Цветочная форма многочлена
Любой многочлен можно превратить в "цветок". Не натуральным образом, а алгебраическим, в котором "цветок" — это иной способ записи многочлена.
-------
Если в обычном виде многочлен n-ой степени P представляет собой функцию от одной переменной t в степени n и менее (линейную комбинацию степеней мономов):
P(t) = a0 + a1∙t^1 + a2∙t^2 + ... + an∙t^n,
то в цветочной форме он становится функцией U от n переменных {u1, u2, ..., un} исключительно в первой степени:
U(u1, u2, ..., un).
При этом функция U является симметричным, полилинейным отображением, которое сворачивается в исходный многочлен, когда все его аргументы равны.
#алгебра : #многочлен
↓
Любой многочлен можно превратить в "цветок". Не натуральным образом, а алгебраическим, в котором "цветок" — это иной способ записи многочлена.
-------
Если в обычном виде многочлен n-ой степени P представляет собой функцию от одной переменной t в степени n и менее (линейную комбинацию степеней мономов):
P(t) = a0 + a1∙t^1 + a2∙t^2 + ... + an∙t^n,
то в цветочной форме он становится функцией U от n переменных {u1, u2, ..., un} исключительно в первой степени:
U(u1, u2, ..., un).
При этом функция U является симметричным, полилинейным отображением, которое сворачивается в исходный многочлен, когда все его аргументы равны.
#алгебра : #многочлен
↓
Иначе говоря функция U обладает следующими тремя свойствами.
1. Симметричность. Значение U не меняется при любой перестановке аргументов:
U(u1, u2, u3, ..., un) = U(u2, un, u1, ..., u3) = U(un, u3, u2, u1, ...) = ... = U.
2. Полилинейность. Функция линейна по каждому аргументу:
U(..., a + b, ...) = U(..., a, ...) + U(..., b, ...),
U(..., k∙c, ...) = k∙U(..., c, ...).
3. Диагональность. Если все аргументы U равны t, то функция равна исходному многочлену:
U(t, t, ..., t) = P(t).
↓
1. Симметричность. Значение U не меняется при любой перестановке аргументов:
U(u1, u2, u3, ..., un) = U(u2, un, u1, ..., u3) = U(un, u3, u2, u1, ...) = ... = U.
2. Полилинейность. Функция линейна по каждому аргументу:
U(..., a + b, ...) = U(..., a, ...) + U(..., b, ...),
U(..., k∙c, ...) = k∙U(..., c, ...).
3. Диагональность. Если все аргументы U равны t, то функция равна исходному многочлену:
U(t, t, ..., t) = P(t).
↓
Функция U с представленными свойствами обычно называется полярной или симметричной формой многочлена. Тогда при чем тут цветок? А вот причем.
Метафора тут такая.
Исходный многочлен P(t) — это закрытый бутон. Его полярная форма U(u1, u2, u3, ..., un) — это распустившийся цветок (blossom), в котором каждый аргумент ui — это лепесток.
Когда все лепестки сворачиваются в одну точку t, цветок закрывается, вновь превращаясь в бутон — исходный многочлен. В иных случаях мы раскрываем многочлен-бутон в симметричную функцию с множеством лепестков-аргументов.
Конечно, нужно иметь специфическое воображение, позволяющее в совокупностью чисел и переменных увидеть представителя флоры. Но, с другой сторон, кого из алгебраистов, особенно тех, кто занимается абстрактной алгеброй, можно считать абсолютно нормальным?
↓
Термин цветок (англ., blossom) ввел в употребление Лайл Рамшоу (Lyle Ramshaw) в статье 1987 года "Blossoming: a connect-the-dots approach to splines". После этого его стали применять в других работах.
Метафора тут такая.
Исходный многочлен P(t) — это закрытый бутон. Его полярная форма U(u1, u2, u3, ..., un) — это распустившийся цветок (blossom), в котором каждый аргумент ui — это лепесток.
Когда все лепестки сворачиваются в одну точку t, цветок закрывается, вновь превращаясь в бутон — исходный многочлен. В иных случаях мы раскрываем многочлен-бутон в симметричную функцию с множеством лепестков-аргументов.
Конечно, нужно иметь специфическое воображение, позволяющее в совокупностью чисел и переменных увидеть представителя флоры. Но, с другой сторон, кого из алгебраистов, особенно тех, кто занимается абстрактной алгеброй, можно считать абсолютно нормальным?
↓
Алгоритм построения полярной (цветочной) формы многочлена.
Запишем многочлен в стандартном виде:
P(t) = a0 + a1∙t^1 + a2∙t^2 + ... + an∙t^n.
Из аргументов полярной формы (u1, u2, ..., un) определим n+1 симметричное базисное выражение ek:
e0 = 1.
e1 = u1 + u2 + ... + un.
e2 = сумма всех попарных произведений ui∙uj для всех i < j.
e2 = u1∙u2 + u1∙u3 + ... + u2∙u3 + ... u{n-1}∙un.
e3 = сумма всех произведений трех различных переменных ui∙uj∙uk для всех i < j < k.
e3 = u1∙u2∙u3 + u1∙u2∙u4 + ... + u2∙u3∙u4 + ... u{n-2}∙u{n-1}∙un.
...
en = u1∙u2∙u3∙ ... ∙un.
Далее найдем обратные значения числа сочетаний из n по k.
q(k,n) = 1 / C(n, k) = k! * (n - k)! / n!.
И сконструируем полярную форму.
U = Σ(k=0 to n) { ak * q(k,n) * ek }.
или
U = a0 q(0,n) e0 + a1 q(1,n) e1 + a2 q(2,n) e2 + ... + an q(n,n) en.
Так как q(0,n) = q(n,n) = 1, то итоговая форма примет вид:
U = a0 + a1 (1/n) e1 + a2 Q(n,2) e2 + ... + an en.
#алгоритм
↓
Запишем многочлен в стандартном виде:
P(t) = a0 + a1∙t^1 + a2∙t^2 + ... + an∙t^n.
Из аргументов полярной формы (u1, u2, ..., un) определим n+1 симметричное базисное выражение ek:
e0 = 1.
e1 = u1 + u2 + ... + un.
e2 = сумма всех попарных произведений ui∙uj для всех i < j.
e2 = u1∙u2 + u1∙u3 + ... + u2∙u3 + ... u{n-1}∙un.
e3 = сумма всех произведений трех различных переменных ui∙uj∙uk для всех i < j < k.
e3 = u1∙u2∙u3 + u1∙u2∙u4 + ... + u2∙u3∙u4 + ... u{n-2}∙u{n-1}∙un.
...
en = u1∙u2∙u3∙ ... ∙un.
Далее найдем обратные значения числа сочетаний из n по k.
q(k,n) = 1 / C(n, k) = k! * (n - k)! / n!.
И сконструируем полярную форму.
U = Σ(k=0 to n) { ak * q(k,n) * ek }.
или
U = a0 q(0,n) e0 + a1 q(1,n) e1 + a2 q(2,n) e2 + ... + an q(n,n) en.
Так как q(0,n) = q(n,n) = 1, то итоговая форма примет вид:
U = a0 + a1 (1/n) e1 + a2 Q(n,2) e2 + ... + an en.
#алгоритм
↓
Пример 1. Полярная форма многочлена второй степени.
Найдем "цветок" многочлена 2-ой степени:
P(t) = t^2 + 2t + 3.
Строим частичные суммы ek:
e0 = 1,
e1 = u1 + u2,
e2 = u1 u2.
Находим значения q(k, 2) умноженные на коэффициенты ak:
a0 q(0, 2) = 3∙1 = 3
a1 q(1, 2) = 2∙½ = 1
a2 q(2, 2) = 1∙1 = 1
И вычисляем полярную форму:
U = 3 + (u1 + u2) + u1 u2.
Итог.
P: 3 + 2t + t^2
U: 3 + (u1 + u2) + u1 u2.
↓
Найдем "цветок" многочлена 2-ой степени:
P(t) = t^2 + 2t + 3.
Строим частичные суммы ek:
e0 = 1,
e1 = u1 + u2,
e2 = u1 u2.
Находим значения q(k, 2) умноженные на коэффициенты ak:
a0 q(0, 2) = 3∙1 = 3
a1 q(1, 2) = 2∙½ = 1
a2 q(2, 2) = 1∙1 = 1
И вычисляем полярную форму:
U = 3 + (u1 + u2) + u1 u2.
Итог.
P: 3 + 2t + t^2
U: 3 + (u1 + u2) + u1 u2.
↓
Пример 2. Полярная форма многочлена пятой степени.
Найдем "цветок" многочлена 5-ой степени:
P(t) = 5 t^5 + 4 t^3 + 8 t^2 + 2.
Для удобства в полярной форме используем переменные u, v, w, x, y.
Построим частичные суммы ek:
e0 = 1
e1 = u + v + w + x + y
e2 = uv+uw+ux+uy+vw+vx+vy+wx+wy+xy
e3 = uvw+uvx+uvy+uwx+uwy+uxy+vwx+vwy+vxy+wxy
e4 = uvwx+uvwy+uvxy+uwxy+vwxy
e5 = uvwxy
Найдем q:
q(0, 5) = 1
q(1, 5) = 1/5
q(2, 5) = 1/10
q(3, 5) = 1/10
q(4, 5) = 1/5
q(5, 5) = 1
И составим полярную форму:
U(u, v, w, x, y) = 2 + 8/10 e2 + 4/10 e3 + 5 e5.
Далее следует расписать ek и сократить коэффициенты, что оставлю это в качестве домашнего задания.
Итог.
P: 5 t^5 + 4 t^3 + 8 t^2 + 2
U: 5 e5 + 4/10 e3 + 8/10 e2 + 2
———-
Проверим, как цветок сворачивается в бутон:
e2(t) = 10 t^2
e3(t) = 10 t^3
e5(t) = t^5
U(t) = 5 t^5 + (4/10) 10 t^3 + (8/10) 10 t^2 + 2 = P(t).
Все сходится.
↓
Найдем "цветок" многочлена 5-ой степени:
P(t) = 5 t^5 + 4 t^3 + 8 t^2 + 2.
Для удобства в полярной форме используем переменные u, v, w, x, y.
Построим частичные суммы ek:
e0 = 1
e1 = u + v + w + x + y
e2 = uv+uw+ux+uy+vw+vx+vy+wx+wy+xy
e3 = uvw+uvx+uvy+uwx+uwy+uxy+vwx+vwy+vxy+wxy
e4 = uvwx+uvwy+uvxy+uwxy+vwxy
e5 = uvwxy
Найдем q:
q(0, 5) = 1
q(1, 5) = 1/5
q(2, 5) = 1/10
q(3, 5) = 1/10
q(4, 5) = 1/5
q(5, 5) = 1
И составим полярную форму:
U(u, v, w, x, y) = 2 + 8/10 e2 + 4/10 e3 + 5 e5.
Далее следует расписать ek и сократить коэффициенты, что оставлю это в качестве домашнего задания.
Итог.
P: 5 t^5 + 4 t^3 + 8 t^2 + 2
U: 5 e5 + 4/10 e3 + 8/10 e2 + 2
———-
Проверим, как цветок сворачивается в бутон:
e2(t) = 10 t^2
e3(t) = 10 t^3
e5(t) = t^5
U(t) = 5 t^5 + (4/10) 10 t^3 + (8/10) 10 t^2 + 2 = P(t).
Все сходится.
↓
Полярные формы используются в компьютерной графике для построения сплайнов и кривых, в частности — кривых Безье.
#кривая_безье
Ниже приведены основные публикации о цветочной (полярной) форме многочлена.
↓
#кривая_безье
Ниже приведены основные публикации о цветочной (полярной) форме многочлена.
↓
1987 -- Blossoming - a connect-the-dots approach to splines.pdf
8.5 MB
Ramshaw L.H. (1987)
Blossoming: a connect-the-dots approach to splines
Автор впервые вводит термин цветочная форма многочлена и объясняет, что это такое.
#файл
↓
Blossoming: a connect-the-dots approach to splines
Автор впервые вводит термин цветочная форма многочлена и объясняет, что это такое.
#файл
↓
🔥2
В чем разница между банджо и мотоциклом Харлей-Девидсон?
What is the difference between a banjo and a Harley-Davidson motorcycle?
В том, что Харлей можно настроить, а банджо — нет.
😁
———-
Это старая западная музыкальная шутка. Основана на двойном смысле слова tune.
- В мире музыке tune значит настроить музыкальный инструмент, то есть добиться правильной высоты звука струн.
- В мире мотоциклов tune (тюнинговать) значит модифицировать, улучшить вид и характеристики мотоцикла.
Оказывается раньше было много проще тюнинговать мотоцикл, чем настраивать банджо.
Среди музыкантов банджо считается крайне капризным инструментом. Из-за особенностей конструкции, которая состоит из деревянного обода с натянутой кожей, реагирующей на влажность и температуру, банджо постоянно расстраивается. Существует даже поговорка:
А владельцы Харлей без особых усилий его тюнингуют.
Таким образом, шутка утверждает, что
———
Несмотря на это банджо остается незаменимым инструментом. Его любят во многом благодаря особенностям конструкции.
У банджо уникальный прорезающий звук.
Благодаря натянутой мембране (коже), банджо работает как барабан со струнами. Его звук очень резкий, звонкий и быстрый. В акустических ансамблях банджо единственный инструмент, который может перекричать скрипку или трубу безо всякого усиления.
У банджо очень короткий сустейн (звук быстро затухает), но взрывная атака.
Это позволяет играть на огромных скоростях, издавая знаменитые быстрые переборы пальцами (роллы), которые невозможно воспроизвести на гитаре.
Кантри, блюграсс, фолк и ранний джаз просто немыслимы без тембра банджо.
Для этих жанров его дребезжащий и слегка перкуссионный звук является фундаментом. Гитара на его фоне звучит слишком мягко и благородно.
Банджо — один из самых гибких инструментов в плане перенастройки под конкретную песню.
Музыканты часто используют открытые строи, которые позволяют играть аккорды одним пальцем, создавая специфический резонанс, недоступный классическим инструментам.
#музыка
x x x
www.youtube.com/watch?v=LU-5Riztksw
What is the difference between a banjo and a Harley-Davidson motorcycle?
В том, что Харлей можно настроить, а банджо — нет.
😁
———-
Это старая западная музыкальная шутка. Основана на двойном смысле слова tune.
- В мире музыке tune значит настроить музыкальный инструмент, то есть добиться правильной высоты звука струн.
- В мире мотоциклов tune (тюнинговать) значит модифицировать, улучшить вид и характеристики мотоцикла.
Оказывается раньше было много проще тюнинговать мотоцикл, чем настраивать банджо.
Среди музыкантов банджо считается крайне капризным инструментом. Из-за особенностей конструкции, которая состоит из деревянного обода с натянутой кожей, реагирующей на влажность и температуру, банджо постоянно расстраивается. Существует даже поговорка:
Банджоист тратит половину жизни на настройку инструмента, а вторую половину — на игру на расстроенном инструменте.
А владельцы Харлей без особых усилий его тюнингуют.
Таким образом, шутка утверждает, что
Харлей-Девидсон вполне реально настроить под свой вкус, тогда как банджо — практически невозможно настроить так, чтобы оно не расстроилось через минуту.
———
Несмотря на это банджо остается незаменимым инструментом. Его любят во многом благодаря особенностям конструкции.
У банджо уникальный прорезающий звук.
Благодаря натянутой мембране (коже), банджо работает как барабан со струнами. Его звук очень резкий, звонкий и быстрый. В акустических ансамблях банджо единственный инструмент, который может перекричать скрипку или трубу безо всякого усиления.
У банджо очень короткий сустейн (звук быстро затухает), но взрывная атака.
Это позволяет играть на огромных скоростях, издавая знаменитые быстрые переборы пальцами (роллы), которые невозможно воспроизвести на гитаре.
Кантри, блюграсс, фолк и ранний джаз просто немыслимы без тембра банджо.
Для этих жанров его дребезжащий и слегка перкуссионный звук является фундаментом. Гитара на его фоне звучит слишком мягко и благородно.
Банджо — один из самых гибких инструментов в плане перенастройки под конкретную песню.
Музыканты часто используют открытые строи, которые позволяют играть аккорды одним пальцем, создавая специфический резонанс, недоступный классическим инструментам.
#музыка
x x x
www.youtube.com/watch?v=LU-5Riztksw
YouTube
3 Finger Banjo Song & Tab of the Week: "REDWING"
CLICK HERE for the banjo TABS for this song: http://fingerstylebanjo.com/redwing
To LEARN TO PLAY FINGERSTYLE BANJO in any style (bluegrass/scruggs, old time 2 finger, 3 finger..) the Brainjo way, check out http://fingerstylebanjo.com
To hear this song…
To LEARN TO PLAY FINGERSTYLE BANJO in any style (bluegrass/scruggs, old time 2 finger, 3 finger..) the Brainjo way, check out http://fingerstylebanjo.com
To hear this song…
🥰1👏1
Forwarded from Хабр
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
В Chrome вышло расширение Cat Gatekeeper, которое блокирует доступ к соцсетям при помощи... толстого кота. Плагин перекрывает вкладки X, TikTok и YouTube по таймеру, отрезая доступ к контенту поверх интерфейса.
Проверка кода через VirusTotal показывает ноль угроз — разработчик полностью удалил рекламные трекеры и модули телеметрии. Права на чтение страниц требуются исключительно ради наложения изображения.
Базовые настройки дают 60 минут на просмотр ленты. Затем скрипт вешает блокировку на 5 минут отдыха, и пользователь теряет контроль над активной вкладкой до конца обратного отсчёта.
Проверка кода через VirusTotal показывает ноль угроз — разработчик полностью удалил рекламные трекеры и модули телеметрии. Права на чтение страниц требуются исключительно ради наложения изображения.
Базовые настройки дают 60 минут на просмотр ленты. Затем скрипт вешает блокировку на 5 минут отдыха, и пользователь теряет контроль над активной вкладкой до конца обратного отсчёта.
🤩4❤2🤣2
Как настроить оповещения в Гугл-академии и не утонуть в море статей
Гугл-академия (scholar.google.com) -- это гигантская база научных знаний: от серьезных статей и диссертаций до книг и препринтов. Если вы занимаетесь наукой, пишете статью или диплом, академия поможет найти проверенные источники.
Обычно мы просто вбиваем в поиск что-то вроде
#поиск_информации
↓
Гугл-академия (scholar.google.com) -- это гигантская база научных знаний: от серьезных статей и диссертаций до книг и препринтов. Если вы занимаетесь наукой, пишете статью или диплом, академия поможет найти проверенные источники.
Гугл-академия выдает список публикаций, соответствующих запросу.
Обычно мы просто вбиваем в поиск что-то вроде
algae morphogenetic model. В ответ гугл выдаст тысячи ссылок, где эти слова разбросаны по всему тексту: от введения до списка литературы. В итоге вы потратите свое время на просмотр нерелевантных работ. #поиск_информации
↓
Как составить эффективный поисковый запрос
Чтобы не утонуть в море информации, важно уметь фильтровать выдачу результатов.
Профессиональный подход состоит в том, чтобы применять в запросе оператор
—
—
— Скобки группируют варианты.
К примеру, этот запрос:
найдет только те работы, где в заголовке четко пересекаются три темы: развитие (морфогенез или онтогенез), моделирование и водоросли.
Если убрать
Тогда как
↓
Чтобы не утонуть в море информации, важно уметь фильтровать выдачу результатов.
Нужно заставить поисковик использовать суть запроса, отсекая лишнее.
Профессиональный подход состоит в том, чтобы применять в запросе оператор
intitle:, скобки и логическое OR.—
intitle: (обязательно с двоеточием и строго без пробела после него) заставляет систему искать термины только в заголовке статьи.—
OR (обязательно заглавными буквами) позволяет искать варианты терминов или синонимы.— Скобки группируют варианты.
К примеру, этот запрос:
intitle:("morphogenetic" OR "ontogenetic" OR "morphogenesis") intitle:("model" OR "simulation") intitle:(algae OR microalgae)найдет только те работы, где в заголовке четко пересекаются три темы: развитие (морфогенез или онтогенез), моделирование и водоросли.
Если убрать
intitle:, поиск будет производиться по заголовку, аннотации и полному тексту работ. ("morphogenetic" OR "ontogenetic" OR "morphogenesis") ("model" OR "simulation") (algae OR microalgae)Тогда как
intitle: сужает поиск только до заголовка.↓
Как не пропустить новые публикации
Чтобы не мониторить поиск вручную, настройте автоматические оповещения (аlerts).
1. Введите запрос в строку поиска гугл-академии.
2. Откройте боковое меню (три полоски слева) и выберите "Оповещения".
3. Нажмите "Создать оповещение" и укажите свою почту.
Как только выйдет новая статья, удовлетворяющая запросу, гугл пришлет письмо со ссылкой на эту работу.
x x x
Чтобы не мониторить поиск вручную, настройте автоматические оповещения (аlerts).
1. Введите запрос в строку поиска гугл-академии.
2. Откройте боковое меню (три полоски слева) и выберите "Оповещения".
3. Нажмите "Создать оповещение" и укажите свою почту.
Как только выйдет новая статья, удовлетворяющая запросу, гугл пришлет письмо со ссылкой на эту работу.
x x x
🔥1
18--19 июня 2026
Летняя школа для преподавателей технических вузов
https://www.ai.msu.ru/summer_school
МГУ (Москва), Факультет искусственного интеллекта
———-
Цель школы — поделиться опытом разработки учебных курсов для вузов на примере ФИИ МГУ.
Приглашаем молодых преподавателей вузов в возрасте до 40 лет, имеющих опыт работы в вузе не менее 2 лет и желающих внедрять современные практики анализа данных и инструментов ИИ в свои учебные курсы.
———-
Школа организована по трём трекам:
— Математика
— Computer Science
— Data Science
———-
Формат проведения – очный.
Проживание в рамках Летней школы не предусмотрено.
#ии #курсы
x x x
Летняя школа для преподавателей технических вузов
https://www.ai.msu.ru/summer_school
МГУ (Москва), Факультет искусственного интеллекта
———-
Цель школы — поделиться опытом разработки учебных курсов для вузов на примере ФИИ МГУ.
Обсуждение необходимости срочного обновления учебных программ технических вузов, чтобы отвечать вызовам текущего дня — ускоренному развитию индустрии, перестроению рынка труда из-за внедрения ИИ, девальвации высшего образования из-за массового списывания.
Приглашаем молодых преподавателей вузов в возрасте до 40 лет, имеющих опыт работы в вузе не менее 2 лет и желающих внедрять современные практики анализа данных и инструментов ИИ в свои учебные курсы.
———-
Школа организована по трём трекам:
— Математика
— Computer Science
— Data Science
———-
Формат проведения – очный.
Проживание в рамках Летней школы не предусмотрено.
#ии #курсы
x x x