— Ну и где же здесь математика? — спросите вы. — Ведь это математический блог.
Она содержится в теории ретинекса, которая объясняет, почему мы видим разные цвета там, где их нет.
Но об этом поговорим в другой раз.
x x x
Она содержится в теории ретинекса, которая объясняет, почему мы видим разные цвета там, где их нет.
Но об этом поговорим в другой раз.
x x x
❤2
Теория ретинекса
Сегодня поговорим об экспериментах с цветовой мозаикой, которые пытаются объяснить нашу способность видеть одинаковы цвета там, где их нет.
Термин ретинекс был придуман Эдвином Лэндом, основателем компании "Полароид". Он образован слиянием слов сетчатка (retina) и кора мозга (cortex), что подчеркивает участие в процессе как глаз, так и мозга.
Лэнд предположил, что в нашей зрительной системе работают три независимых модуля (для коротких, средних и длинных волн), каждый из которых формирует свое "черно-белое" изображение яркости. А цвет получается за счет сравнения этих трех карт яркости мозгом.
#цвет
↓
Сегодня поговорим об экспериментах с цветовой мозаикой, которые пытаются объяснить нашу способность видеть одинаковы цвета там, где их нет.
Теория ретинекса (retinex theory) -- это концепция цветового зрения, которая объясняет, каким образом наш мозг воспринимает цвета объектов независимо от освещения.
Термин ретинекс был придуман Эдвином Лэндом, основателем компании "Полароид". Он образован слиянием слов сетчатка (retina) и кора мозга (cortex), что подчеркивает участие в процессе как глаз, так и мозга.
Лэнд предположил, что в нашей зрительной системе работают три независимых модуля (для коротких, средних и длинных волн), каждый из которых формирует свое "черно-белое" изображение яркости. А цвет получается за счет сравнения этих трех карт яркости мозгом.
#цвет
↓
❤2
Мондрианы
Для доказательства гипотезы о том, что наше цветовосприятие работает именно так, Лэнд использовал абстрактные цветовые коллажи, которые он назвал "Мондрианами", в честь художника-абстракциониста Пита Мондриана.
———-
На картинке (↑) изображены котики в стиле Пита Мондриана. Лэнд котиков не рисовал, но его мондрианы выглядели похоже.
↓
Для доказательства гипотезы о том, что наше цветовосприятие работает именно так, Лэнд использовал абстрактные цветовые коллажи, которые он назвал "Мондрианами", в честь художника-абстракциониста Пита Мондриана.
———-
На картинке (↑) изображены котики в стиле Пита Мондриана. Лэнд котиков не рисовал, но его мондрианы выглядели похоже.
↓
❤1
Эксперимент
Во время эксперимента цветной коллаж освещался тремя прожекторами с разными цветофильтрами: красным (длинные волны), зеленым (средние) и синим (короткие). Интенсивность света каждого прожектора можно было регулировать.
Лэнд выбрал зеленый прямоугольник и измерил фотометром количество красного, зеленого и синего света, который он отразил. Затем он осветил красный прямоугольник, изменив яркость прожекторов так, чтобы красный участок отражал ровно ту же смесь длин волн, которую отражал зеленый.
С точки зрения спектрального состава света, глаз получал зеленый сигнал от красного участка бумаги. И Лэнд ожидал, что наблюдатель увидит именно зеленый цвет вместо красного. Несмотря на это, наблюдатель все равно видел его зеленым, потому что мозг учитывал контекст всей картины.
Повторение опытов с другими цветами показало то же самое.
↓
Во время эксперимента цветной коллаж освещался тремя прожекторами с разными цветофильтрами: красным (длинные волны), зеленым (средние) и синим (короткие). Интенсивность света каждого прожектора можно было регулировать.
Лэнд выбрал зеленый прямоугольник и измерил фотометром количество красного, зеленого и синего света, который он отразил. Затем он осветил красный прямоугольник, изменив яркость прожекторов так, чтобы красный участок отражал ровно ту же смесь длин волн, которую отражал зеленый.
С точки зрения спектрального состава света, глаз получал зеленый сигнал от красного участка бумаги. И Лэнд ожидал, что наблюдатель увидит именно зеленый цвет вместо красного. Несмотря на это, наблюдатель все равно видел его зеленым, потому что мозг учитывал контекст всей картины.
Повторение опытов с другими цветами показало то же самое.
↓
❤1
Результаты экспериментов
Эксперименты Лэнда показали, что глаз не просто суммирует фотоны. Для каждого из трех цветовых каналов (красного, зеленого, синего) мозг вычисляет относительную светлоту объекта по сравнению с другими объектами на сцене. Поэтому, даже если мы осветим красный квадрат избытком зеленого света, он все равно останется самым ярким (красным). Мозг зафиксирует эту сверхяркость и назначит квадрату красный цвет.
Эксперименты также показали, что эффект работает только в сценах со множеством цветов. Если наблюдатель видит только один цветной лоскут на черном фоне, постоянность цвета исчезает и мозг начнет путать цвета. Но как только появляется "Мондриан" (цветовая мозаика), мозг получает основу для сравнения. Он усредняет освещение по всей картине и вычитает его из общего освещения, вычисляя истинный коэффициент отражения поверхности.
———
В следующий рассмотрим алгоритм повышения контрастности цветных изображений, вытекающий из экспериментов Лэнда.
x x x
Эксперименты Лэнда показали, что глаз не просто суммирует фотоны. Для каждого из трех цветовых каналов (красного, зеленого, синего) мозг вычисляет относительную светлоту объекта по сравнению с другими объектами на сцене. Поэтому, даже если мы осветим красный квадрат избытком зеленого света, он все равно останется самым ярким (красным). Мозг зафиксирует эту сверхяркость и назначит квадрату красный цвет.
Эксперименты также показали, что эффект работает только в сценах со множеством цветов. Если наблюдатель видит только один цветной лоскут на черном фоне, постоянность цвета исчезает и мозг начнет путать цвета. Но как только появляется "Мондриан" (цветовая мозаика), мозг получает основу для сравнения. Он усредняет освещение по всей картине и вычитает его из общего освещения, вычисляя истинный коэффициент отражения поверхности.
———
В следующий рассмотрим алгоритм повышения контрастности цветных изображений, вытекающий из экспериментов Лэнда.
x x x
❤1💯1
Иерархия цветовых терминов по Берлину и Кею
Продолжим наш цветовой марафон и сегодня поговорим про базовые цветовые термины и их иерархию.
#цвет
В 1969 году два исследователя Брент Берлин (B. Berlin) и Пол Кей (P. Kay) провели эксперимент. Они опросили 20 человек, говорящих на 20 разных языках, и проанализировали словари еще 78 языков, то есть использовали лингвистическую выборку из 98 языков.
Авторов интересовали названия цветов.
Суть исследования заключалась в том, чтобы
↓
Продолжим наш цветовой марафон и сегодня поговорим про базовые цветовые термины и их иерархию.
#цвет
В 1969 году два исследователя Брент Берлин (B. Berlin) и Пол Кей (P. Kay) провели эксперимент. Они опросили 20 человек, говорящих на 20 разных языках, и проанализировали словари еще 78 языков, то есть использовали лингвистическую выборку из 98 языков.
Авторов интересовали названия цветов.
Суть исследования заключалась в том, чтобы
Проверить, как люди из разных культур классифицируют цвета, и выяснить, существуют ли универсальные названия каждого цвета.
↓
👍2
Иерархия базовых цветов
Анализа названий цветов показал закономерность. Если в языке есть всего два цвета, то это черный и белый. Если появляется третий, то это обязательно красный. Следующим идет синий. И так далее
Уровень 2. Красный.
Уровень 3. Зеленый или желтый.
Уровень 4. Есть и зеленый и желтый.
Уровень 5. Синий.
Уровень 6. Коричневый.
Уровень 7. Фиолетовый, розовый, оранжевый и серый.
Русский язык добавляет восьмой уровень, так как в нем есть голубой цвет, который, к примеру, отсутствует в английском.
Уровень 8. Голубой.
Анализа названий цветов показал закономерность. Если в языке есть всего два цвета, то это черный и белый. Если появляется третий, то это обязательно красный. Следующим идет синий. И так далее
Авторы выстроили иерархическую систему базовых цветовУровень 1. Черный (темный, холодный) и белый (светлый, теплый).
Уровень 2. Красный.
Уровень 3. Зеленый или желтый.
Уровень 4. Есть и зеленый и желтый.
Уровень 5. Синий.
Уровень 6. Коричневый.
Уровень 7. Фиолетовый, розовый, оранжевый и серый.
Русский язык добавляет восьмой уровень, так как в нем есть голубой цвет, который, к примеру, отсутствует в английском.
Уровень 8. Голубой.
Если в языке есть цвета из уровня с бóльшим номером, то обязательно будут все цвета из меньших уровней.↓
❤1
Выводы
До эксперимента Берлина и Кея считалось, что названия цветов в разных культурах абсолютно произвольны и зависят лишь от среды обитания.
Развитие языка идет не случайным образом, а по эволюционной лестнице: от простого к сложному. Язык не может перепрыгнуть ступень. Так, в нем не появится название для синего или коричневого цвета, если нет слова для красного.
Поскольку иерархия универсальна для культур, изолированных друг от друга, ученые сделали вывод:
Эксперимент показал разницу между фундаментальными цветовыми категориями (белый, черный, красный) и оттенками (коралловый, болотный, светло-синий).
↓
До эксперимента Берлина и Кея считалось, что названия цветов в разных культурах абсолютно произвольны и зависят лишь от среды обитания.
Авторы доказали, что цветовой словарь не хаотичен, а подчиняется строгим законам, общим для всего человечества.
Развитие языка идет не случайным образом, а по эволюционной лестнице: от простого к сложному. Язык не может перепрыгнуть ступень. Так, в нем не появится название для синего или коричневого цвета, если нет слова для красного.
Поскольку иерархия универсальна для культур, изолированных друг от друга, ученые сделали вывод:
Порядок появления названий цветов продиктован не столько культурой, сколько нейробиологией — устройством нашей зрительной системы и тем, как мозг обрабатывает информацию о спектре.
Эксперимент показал разницу между фундаментальными цветовыми категориями (белый, черный, красный) и оттенками (коралловый, болотный, светло-синий).
Базовые цвета лингвистически первичны, а оттенки формируются позже как производные от них.
↓
❤1
Кстати, лингвистическая теория Берлина и Кея связаны с психофизиологической теорией восприятия цвета Бойтона.
Бойтон доказал, что 11 цветов, которые мы легко отличаем — это не результат обучения, а врожденное свойство зрительной системы, опирающееся на колбочки сетчатки и нейронные пути. Это объясняет строгую цветовую иерархию Берлина и Кея.
Наличие русского голубого (12-й цвет) лишь доказывает, что аппаратная часть человека позволяет различать больше категорий, чем 11, но 11 — это тот универсальный минимум, на котором большинство культур останавливается, так как дальнейшее дробление уже не дает критических преимуществ для выживания.
↓
Берлин и Кай открыли то, как люди называют цвета в разных языках, а Бойтон объяснил почему они называют их именно так.
Бойтон доказал, что 11 цветов, которые мы легко отличаем — это не результат обучения, а врожденное свойство зрительной системы, опирающееся на колбочки сетчатки и нейронные пути. Это объясняет строгую цветовую иерархию Берлина и Кея.
Наличие русского голубого (12-й цвет) лишь доказывает, что аппаратная часть человека позволяет различать больше категорий, чем 11, но 11 — это тот универсальный минимум, на котором большинство культур останавливается, так как дальнейшее дробление уже не дает критических преимуществ для выживания.
↓
❤1
Строим эквидистанту кривой Безье.
2. Простой геометрический метод Тиллера-Хансона.
Продолжаем строить параллельные кривые (эквидистанты) кривой Безье. В первой части мы рассмотрели сложный алгебраический метод.
#геометрия #эквидистанта #кривая_безье
Сегодня рассмотрим простой геометрический способ, предложенный Тиллером и Хансеном в 1984 году. Все детали даны в заметке в ВК.
https://vk.com/wall-186208863_69675
Ниже прикрепил пдф оригинальной статьи Тиллера и Хансена.
↓
2. Простой геометрический метод Тиллера-Хансона.
Продолжаем строить параллельные кривые (эквидистанты) кривой Безье. В первой части мы рассмотрели сложный алгебраический метод.
#геометрия #эквидистанта #кривая_безье
Сегодня рассмотрим простой геометрический способ, предложенный Тиллером и Хансеном в 1984 году. Все детали даны в заметке в ВК.
https://vk.com/wall-186208863_69675
Ниже прикрепил пдф оригинальной статьи Тиллера и Хансена.
↓
👌2
Tiller_&_Hansen_1984_Offsets_of_two_dimensional_profiles.pdf
1.8 MB
Tiller W., Hansen E. (1984)
Offsets of two-dimensional profiles
https://doi.org/10.1109/MCG.1984.275995
#пдф
x x x
Offsets of two-dimensional profiles
https://doi.org/10.1109/MCG.1984.275995
#пдф
x x x
❤2
Джеримандер или геометрия (справедливых) выборов
Сегодня погрузимся в простую математику непростого события — в выборы в конгресс США.
Предупреждение: ситуация немного упрощена и частично выдумана.
———
Система выборов в США имеет многоуровневую структуру. И эта сложность позволяет видоизменять результаты выборов в конгресс в ту или иную сторону.
В США две основные партии и 50 штатов. Избиратели каждого штата выбирают конгрессменов. Причем количество конгрессменов в каждом штате пропорционально населению штата. Всего в США избирается 435 конгрессменов.
Штат → Конгрессмены
Конгрессмен выбирается не от штата целиком, а от его кусочка — от округа. То есть штат делится на округа, и в каждом округе может победить только один конгрессмен, представляющий одну из двух партий. Побеждает конгрессмен, набравший больше всего голосов избирателей в округе.
Штат → Округа → Конгрессмены
И вот тут начинается самое интересное.
#прикладная_матемктика
↓
Сегодня погрузимся в простую математику непростого события — в выборы в конгресс США.
Предупреждение: ситуация немного упрощена и частично выдумана.
———
Система выборов в США имеет многоуровневую структуру. И эта сложность позволяет видоизменять результаты выборов в конгресс в ту или иную сторону.
В США две основные партии и 50 штатов. Избиратели каждого штата выбирают конгрессменов. Причем количество конгрессменов в каждом штате пропорционально населению штата. Всего в США избирается 435 конгрессменов.
Штат → Конгрессмены
Конгрессмен выбирается не от штата целиком, а от его кусочка — от округа. То есть штат делится на округа, и в каждом округе может победить только один конгрессмен, представляющий одну из двух партий. Побеждает конгрессмен, набравший больше всего голосов избирателей в округе.
Штат → Округа → Конгрессмены
И вот тут начинается самое интересное.
#прикладная_матемктика
↓
❤1
(Картинка Скотта Мартина для журнала "Кванта")
Округа — это не постоянные географические единицы. Их границы пересматриваются и меняются раз в десять лет по решению местного парламента, который обычно контролируется одной из партий. Поэтому, от того, как будут проведены границы округов, зависит результаты последующих выборов в конгресс.
Граница округов → Результаты выборов.
Вот как это работает.
↓
Округа — это не постоянные географические единицы. Их границы пересматриваются и меняются раз в десять лет по решению местного парламента, который обычно контролируется одной из партий. Поэтому, от того, как будут проведены границы округов, зависит результаты последующих выборов в конгресс.
Граница округов → Результаты выборов.
Вот как это работает.
↓
❤1
(Картинка из издания "Вашингтон пост")
Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно.
Предыдущие выборы показали, что обычно каждая тысяча человек, проживающая в компактном районе, голосует строго за представителя одной партии. И в целом 20 тыс. (40%) голосуют за красных, а 30 тыс. (60%) — за синих.
Если мы нарежем округа справедливо — вдоль, так, чтобы в каждый округ входили только группы избирателей, поддерживающие строго одну партию, то выборы покажут правильный результат: победят 2 красных и 3 синих конгрессмена.
↓
Допустим, что штат выбирает 5 конгрессменов от красной и синей партий. То есть штат разделен на 5 округов. Всего в штате живет 50 тысяч человек, которые голосуют достаточно консервативно.
Предыдущие выборы показали, что обычно каждая тысяча человек, проживающая в компактном районе, голосует строго за представителя одной партии. И в целом 20 тыс. (40%) голосуют за красных, а 30 тыс. (60%) — за синих.
Если мы нарежем округа справедливо — вдоль, так, чтобы в каждый округ входили только группы избирателей, поддерживающие строго одну партию, то выборы покажут правильный результат: победят 2 красных и 3 синих конгрессмена.
↓
❤1
А вот если мы проведем границы округов по-другому, на картинке — поперек, то ситуация поменяется. Хотя число округов и число избирателей в каждом округе осталось прежним, но теперь в каждом округе большинство набирает синий кандидат. И в итоге от штата в конгресс проходят 5 синих кандидатов!
Но это еще не все. Сделаем границы округов более вычурными. Опять же, число жителей в каждом округе осталось прежним, но теперь подсчет показывает, что в конгресс проходят 3 красных и 2 синих кандидата!
------
Первоначальный справедливый баланс 2 красных + 3 синих кандидатов мы изменили в две противоположные стороны:
0 красных + 5 синих либо
3 красных + 2 синих,
всего лишь поменяв расположение границ округов!
↓
Но это еще не все. Сделаем границы округов более вычурными. Опять же, число жителей в каждом округе осталось прежним, но теперь подсчет показывает, что в конгресс проходят 3 красных и 2 синих кандидата!
------
Первоначальный справедливый баланс 2 красных + 3 синих кандидатов мы изменили в две противоположные стороны:
0 красных + 5 синих либо
3 красных + 2 синих,
всего лишь поменяв расположение границ округов!
↓
🔥2❤1
Термин "джеримандер" (gerrymander) произошел от имени губернатора штата Массачусетс Элбриджа Джерри (Gerry) и слова "salamander" (саламандра).
В 1812 году губернатор использовал описанный способ нарезки границ округов так, что в штате победила Демократическо-республиканская партия, хотя по числу голосовавших она должна была проиграть. На карте один из таких округов приобрел причудливую форму мифической саламандры, откуда и произошло название термина.
x x x
В 1812 году губернатор использовал описанный способ нарезки границ округов так, что в штате победила Демократическо-республиканская партия, хотя по числу голосовавших она должна была проиграть. На карте один из таких округов приобрел причудливую форму мифической саламандры, откуда и произошло название термина.
x x x
👏2❤1😁1