Результаты экспериментов
Эксперименты Лэнда показали, что глаз не просто суммирует фотоны. Для каждого из трех цветовых каналов (красного, зеленого, синего) мозг вычисляет относительную светлоту объекта по сравнению с другими объектами на сцене. Поэтому, даже если мы осветим красный квадрат избытком зеленого света, он все равно останется самым ярким (красным). Мозг зафиксирует эту сверхяркость и назначит квадрату красный цвет.
Эксперименты также показали, что эффект работает только в сценах со множеством цветов. Если наблюдатель видит только один цветной лоскут на черном фоне, постоянность цвета исчезает и мозг начнет путать цвета. Но как только появляется "Мондриан" (цветовая мозаика), мозг получает основу для сравнения. Он усредняет освещение по всей картине и вычитает его из общего освещения, вычисляя истинный коэффициент отражения поверхности.
———
В следующий рассмотрим алгоритм повышения контрастности цветных изображений, вытекающий из экспериментов Лэнда.
x x x
Эксперименты Лэнда показали, что глаз не просто суммирует фотоны. Для каждого из трех цветовых каналов (красного, зеленого, синего) мозг вычисляет относительную светлоту объекта по сравнению с другими объектами на сцене. Поэтому, даже если мы осветим красный квадрат избытком зеленого света, он все равно останется самым ярким (красным). Мозг зафиксирует эту сверхяркость и назначит квадрату красный цвет.
Эксперименты также показали, что эффект работает только в сценах со множеством цветов. Если наблюдатель видит только один цветной лоскут на черном фоне, постоянность цвета исчезает и мозг начнет путать цвета. Но как только появляется "Мондриан" (цветовая мозаика), мозг получает основу для сравнения. Он усредняет освещение по всей картине и вычитает его из общего освещения, вычисляя истинный коэффициент отражения поверхности.
———
В следующий рассмотрим алгоритм повышения контрастности цветных изображений, вытекающий из экспериментов Лэнда.
x x x
❤1💯1
Иерархия цветовых терминов по Берлину и Кею
Продолжим наш цветовой марафон и сегодня поговорим про базовые цветовые термины и их иерархию.
#цвет
В 1969 году два исследователя Брент Берлин (B. Berlin) и Пол Кей (P. Kay) провели эксперимент. Они опросили 20 человек, говорящих на 20 разных языках, и проанализировали словари еще 78 языков, то есть использовали лингвистическую выборку из 98 языков.
Авторов интересовали названия цветов.
Суть исследования заключалась в том, чтобы
↓
Продолжим наш цветовой марафон и сегодня поговорим про базовые цветовые термины и их иерархию.
#цвет
В 1969 году два исследователя Брент Берлин (B. Berlin) и Пол Кей (P. Kay) провели эксперимент. Они опросили 20 человек, говорящих на 20 разных языках, и проанализировали словари еще 78 языков, то есть использовали лингвистическую выборку из 98 языков.
Авторов интересовали названия цветов.
Суть исследования заключалась в том, чтобы
Проверить, как люди из разных культур классифицируют цвета, и выяснить, существуют ли универсальные названия каждого цвета.
↓
👍2
Иерархия базовых цветов
Анализа названий цветов показал закономерность. Если в языке есть всего два цвета, то это черный и белый. Если появляется третий, то это обязательно красный. Следующим идет синий. И так далее
Уровень 2. Красный.
Уровень 3. Зеленый или желтый.
Уровень 4. Есть и зеленый и желтый.
Уровень 5. Синий.
Уровень 6. Коричневый.
Уровень 7. Фиолетовый, розовый, оранжевый и серый.
Русский язык добавляет восьмой уровень, так как в нем есть голубой цвет, который, к примеру, отсутствует в английском.
Уровень 8. Голубой.
Анализа названий цветов показал закономерность. Если в языке есть всего два цвета, то это черный и белый. Если появляется третий, то это обязательно красный. Следующим идет синий. И так далее
Авторы выстроили иерархическую систему базовых цветовУровень 1. Черный (темный, холодный) и белый (светлый, теплый).
Уровень 2. Красный.
Уровень 3. Зеленый или желтый.
Уровень 4. Есть и зеленый и желтый.
Уровень 5. Синий.
Уровень 6. Коричневый.
Уровень 7. Фиолетовый, розовый, оранжевый и серый.
Русский язык добавляет восьмой уровень, так как в нем есть голубой цвет, который, к примеру, отсутствует в английском.
Уровень 8. Голубой.
Если в языке есть цвета из уровня с бóльшим номером, то обязательно будут все цвета из меньших уровней.↓
❤1
Выводы
До эксперимента Берлина и Кея считалось, что названия цветов в разных культурах абсолютно произвольны и зависят лишь от среды обитания.
Развитие языка идет не случайным образом, а по эволюционной лестнице: от простого к сложному. Язык не может перепрыгнуть ступень. Так, в нем не появится название для синего или коричневого цвета, если нет слова для красного.
Поскольку иерархия универсальна для культур, изолированных друг от друга, ученые сделали вывод:
Эксперимент показал разницу между фундаментальными цветовыми категориями (белый, черный, красный) и оттенками (коралловый, болотный, светло-синий).
↓
До эксперимента Берлина и Кея считалось, что названия цветов в разных культурах абсолютно произвольны и зависят лишь от среды обитания.
Авторы доказали, что цветовой словарь не хаотичен, а подчиняется строгим законам, общим для всего человечества.
Развитие языка идет не случайным образом, а по эволюционной лестнице: от простого к сложному. Язык не может перепрыгнуть ступень. Так, в нем не появится название для синего или коричневого цвета, если нет слова для красного.
Поскольку иерархия универсальна для культур, изолированных друг от друга, ученые сделали вывод:
Порядок появления названий цветов продиктован не столько культурой, сколько нейробиологией — устройством нашей зрительной системы и тем, как мозг обрабатывает информацию о спектре.
Эксперимент показал разницу между фундаментальными цветовыми категориями (белый, черный, красный) и оттенками (коралловый, болотный, светло-синий).
Базовые цвета лингвистически первичны, а оттенки формируются позже как производные от них.
↓
❤1
Кстати, лингвистическая теория Берлина и Кея связаны с психофизиологической теорией восприятия цвета Бойтона.
Бойтон доказал, что 11 цветов, которые мы легко отличаем — это не результат обучения, а врожденное свойство зрительной системы, опирающееся на колбочки сетчатки и нейронные пути. Это объясняет строгую цветовую иерархию Берлина и Кея.
Наличие русского голубого (12-й цвет) лишь доказывает, что аппаратная часть человека позволяет различать больше категорий, чем 11, но 11 — это тот универсальный минимум, на котором большинство культур останавливается, так как дальнейшее дробление уже не дает критических преимуществ для выживания.
↓
Берлин и Кай открыли то, как люди называют цвета в разных языках, а Бойтон объяснил почему они называют их именно так.
Бойтон доказал, что 11 цветов, которые мы легко отличаем — это не результат обучения, а врожденное свойство зрительной системы, опирающееся на колбочки сетчатки и нейронные пути. Это объясняет строгую цветовую иерархию Берлина и Кея.
Наличие русского голубого (12-й цвет) лишь доказывает, что аппаратная часть человека позволяет различать больше категорий, чем 11, но 11 — это тот универсальный минимум, на котором большинство культур останавливается, так как дальнейшее дробление уже не дает критических преимуществ для выживания.
↓
❤1
Строим эквидистанту кривой Безье.
2. Простой геометрический метод Тиллера-Хансона.
Продолжаем строить параллельные кривые (эквидистанты) кривой Безье. В первой части мы рассмотрели сложный алгебраический метод.
#геометрия #эквидистанта #кривая_безье
Сегодня рассмотрим простой геометрический способ, предложенный Тиллером и Хансеном в 1984 году. Все детали даны в заметке в ВК.
https://vk.com/wall-186208863_69675
Ниже прикрепил пдф оригинальной статьи Тиллера и Хансена.
↓
2. Простой геометрический метод Тиллера-Хансона.
Продолжаем строить параллельные кривые (эквидистанты) кривой Безье. В первой части мы рассмотрели сложный алгебраический метод.
#геометрия #эквидистанта #кривая_безье
Сегодня рассмотрим простой геометрический способ, предложенный Тиллером и Хансеном в 1984 году. Все детали даны в заметке в ВК.
https://vk.com/wall-186208863_69675
Ниже прикрепил пдф оригинальной статьи Тиллера и Хансена.
↓
👌2
Tiller_&_Hansen_1984_Offsets_of_two_dimensional_profiles.pdf
1.8 MB
Tiller W., Hansen E. (1984)
Offsets of two-dimensional profiles
https://doi.org/10.1109/MCG.1984.275995
#пдф
x x x
Offsets of two-dimensional profiles
https://doi.org/10.1109/MCG.1984.275995
#пдф
x x x
❤2
Джеримандер или геометрия (справедливых) выборов
Сегодня погрузимся в простую математику непростого события — в выборы в конгресс США.
Предупреждение: ситуация немного упрощена и частично выдумана.
———
Система выборов в США имеет многоуровневую структуру. И эта сложность позволяет видоизменять результаты выборов в конгресс в ту или иную сторону.
В США две основные партии и 50 штатов. Избиратели каждого штата выбирают конгрессменов. Причем количество конгрессменов в каждом штате пропорционально населению штата. Всего в США избирается 435 конгрессменов.
Штат → Конгрессмены
Конгрессмен выбирается не от штата целиком, а от его кусочка — от округа. То есть штат делится на округа, и в каждом округе может победить только один конгрессмен, представляющий одну из двух партий. Побеждает конгрессмен, набравший больше всего голосов избирателей в округе.
Штат → Округа → Конгрессмены
И вот тут начинается самое интересное.
#прикладная_матемктика
↓
Сегодня погрузимся в простую математику непростого события — в выборы в конгресс США.
Предупреждение: ситуация немного упрощена и частично выдумана.
———
Система выборов в США имеет многоуровневую структуру. И эта сложность позволяет видоизменять результаты выборов в конгресс в ту или иную сторону.
В США две основные партии и 50 штатов. Избиратели каждого штата выбирают конгрессменов. Причем количество конгрессменов в каждом штате пропорционально населению штата. Всего в США избирается 435 конгрессменов.
Штат → Конгрессмены
Конгрессмен выбирается не от штата целиком, а от его кусочка — от округа. То есть штат делится на округа, и в каждом округе может победить только один конгрессмен, представляющий одну из двух партий. Побеждает конгрессмен, набравший больше всего голосов избирателей в округе.
Штат → Округа → Конгрессмены
И вот тут начинается самое интересное.
#прикладная_матемктика
↓
❤1
(Картинка Скотта Мартина для журнала "Кванта")
Округа — это не постоянные географические единицы. Их границы пересматриваются и меняются раз в десять лет по решению местного парламента, который обычно контролируется одной из партий. Поэтому, от того, как будут проведены границы округов, зависит результаты последующих выборов в конгресс.
Граница округов → Результаты выборов.
Вот как это работает.
↓
Округа — это не постоянные географические единицы. Их границы пересматриваются и меняются раз в десять лет по решению местного парламента, который обычно контролируется одной из партий. Поэтому, от того, как будут проведены границы округов, зависит результаты последующих выборов в конгресс.
Граница округов → Результаты выборов.
Вот как это работает.
↓
❤1
(Картинка из издания "Вашингтон пост")
Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно.
Предыдущие выборы показали, что обычно каждая тысяча человек, проживающая в компактном районе, голосует строго за представителя одной партии. И в целом 20 тыс. (40%) голосуют за красных, а 30 тыс. (60%) — за синих.
Если мы нарежем округа справедливо — вдоль, так, чтобы в каждый округ входили только группы избирателей, поддерживающие строго одну партию, то выборы покажут правильный результат: победят 2 красных и 3 синих конгрессмена.
↓
Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно.
Предыдущие выборы показали, что обычно каждая тысяча человек, проживающая в компактном районе, голосует строго за представителя одной партии. И в целом 20 тыс. (40%) голосуют за красных, а 30 тыс. (60%) — за синих.
Если мы нарежем округа справедливо — вдоль, так, чтобы в каждый округ входили только группы избирателей, поддерживающие строго одну партию, то выборы покажут правильный результат: победят 2 красных и 3 синих конгрессмена.
↓
❤1
А вот если мы проведем границы округов по-другому, на картинке — поперек, то ситуация поменяется. Хотя число округов и число избирателей в каждом округе осталось прежним, но теперь в каждом округе большинство набирает синий кандидат. И в итоге от штата в конгресс проходят 5 синих кандидатов!
Но это еще не все. Сделаем границы округов более вычурными. Опять же, число жителей в каждом округе осталось прежним, но теперь подсчет показывает, что в конгресс проходят 3 красных и 2 синих кандидата!
------
Первоначальный справедливый баланс 2 красных + 3 синих кандидатов мы изменили в две противоположные стороны:
0 красных + 5 синих либо
3 красных + 2 синих,
всего лишь поменяв расположение границ округов!
↓
Но это еще не все. Сделаем границы округов более вычурными. Опять же, число жителей в каждом округе осталось прежним, но теперь подсчет показывает, что в конгресс проходят 3 красных и 2 синих кандидата!
------
Первоначальный справедливый баланс 2 красных + 3 синих кандидатов мы изменили в две противоположные стороны:
0 красных + 5 синих либо
3 красных + 2 синих,
всего лишь поменяв расположение границ округов!
↓
🔥2❤1
Термин "джеримандер" (gerrymander) произошел от имени губернатора штата Массачусетс Элбриджа Джерри (Gerry) и слова "salamander" (саламандра).
В 1812 году губернатор использовал описанный способ нарезки границ округов так, что в штате победила Демократическо-республиканская партия, хотя по числу голосовавших она должна была проиграть. На карте один из таких округов приобрел причудливую форму мифической саламандры, откуда и произошло название термина.
x x x
В 1812 году губернатор использовал описанный способ нарезки границ округов так, что в штате победила Демократическо-республиканская партия, хотя по числу голосовавших она должна была проиграть. На карте один из таких округов приобрел причудливую форму мифической саламандры, откуда и произошло название термина.
x x x
👏2❤1😁1
Математический рок-н-ролл
(Картинка из издания "Вашингтон пост") Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно. Предыдущие выборы показали…
О голосовании в стране Анчурия.
Аналогичная задача о голосовании была опубликована в июльском номере "Кванта" за 1970 год.
В ней предлагалось рассмотреть организацию многоступенчатых выборов, которые позволили бы действующему президенту одержать победу на выборах при условии, что из 20 миллионов жителей его поддерживает лишь 0,2 миллиона (1%).
В том же номере был дан подробный ответ.
Почитать.
#прикладная_математика
x x x
Аналогичная задача о голосовании была опубликована в июльском номере "Кванта" за 1970 год.
В ней предлагалось рассмотреть организацию многоступенчатых выборов, которые позволили бы действующему президенту одержать победу на выборах при условии, что из 20 миллионов жителей его поддерживает лишь 0,2 миллиона (1%).
В том же номере был дан подробный ответ.
Почитать.
#прикладная_математика
x x x
❤1🫡1
Forwarded from Дмитрий Перетолчин — «Картина Мира»
«Как я уже говорил, я довольно хорошо, для непрофессионала, знаю естественные науки. Несколько областей физики, несколько областей биологии, химии, немного геологии и палеонтологии. Кроме того, я серьезно интересовался искусственным интеллектом и семантикой языков. В 1997-1999 годах я прочел много современных книг, авторы которых пытались создать как бы научную философию, т.е. из существующих научных теорий скомбинировать общую картину нашего мира. Я особенно хорошо помню книгу Эдуарда Вилсона (Edvard Wilson) "Consilience" (не знаю, как это на русском). Как математик я очень чувствителен к "дыркам" в аргументах, к тем местам, где вывод не следует формально из предпосылок, а что называется, притянут за уши. Так вот, прочитав все эти книги, я убедился, что те, кто говорит, что современная наука объясняет наш мир, неправы. Да, некоторые науки очень успешно и точно объясняют отдельные группы явлений. Но в полную картину мира эти объяснения никоим образом не "склеиваются". Больше того некоторые так называемые научные объяснения являются по сути, не побоюсь этого слова, профанацией. Наиболее важным примером такой ситуации является дарвинизм. Спору нет, биосфера земли развивалась и развивается, и процессы естественного отбора, и случайных мутаций играют в этом развитии определенную роль. Но они никоим образом не объясняют это развитие. Замечу кстати, что сейчас это постепенно начинает обсуждаться серьезными биологами, но еще десять лет назад, в Америке, биолог, высказав такую точку зрения, мог серьезно испортить себе карьеру. […] наукой я может быть иногда и занимаюсь, но дело не в этом. Наука должна заниматься сбором и осмыслением нового знания. Это очень важно - сбором. Есть такая точка зрения, что, мол, все наблюдения в основном уже сделаны, общая картина мира ясна, и осталось только эти знания упорядочить, и уложить в компактную и красивую теорию. Это принципиально неверно. И не просто неверно, а ведет к очень негативной тенденции игнорировать все то, что не укладывается в заранее готовую теорию или гипотезу. Это одна из самых серьезных проблем в современной науке». (часть 1)
математик, лауреат Филсовской медали Владимир Воеводский
https://baaltii1.livejournal.com/198675.html
https://baaltii1.livejournal.com/200269.html
математик, лауреат Филсовской медали Владимир Воеводский
https://baaltii1.livejournal.com/198675.html
https://baaltii1.livejournal.com/200269.html
🆒1
Целочисленные последовательности в десятичных дробях
Десятичное разложение рациональных чисел таит в себе неожиданные структурные закономерности. Одна из наиболее красивых связана с дробями, знаменатели которых являются квадратами репдигитов -- чисел, состоящих исключительно из девяток (9, 99, 999, …).
При делении единицы на такие квадраты возникают периодические дроби, в которых после запятой выстраиваются строгие последовательности целых чисел в блоках фиксированной длины.
#числа
↓
Десятичное разложение рациональных чисел таит в себе неожиданные структурные закономерности. Одна из наиболее красивых связана с дробями, знаменатели которых являются квадратами репдигитов -- чисел, состоящих исключительно из девяток (9, 99, 999, …).
При делении единицы на такие квадраты возникают периодические дроби, в которых после запятой выстраиваются строгие последовательности целых чисел в блоках фиксированной длины.
#числа
↓
Так, если разделить 1 на 999² = 998001, мы получим последовательность трёхзначных блоков, каждый из которых содержит числа от 000 до 999, кроме 998.
1/998001 = 0,
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 ... 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 999 ...
Алгебраический механизм этого феномена очень изящен.
↓
1/998001 = 0,
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 ... 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 999 ...
Алгебраический механизм этого феномена очень изящен.
↓
❤3✍2
Рассмотрим сначала базовые дроби:
1/9 = 0,111111…
1/99 = 0,010101…
1/999 = 0,001001001…
Каждая из них является бесконечной геометрической прогрессией. Например:
1/999 = 10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + 10⁻¹² + …
Теперь возведём эту сумму в квадрат. Поскольку 999² = 998001, получаем:
1/998001 = (1/999)² = (10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + …)²
При возведении суммы в квадрат каждое слагаемое умножается на каждое (включая само себя). Посмотрим, сколько способов даёт каждый член:
- 10⁻⁶ получается 1 способом (10⁻³ × 10⁻³)
- 10⁻⁹ получается 2 способами
- 10⁻¹² получается 3 способами
- …
- 10⁻³ⁿ получается (n−1) способами.
В итоге:
1/998001 = 1·10⁻⁶ + 2·10⁻⁹ + 3·10⁻¹² + 4·10⁻¹⁵ + …
Каждый коэффициент 1, 2, 3, 4, … занимает ровно три десятичных разряда и формирует красивую последовательность: 0,000 001 002 003 004 … 997 999 000 001 …
Блок 998 в этой последовательности отсутствует. Причина -- переносы при переполнении.
↓
1/9 = 0,111111…
1/99 = 0,010101…
1/999 = 0,001001001…
Каждая из них является бесконечной геометрической прогрессией. Например:
1/999 = 10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + 10⁻¹² + …
Теперь возведём эту сумму в квадрат. Поскольку 999² = 998001, получаем:
1/998001 = (1/999)² = (10⁻³ + 10⁻⁶ + 10⁻⁹ + …)²
При возведении суммы в квадрат каждое слагаемое умножается на каждое (включая само себя). Посмотрим, сколько способов даёт каждый член:
- 10⁻⁶ получается 1 способом (10⁻³ × 10⁻³)
- 10⁻⁹ получается 2 способами
- 10⁻¹² получается 3 способами
- …
- 10⁻³ⁿ получается (n−1) способами.
В итоге:
1/998001 = 1·10⁻⁶ + 2·10⁻⁹ + 3·10⁻¹² + 4·10⁻¹⁵ + …
Каждый коэффициент 1, 2, 3, 4, … занимает ровно три десятичных разряда и формирует красивую последовательность: 0,000 001 002 003 004 … 997 999 000 001 …
Блок 998 в этой последовательности отсутствует. Причина -- переносы при переполнении.
↓
❤1