, проживающая в компактном районе, голосует строго за представителя одной партии. И в целом 20 тыс. (40%) голосуют за красных, а 30 тыс. (60%) — за синих.
Если мы нарежем округа справедливо — вдоль, так, чтобы в каждый округ входили только группы избирателей, поддерживающие строго одну партию, то выборы покажут правильный результат: победят 2 красных и 3 синих конгрессмена.
↓
Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно.
Предыдущие выборы показали, что обычно каждая тысяча человек, проживающая в компактном районе, голосует строго за представителя одной партии. И в целом 20 тыс. (40%) голосуют за красных, а 30 тыс. (60%) — за синих.
Если мы нарежем округа справедливо — вдоль, так, чтобы в каждый округ входили только группы избирателей, поддерживающие строго одну партию, то выборы покажут правильный результат: победят 2 красных и 3 синих конгрессмена.
↓
❤1
А вот если мы проведем границы округов по-другому, на картинке — поперек, то ситуация поменяется. Хотя число округов и число избирателей в каждом округе осталось прежним, но теперь в каждом округе большинство набирает синий кандидат. И в итоге от штата в конгресс проходят 5 синих кандидатов!
Но это еще не все. Сделаем границы округов более вычурными. Опять же, число жителей в каждом округе осталось прежним, но теперь подсчет показывает, что в конгресс проходят 3 красных и 2 синих кандидата!
------
Первоначальный справедливый баланс 2 красных + 3 синих кандидатов мы изменили в две противоположные стороны:
0 красных + 5 синих либо
3 красных + 2 синих,
всего лишь поменяв расположение границ округов!
↓
Но это еще не все. Сделаем границы округов более вычурными. Опять же, число жителей в каждом округе осталось прежним, но теперь подсчет показывает, что в конгресс проходят 3 красных и 2 синих кандидата!
------
Первоначальный справедливый баланс 2 красных + 3 синих кандидатов мы изменили в две противоположные стороны:
0 красных + 5 синих либо
3 красных + 2 синих,
всего лишь поменяв расположение границ округов!
↓
🔥2❤1
Термин "джеримандер" (gerrymander) произошел от имени губернатора штата Массачусетс Элбриджа Джерри (Gerry) и слова "salamander" (саламандра).
В 1812 году губернатор использовал описанный способ нарезки границ округов так, что в штате победила Демократическо-республиканская партия, хотя по числу голосовавших она должна была проиграть. На карте один из таких округов приобрел причудливую форму мифической саламандры, откуда и произошло название термина.
x x x
В 1812 году губернатор использовал описанный способ нарезки границ округов так, что в штате победила Демократическо-республиканская партия, хотя по числу голосовавших она должна была проиграть. На карте один из таких округов приобрел причудливую форму мифической саламандры, откуда и произошло название термина.
x x x
👏2❤1😁1
Математический рок-н-ролл
(Картинка из издания "Вашингтон пост") Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно. Предыдущие выборы показали…
О голосовании в стране Анчурия.
Аналогичная задача о голосовании была опубликована в июльском номере "Кванта" за 1970 год.
В ней предлагалось рассмотреть организацию многоступенчатых выборов, которые позволили бы действующему президенту одержать победу на выборах при условии, что из 20 миллионов жителей его поддерживает лишь 0,2 миллиона (1%).
В том же номере был дан подробный ответ.
Почитать.
#прикладная_математика
x x x
Аналогичная задача о голосовании была опубликована в июльском номере "Кванта" за 1970 год.
В ней предлагалось рассмотреть организацию многоступенчатых выборов, которые позволили бы действующему президенту одержать победу на выборах при условии, что из 20 миллионов жителей его поддерживает лишь 0,2 миллиона (1%).
В том же номере был дан подробный ответ.
Почитать.
#прикладная_математика
x x x
❤1🫡1
Forwarded from Дмитрий Перетолчин — «Картина Мира»
«Как я уже говорил, я довольно хорошо, для непрофессионала, знаю естественные науки. Несколько областей физики, несколько областей биологии, химии, немного геологии и палеонтологии. Кроме того, я серьезно интересовался искусственным интеллектом и семантикой языков. В 1997-1999 годах я прочел много современных книг, авторы которых пытались создать как бы научную философию, т.е. из существующих научных теорий скомбинировать общую картину нашего мира. Я особенно хорошо помню книгу Эдуарда Вилсона (Edvard Wilson) "Consilience" (не знаю, как это на русском). Как математик я очень чувствителен к "дыркам" в аргументах, к тем местам, где вывод не следует формально из предпосылок, а что называется, притянут за уши. Так вот, прочитав все эти книги, я убедился, что те, кто говорит, что современная наука объясняет наш мир, неправы. Да, некоторые науки очень успешно и точно объясняют отдельные группы явлений. Но в полную картину мира эти объяснения никоим образом не "склеиваются". Больше того некоторые так называемые научные объяснения являются по сути, не побоюсь этого слова, профанацией. Наиболее важным примером такой ситуации является дарвинизм. Спору нет, биосфера земли развивалась и развивается, и процессы естественного отбора, и случайных мутаций играют в этом развитии определенную роль. Но они никоим образом не объясняют это развитие. Замечу кстати, что сейчас это постепенно начинает обсуждаться серьезными биологами, но еще десять лет назад, в Америке, биолог, высказав такую точку зрения, мог серьезно испортить себе карьеру. […] наукой я может быть иногда и занимаюсь, но дело не в этом. Наука должна заниматься сбором и осмыслением нового знания. Это очень важно - сбором. Есть такая точка зрения, что, мол, все наблюдения в основном уже сделаны, общая картина мира ясна, и осталось только эти знания упорядочить, и уложить в компактную и красивую теорию. Это принципиально неверно. И не просто неверно, а ведет к очень негативной тенденции игнорировать все то, что не укладывается в заранее готовую теорию или гипотезу. Это одна из самых серьезных проблем в современной науке». (часть 1)
математик, лауреат Филсовской медали Владимир Воеводский
https://baaltii1.livejournal.com/198675.html
https://baaltii1.livejournal.com/200269.html
математик, лауреат Филсовской медали Владимир Воеводский
https://baaltii1.livejournal.com/198675.html
https://baaltii1.livejournal.com/200269.html
🆒1
Целочисленные последовательности в десятичных дробях
Десятичное разложение рациональных чисел таит в себе неожиданные структурные закономерности. Одна из наиболее красивых связана с дробями, знаменатели которых являются квадратами репдигитов -- чисел, состоящих исключительно из девяток (9, 99, 999, …).
При делении единицы на такие квадраты возникают периодические дроби, в которых после запятой выстраиваются строгие последовательности целых чисел в блоках фиксированной длины.
#числа
↓
Десятичное разложение рациональных чисел таит в себе неожиданные структурные закономерности. Одна из наиболее красивых связана с дробями, знаменатели которых являются квадратами репдигитов -- чисел, состоящих исключительно из девяток (9, 99, 999, …).
При делении единицы на такие квадраты возникают периодические дроби, в которых после запятой выстраиваются строгие последовательности целых чисел в блоках фиксированной длины.
#числа
↓
Так, если разделить 1 на 999² = 998001, мы получим последовательность трёхзначных блоков, каждый из которых содержит числа от 000 до 999, кроме 998.
1/998001 = 0,
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 ... 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 999 ...
Алгебраический механизм этого феномена очень изящен.
↓
1/998001 = 0,
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 ... 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 999 ...
Алгебраический механизм этого феномена очень изящен.
↓
❤3✍2
Рассмотрим сначала базовые дроби:
1/9 = 0,111111…
1/99 = 0,010101…
1/999 = 0,001001001…
Каждая из них является бесконечной геометрической прогрессией. Например:
1/999 = 10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + 10⁻¹² + …
Теперь возведём эту сумму в квадрат. Поскольку 999² = 998001, получаем:
1/998001 = (1/999)² = (10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + …)²
При возведении суммы в квадрат каждое слагаемое умножается на каждое (включая само себя). Посмотрим, сколько способов даёт каждый член:
- 10⁻⁶ получается 1 способом (10⁻³ × 10⁻³)
- 10⁻⁹ получается 2 способами
- 10⁻¹² получается 3 способами
- …
- 10⁻³ⁿ получается (n−1) способами.
В итоге:
1/998001 = 1·10⁻⁶ + 2·10⁻⁹ + 3·10⁻¹² + 4·10⁻¹⁵ + …
Каждый коэффициент 1, 2, 3, 4, … занимает ровно три десятичных разряда и формирует красивую последовательность: 0,000 001 002 003 004 … 997 999 000 001 …
Блок 998 в этой последовательности отсутствует. Причина -- переносы при переполнении.
↓
1/9 = 0,111111…
1/99 = 0,010101…
1/999 = 0,001001001…
Каждая из них является бесконечной геометрической прогрессией. Например:
1/999 = 10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + 10⁻¹² + …
Теперь возведём эту сумму в квадрат. Поскольку 999² = 998001, получаем:
1/998001 = (1/999)² = (10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + …)²
При возведении суммы в квадрат каждое слагаемое умножается на каждое (включая само себя). Посмотрим, сколько способов даёт каждый член:
- 10⁻⁶ получается 1 способом (10⁻³ × 10⁻³)
- 10⁻⁹ получается 2 способами
- 10⁻¹² получается 3 способами
- …
- 10⁻³ⁿ получается (n−1) способами.
В итоге:
1/998001 = 1·10⁻⁶ + 2·10⁻⁹ + 3·10⁻¹² + 4·10⁻¹⁵ + …
Каждый коэффициент 1, 2, 3, 4, … занимает ровно три десятичных разряда и формирует красивую последовательность: 0,000 001 002 003 004 … 997 999 000 001 …
Блок 998 в этой последовательности отсутствует. Причина -- переносы при переполнении.
↓
❤1
Когда коэффициент достигает 1000, он уже не помещается в трехзначный блок. Единица уходит в старший разряд, а в текущем остается 000. Эта единица прибавляется к предыдущему блоку (999), что снова вызывает переполнение. Цепная реакция переносов съедает значение 998, и вместо … 997 998 999 … мы видим … 997 998 999 000 … 997 999 000.
Этот механизм работает для блоков любой длины:
Двузначные блоки:
1/99² = 1/9801 = 0,00 01 02 … 96 97 99 00 01… (отсутствует 98)
Трехзначные блоки:
1/999² = 1/998001 (отсутствует 998)
Четырехзначные блоки:
1/9999² = 1/99980001 (отсутствует 9998)
↓
Этот механизм работает для блоков любой длины:
Двузначные блоки:
1/99² = 1/9801 = 0,00 01 02 … 96 97 99 00 01… (отсутствует 98)
Трехзначные блоки:
1/999² = 1/998001 (отсутствует 998)
Четырехзначные блоки:
1/9999² = 1/99980001 (отсутствует 9998)
↓
❤2
A Cornucopia of Quadrilaterals
Alsina C., Nelsen R.B. 2021
В 2021 году вышла монография Клауди Альсины и Роджера Нельсена о четырехугольниках, чья структура, по мнению авторов, так же сложна и разнообразна, как и у треугольников.
Книга из одиннадцати глав строится от базовых понятий к частным темам. В начале рассматриваются простые фигуры, теорема Вариньона, связь четырехугольников с окружностями и их диагонали. Значительная часть текста посвящена трапециям, включая виды Фибоначчи и Гарфилда, а также параллелограммам и прямоугольникам с особыми пропорциями. Отдельно разбираются свойства квадрата, нестандартные формы (вогнутые, косые, самопересекающиеся) и связь геометрии с теорией чисел через фигурные числа.
Каждая глава содержит задачи для практики, а ответы к ним собраны в конце издания.
#книга #геометрия
↓
Alsina C., Nelsen R.B. 2021
В 2021 году вышла монография Клауди Альсины и Роджера Нельсена о четырехугольниках, чья структура, по мнению авторов, так же сложна и разнообразна, как и у треугольников.
Книга из одиннадцати глав строится от базовых понятий к частным темам. В начале рассматриваются простые фигуры, теорема Вариньона, связь четырехугольников с окружностями и их диагонали. Значительная часть текста посвящена трапециям, включая виды Фибоначчи и Гарфилда, а также параллелограммам и прямоугольникам с особыми пропорциями. Отдельно разбираются свойства квадрата, нестандартные формы (вогнутые, косые, самопересекающиеся) и связь геометрии с теорией чисел через фигурные числа.
Каждая глава содержит задачи для практики, а ответы к ним собраны в конце издания.
#книга #геометрия
↓
✍1🥰1
2021 -- A Cornucopia of Quadrilaterals.djvu
6.9 MB
В целом получился не сухой учебник, а живой рассказ, где теоремы и формулы показывают красоту и логику геометрических форм.
#пдф
x x x
#пдф
x x x
❤1
The Classification of Quadrilaterals: A Study in Definition
Usiskin J., Griffin J. 2008
В 2008 году вышла книга Залмана Усискина и Дженнифер Гриффин о классификации четырехугольников, где основной акцент сделан на выборе четких определений разновидностей четурехугольников.
Авторы показывают, как формулировка меняет логику текста. Так, определение трапеции через "ровно одну" пару параллельных сторон разбивает фигуры на непересекающиеся классы, а вариант с "хотя бы одной" парой выстраивает иерархию, где параллелограмм становится частным случаем трапеции, а формулы приобретают более общий вид без дополнительных оговорок.
Проанализировав более ста учебников, исследователи выяснили, что подобные разногласия системны и затрагивают многие геометрические понятия, от воздушных змеев до многоугольников.
#книга #геометрия
↓
Usiskin J., Griffin J. 2008
В 2008 году вышла книга Залмана Усискина и Дженнифер Гриффин о классификации четырехугольников, где основной акцент сделан на выборе четких определений разновидностей четурехугольников.
Авторы показывают, как формулировка меняет логику текста. Так, определение трапеции через "ровно одну" пару параллельных сторон разбивает фигуры на непересекающиеся классы, а вариант с "хотя бы одной" парой выстраивает иерархию, где параллелограмм становится частным случаем трапеции, а формулы приобретают более общий вид без дополнительных оговорок.
Проанализировав более ста учебников, исследователи выяснили, что подобные разногласия системны и затрагивают многие геометрические понятия, от воздушных змеев до многоугольников.
#книга #геометрия
↓
🔥1