Mathieu Ossendrijver. 2014.
The Powers of 9 and Related Mathematical Tables from Babylon

#публикация_исследования

↓

Иван Николаевич Веселовский (русский и советский механик, математик и переводчик древних рукописей) в своей докторской диссертации "Вавилонская математика" (опубликована в 1955 году) показывает, что вавилоняне не просто считали товар, они заложили фундамент, на котором стоит вся современная астрономия

Цитата из работы Веселовского :

"Вавилонская математика поражает своим формализмом и одновременно мощью. Создав позиционную систему счисления задолго до индийцев, они оперировали числами такого порядка, который станет доступен европейской науке только через тысячелетия".

———
По информации Alessandra Dolce.

↓

Интересно, все-таки какие калькуляторы использовали вавилоняне? 🧐

x x x

Строим эквидистанту кривой Безье.
1. Алгебраический метод.

В ВК опубликована большая заметка об алгебраическом методе построения эквидистанты кривой Безье. Там все описано: что это, как и для чего. Не буду повторяться.

https://vk.com/wall-186208863_67736

В заметке упоминаются две статьи с подробными исследованиями уравнения эквидистанты. Ссылки и пдф этих статей выкладываю ниже.

#геометрия #эквидистанта #кривая_безье

↓

Farouki R.T., Neff C.A. (1990)
Algebraic properties of plane offset curves
https://doi.org/10.1016/0167-8396(90)90024-L

Статья посвящена алгебраическим методам анализа эквидистант к параметрическим кривым, предлагая эффективные способы вычисления их неявных уравнений и выявления условий понижения степени. Также рассматриваются алгоритмы поиска особых точек и самопересечений для построения усеченных эквидистант, используемых в прикладных задачах.

#файл #публикация_исследования

↓

Farouki R.T., Neff C.A. (1990)
Analytic properties of plane offset curves
https://doi.org/10.1016/0167-8396(90)90023-K

Статья исследует геометрические и топологические свойства плоских эквидистант, уделяя особое внимание условиям возникновения нерегулярных точек и их связи с кривизной исходной кривой. Также в работе рассматриваются глобальные характеристики кривых, их самопересечения и методы усечения нежелательных петель.

#файл #публикация_исследования

x x x

Так все делают

Часто слышу аргумент: «так все делают» или ещё хуже: «так делает лидер рынка».

Привычка — хорошая штука. Глупо не пользоваться уже сформированными в голове зрителя нейронными цепочками. Но я каждый раз офигеваю с бездумного повторения чужих решений без какой-либо рефлексии.

Не хочешь думать почему сделано так как сделано — в мире полно профессий, не требующих особых размышлений.

———
Источник Иконки Чикина

#мысли

x x x

Цитаты о премии ВРАЛ.

Самозваная претензия на маленький символический суд — именно это мне в жанре ВРАЛ кажется самым дурным.

Формально это, конечно, частная премия частных людей. Но риторически она устроена именно как инстанция, которая не просто возражает, а распределяет публичный позор, причём с интонацией почти окончательного вердикта.

Но настоящая наука сильна не этим. Не удовольствием от клейма. Не позой людей, которым будто бы выдана лицензия отделять допустимое от недопустимого.
А способностью различать: где ошибка, где натяжка, где подмена, где псевдонаучный аргумент, а где уже полноценная имитация науки.

Здесь же речь идёт не о просвещении, а о карательном спектакле, в котором научная критика смешана с репутационным наказанием. И именно это смешение кажется мне особенно отталкивающим."

———
Из тг "Математическая эссенция".

#мысли

x x x

ИИ и ИИИ в ИИИИИ.

И — интеллект.
ИИ — искуственный интеллект.
ИИИ — использование искуственного интеллекта.
ИИИИ — институт использования искуственного интеллекта.
ИИИИИ — исследовательский институт использования искуственного интеллекта.
ИИИИИИИИИ — исследовательский институт использования искуственного интеллекта, изобразительного искусства, иконографии и икоты.
ИИИИИИИИИИ — минимальное количество букв И, не вызывающее неоднозначности с предыдущими сокращениям при выражении восхищения котенькой.

———-
Текст из "Твиттера Тонского".
Картинка ИИ из ИИИИИИИИИ.

С 1 апреля 😁

#матмем

x x x

Уравнение роста живого организма сильно зависит от начальных условий.

Коллега попросил помочь с обработкой данных и построить уравнения роста рыб по формулам Берталанфи и Гомперца. Данные содержали длину рыб и их относительный возраст в месяцах. Причем возраст в некоторых случаях был оценен неправильно.

Опуская подробности, скажу, что, после коррекции возраста, для одного и того же набора значений получил несколько уравнений, которые отличались коэффициентами. То есть уравнения были одинаковые, исходные данные — тоже, а вот коэффициенты уравнений очень сильно зависели от начальных значений, использованных для запуска модели. Коэффициенты могли отличаться в несколько десятков раз. (Карл!)

Пришлось сильно повозится, чтобы подобрать правдоподобные уравнения.

Вывод.

Строя модель роста, очень внимательно относитесь к начальным условиям. Попробуйте несколько вариантов и выберите биологически наиболее правдоподобный.

Если не получится, обращайтесь ко мне.

#статистика #модель #берталанфи #гомпец

x x x

Прямо в точку 😄

#матмем

x x x

Вузы лёгкого поведения

Я как-то писал, что название канала - это про перелом понятия лёгкого поведения в восприятии с пошлой распущенности в сторону благочестивой открытости, но пока мы только тонем в беспорядочной сервильности и растяжке собакой мордой вниз.

Университеты в лице их многих представителей всё больше демонстрируют шпагаты и прогибы, где уже даже не эскорт, не кабаре и не «низкая социальная ответственность», а настоящий притон со всеми видами услуг от сломленных душ и тел.

На университеты хочется равняться, от университетов как института ждёшь фам-фаталь, ждёшь разговора и дискуссии, ждёшь нестандартных подходов, ждёшь умений взглянуть за угол и горизонт, ждёшь хакинга систем и прорывов, что особенно актуально, когда вокруг всё на костылях в неопределённости.

Ждёшь единственный за счёт своего консерватизма островок стабильности и единственный за счёт своей прогрессивности линкор для открытия новых просторов.

Перед университетами хочется чувствовать страх и изумление, ведь в каждом твоём тезисе, модели или конструкции они найдут сто тысяч причин, почему нет, а потом вишенкой на торте дадут вектор для переосмысления и пересборки.

Но нет, у нас университеты в большинстве своём подстраиваются под сломленный рынок труда, поддакивают всяким срощениям с ЦЗН, разводят внутреннюю суету вокруг шальных рейтингов и всеми силами подыгрывают любой повестке вне зависимости от уровня и качества её авторов.

Хочешь предсказать будущее страны - смотри на текущее поведение и состояние университетов. Только не через окуляры праздной повестки официальных каналов всяких Социоцентров и им подобных.

Христос Воскресе!

Поздравляю всех православных с этим светлым праздником.

Но вы знали, что Пасха - самый математический праздник! Дата Пасхи вычисляется по особому алгоритму под названием computus paschalis («пасхального вычисления»).

Правило вычисления Пасхи было канонически закреплено на Первом Вселенском Соборе в Никее в 325 году:
Пасха - это первое воскресенье после первого полнолуния, наступшего не ранее весеннего равноденствия (21 марта).

Математически сложность в необходимости согласовать три цикла: солнечный год, лунный месяц и семидневная неделя. Причём никакие два из них не имеют общего периода.

Первые полторы тысячи лет ключевым инструментом были пасхальные таблицы. Например, даты Пасхи на 19 лет вперед, а дальше этот цикл повторяется. Дионисий Малый (тот самый, кто ввёл летоисчисление от Рождества Христова) использовал Великий пасхальный цикл в 532 года.

Помимо конечного горизонта, сложность такого подхода в том, что computus - это огромные многостраничные справочники. Чтобы найти дату Пасхи, нужно последовательно пройти несколько таких таблиц и легко допустить ошибку.

Лишь в 1800 году 23-летний Карл Гаусс существенно упростил расчет с помощью простого алгоритма модульной арифметики: он свел решение к нескольким операциям по модулям 4, 7, 19 и 30 и простым арифметическим действиям, которые дают дату без всяких таблиц (то что на картинке выше). По легенде, начал он с попытки вычислить собственный день рождения.

Алгоритм расчета един в православной и католической церки (в православной даже проще), но разница возникает из-за того, по какому календарю отсчитывается "21 марта".

Вот так в очередной раз проявляется мощь и красота математики, которая повсюду!

#vitalmath

Цветочная форма многочлена

Любой многочлен можно превратить в "цветок". Не натуральным образом, а алгебраическим, в котором "цветок" — это иной способ записи многочлена.

-------

Если в обычном виде многочлен n-ой степени P представляет собой функцию от одной переменной t в степени n и менее (линейную комбинацию степеней мономов):

P(t) = a0 + a1∙t^1 + a2∙t^2 + ... + an∙t^n,

то в цветочной форме он становится функцией U от n переменных {u1, u2, ..., un} исключительно в первой степени:

U(u1, u2, ..., un).

При этом функция U является симметричным, полилинейным отображением, которое сворачивается в исходный многочлен, когда все его аргументы равны.

#алгебра : #многочлен

↓

Иначе говоря функция U обладает следующими тремя свойствами.

1. Симметричность. Значение U не меняется при любой перестановке аргументов:

U(u1, u2, u3, ..., un) = U(u2, un, u1, ..., u3) = U(un, u3, u2, u1, ...) = ... = U.

2. Полилинейность. Функция линейна по каждому аргументу:

U(..., a + b, ...) = U(..., a, ...) + U(..., b, ...),
U(..., k∙c, ...) = k∙U(..., c, ...).

3. Диагональность. Если все аргументы U равны t, то функция равна исходному многочлену:

U(t, t, ..., t) = P(t).

↓

Функция U с представленными свойствами обычно называется полярной или симметричной формой многочлена. Тогда при чем тут цветок? А вот причем.

Термин цветок (англ., blossom) ввел в употребление Лайл Рамшоу (Lyle Ramshaw) в статье 1987 года "Blossoming: a connect-the-dots approach to splines". После этого его стали применять в других работах.

Метафора тут такая.

Исходный многочлен P(t) — это закрытый бутон. Его полярная форма U(u1, u2, u3, ..., un) — это распустившийся цветок (blossom), в котором каждый аргумент ui — это лепесток.

Когда все лепестки сворачиваются в одну точку t, цветок закрывается, вновь превращаясь в бутон — исходный многочлен. В иных случаях мы раскрываем многочлен-бутон в симметричную функцию с множеством лепестков-аргументов.

Конечно, нужно иметь специфическое воображение, позволяющее в совокупностью чисел и переменных увидеть представителя флоры. Но, с другой сторон, кого из алгебраистов, особенно тех, кто занимается абстрактной алгеброй, можно считать абсолютно нормальным?

↓

Алгоритм построения полярной (цветочной) формы многочлена.

Запишем многочлен в стандартном виде:

P(t) = a0 + a1∙t^1 + a2∙t^2 + ... + an∙t^n.

Из аргументов полярной формы (u1, u2, ..., un) определим n+1 симметричное базисное выражение ek:

e0 = 1.
e1 = u1 + u2 + ... + un.

e2 = сумма всех попарных произведений ui∙uj для всех i < j.
e2 = u1∙u2 + u1∙u3 + ... + u2∙u3 + ... u{n-1}∙un.

e3 = сумма всех произведений трех различных переменных ui∙uj∙uk для всех i < j < k.
e3 = u1∙u2∙u3 + u1∙u2∙u4 + ... + u2∙u3∙u4 + ... u{n-2}∙u{n-1}∙un.
...
en = u1∙u2∙u3∙ ... ∙un.

Далее найдем обратные значения числа сочетаний из n по k.

q(k,n) = 1 / C(n, k) = k! * (n - k)! / n!.

И сконструируем полярную форму.

U = Σ(k=0 to n) { ak * q(k,n) * ek }.

или

U = a0 q(0,n) e0 + a1 q(1,n) e1 + a2 q(2,n) e2 + ... + an q(n,n) en.

Так как q(0,n) = q(n,n) = 1, то итоговая форма примет вид:

U = a0 + a1 (1/n) e1 + a2 Q(n,2) e2 + ... + an en.

#алгоритм

↓

Пример 1. Полярная форма многочлена второй степени.

Найдем "цветок" многочлена 2-ой степени:

P(t) = t^2 + 2t + 3.

Строим частичные суммы ek:
e0 = 1,
e1 = u1 + u2,
e2 = u1 u2.

Находим значения q(k, 2) умноженные на коэффициенты ak:
a0 q(0, 2) = 3∙1 = 3
a1 q(1, 2) = 2∙½ = 1
a2 q(2, 2) = 1∙1 = 1

И вычисляем полярную форму:
U = 3 + (u1 + u2) + u1 u2.

Итог.
P: 3 + 2t + t^2
U: 3 + (u1 + u2) + u1 u2.

↓

Пример 2. Полярная форма многочлена пятой степени.

Найдем "цветок" многочлена 5-ой степени:

P(t) = 5 t^5 + 4 t^3 + 8 t^2 + 2.

Для удобства в полярной форме используем переменные u, v, w, x, y.

Построим частичные суммы ek:
e0 = 1
e1 = u + v + w + x + y
e2 = uv+uw+ux+uy+vw+vx+vy+wx+wy+xy
e3 = uvw+uvx+uvy+uwx+uwy+uxy+vwx+vwy+vxy+wxy
e4 = uvwx+uvwy+uvxy+uwxy+vwxy
e5 = uvwxy

Найдем q:
q(0, 5) = 1
q(1, 5) = 1/5
q(2, 5) = 1/10
q(3, 5) = 1/10
q(4, 5) = 1/5
q(5, 5) = 1

И составим полярную форму:
U(u, v, w, x, y) = 2 + 8/10 e2 + 4/10 e3 + 5 e5.

Далее следует расписать ek и сократить коэффициенты, что оставлю это в качестве домашнего задания.

Итог.
P: 5 t^5 + 4 t^3 + 8 t^2 + 2
U: 5 e5 + 4/10 e3 + 8/10 e2 + 2

———-

Проверим, как цветок сворачивается в бутон:
e2(t) = 10 t^2
e3(t) = 10 t^3
e5(t) = t^5

U(t) = 5 t^5 + (4/10) 10 t^3 + (8/10) 10 t^2 + 2 = P(t).

Все сходится.

↓

Полярные формы используются в компьютерной графике для построения сплайнов и кривых, в частности — кривых Безье.

#кривая_безье

Ниже приведены основные публикации о цветочной (полярной) форме многочлена.

↓

↓