Почему есть только пять платоновых тел?

Ответ на этот вопрос дала книга Алана Холдена "Shapes, Space, and Symmetry".

Правильный многогранник (или платоново тело) — это выпуклый многогранник, который состоит только из правильных многоугольников и все многогранные углы при его вершинах одинаковые.

Всего есть пять платоновых тел:
Тетраэдр -- 4 грани (треугольники, 3 при каждой вершине).
Гексаэдр -- 6 граней (квадраты, 3 при каждой вершине).
Октаэдр -- 8 граней (треугольники, 4 при каждой вершине).
Додекаэдр -- 12 граней (пятиугольники, 3 при каждой вершине)
Икосаэдр -- 20 граней (треугольники, 5 при каждой вершине).

Но почему их только пять?

#геометрия #многогранник

↓

Возьмем равносторонние треугольники. Чтобы они образовали многогранный угол, нужно, чтобы три треугольника встретились в каждой вершине. При таком условии получим тетраэдр.

Мы также можем соединить четыре и пять равносторонних треугольников, составив октаэдр и икосаэдр. А вот из шести соединенных треугольников, мы получим только плоскую поверхность. То есть из шести и большего числа треугольников многогранник создать невозможно.

Возьмем квадрат. Из трех квадратов можно составить многогранный угол, а из большего числа не получится. То есть из квадратов можно сконструировать только гексаэдр.

Возьмем правильный пятиугольник. Из трех пятиугольников мы сможем создать многогранный угол и построить додекаэдр, а из большего числа — нет.

Возьмем шестиугольник. Из трех шестиугольников мы получим плоскую поверхность. То есть многогранник из шестиугольников построить невозможно.

Также невозможно построить правильный многогранник из правильных многоугольников с более, чем пятью сторонами.

↓

В итоге из трех правильных многоугольников -- треугольника, квадрата и пятиугольника -- мы можем построить только пять платоновых тел.

Это доказательство было описано в "Началах" Евклида. Оно простое и интуитивно понятное.

#евклид

Более сложное алгебро-топологическое доказательство, использующее число Эйлера и символ Шлефли, приведено в статье на Хабре.

———
Про число Эйлера для правильных многогранников была хорошая заметка.

x x x

🌻 Pi Day

Вчера (14 марта) был День числа Пи (3/14). Визуализируем с помощью #R и #ggplot2 первые 1 000 знаков числа Пи. В сердце этой визуализации — математически совершенный узор, который природа миллионы лет использует в подсолнухах и шишках для идеальной упаковки семян (филлотаксис).

Секрет в золотом угле (≈137.5°), который заставляет цифры числа Пи в виде точек занимать всё свободное пространство, не образуя пустых рядов или "швов". Чтобы узор оставался равномерным, используется спираль Ферма и модель Фогеля (r = √i). Квадратный корень удерживает плотность точек одинаковой как в центре, так и на краях, превращая бесконечный цифровой хаос в гармоничный "математический цветок".

Постер Pi Day в формате A4 300 dpi. Код постера на GitHub.

#pi #ggplot2 #R #rstats #dataviz #generative_art

Листая старые страницы...

Дорогие подписчики, давайте откроем новую рубрику "Листая старые страницы".

В ней мы будем перелистывать старые фолианты, трактаты, манускрипты и книги, изданные, преимущественно, до 20 века и посвященные, по большей части, геометрии.

А начнем с двухтомника Ганса Вредемана де Вриса 1604 года о перспективе.

↓

Ганс Вредеман де Врис. Перспектива. 1604 год

Hans Vredeman de Vries. 1604.
"Perspective, c'est à dire le très renommé art du poinct oculaire d'une veue dedans où travers regardante..."

"Перспектива, то есть знаменитое искусство изображения глубины пространства с помощью взгляда, устремленного внутрь или сквозь объект..."

#книга #геометрия #перспектива

Ганс Вредеман де Врис (1527 -- 1607) был нидерландским архитектором, живописцем и гравером, теоретиком архитектуры и перспективы, искусным рисовальщиком, известным своими перспективными творениями и сочинением причудливых архитектурных орнаментов.

Его magnum opus, опубликованный в 1604 году под лаконичным названием "Перспектива", -- это уникальный синтез архитектурной теории и прикладной геометрии, выраженных с помощью гравюр.

↓