❤️ | буст? #IT

Кодирование

— это преобразование информации в форму, удобную для хранения или передачи.

Шифрование

— частный случай кодирования, где цель — скрыть смысл от посторонних.

Ключевое различие:

Кодирование обратимо без секрета (азбука Морзе, ASCII, QR-код).
Шифрование обратимо только при наличии ключа.

Симметричное

— один и тот же ключ для шифровки и расшифровки (как замок с одним ключом).

Асимметричное

— два ключа: открытый шифрует, закрытый расшифровывает. Открытый можно раздавать всем.

Стойкость шифра держится не на секретности алгоритма, а на секретности ключа. Алгоритм может быть открыт всему миру — это норма.

Самый простой шифр

— шифр Цезаря: каждая буква сдвигается на N

❤️

позиций. А

❤️

→ Г

❤️

при сдвиге 3. Он ломается перебором за 32 попытки, потому что ключ — это всего лишь число от 1 до 32.

Современные шифры (AES, RSA) держатся на математике: чтобы взломать RSA, нужно разложить огромное число на множители, а это для современных компьютеров практически невозможно.

Симметричное шифрование (AES)

— для быстрой передачи больших данных.

Асимметричное (RSA)

— для обмена ключами и цифровой подписи.
HTTPS в браузере использует оба: асимметричное — чтобы договориться, симметричное — чтобы шифровать трафик.

❤️| буст? #math

Основная теорема арифметики: любое натуральное число больше 1 можно единственным образом разложить на простые множители.

360 = 2³ · 3² · 5¹

Показатель степени вхождения простого числа p в число n

— это максимальная степень k, такая что pᵏ делит n. Обозначается v_p(n).
Для 360: v₂ = 3, v₃ = 2, v₅ = 1, v₇ = 0.

Формула Лежандра

— как найти v_p(n!) без раскрытия факториала:
v_p(n!) = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + ⌊n/p³⌋ + ...

Свойства показателя вхождения:

v_p(a·b) = v_p(a) + v_p(b) — при умножении степени складываются.

v_p(a/b) = v_p(a) − v_p(b) — при делении вычитаются.

v_p(aᵏ) = k · v_p(a) — при возведении в степень умножается.

Именно поэтому «на сколько нулей оканчивается число» = min(v₂, v₅): ноль даёт пара 2·5.

Формула Лежандра работает потому, что ⌊n/p⌋ считает числа, делящиеся на p, ⌊n/p²⌋ — добавляет те, что делятся на p² (у них на один множитель больше), и так далее.

Определение количества нулей в конце факториала, делимость и НОД/НОК через разложение, задачи на «сколькими способами», теория чисел и криптография (RSA стоит на свойствах простых чисел).

Найти: сколько нулей на конце числа

❤️

100! — ?

❤️

Решение:
Ноль даёт пара 2·5. Двоек всегда больше, поэтому считаем пятёрки:
v₅(100!) = ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ + ⌊100/125⌋ = 20 + 4 + 0 = 24

Ответ:

❤️

24 нуля.

❤️| буст? #math

Подобные треугольники

— это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Коэффициент подобия k

— это отношение соответствующих сторон:
k = a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

Три признака подобия:

🤩

По двум углам — если два угла одного равны двум углам другого.

🤩

По двум сторонам и углу между ними — если две стороны пропорциональны, а углы между ними равны.

🤩

По трём сторонам — если все три стороны пропорциональны.

При подобии с коэффициентом k:
Периметры относятся как k.
Площади относятся как k².
Объёмы подобных тел — как k³.

Это частая ловушка: если стороны увеличили в 2 раза, площадь выросла в 4, а не в 2.

Равенство — частный случай подобия при k = 1.

Подобие — основа измерений «на расстоянии»: высота дерева, ширина реки, расстояние до корабля. Также это масштаб карт, чертежей, моделей. В 3D-графике и геометрии — преобразование фигур без искажения формы.

Два треугольника подобны с коэффициентом

❤️

k = 3.
Площадь меньшего равна

❤️

7 см².
Найти: площадь большего — ?

❤️

Решение:
Площади относятся как

❤️

k² = 3² = 9.

❤️

S = 7 · 9 = 63

Ответ:

❤️

63 см².

❤️| буст? #math

Центральный угол

— угол с вершиной в центре окружности. Он опирается на дугу между двумя точками и равен градусной мере этой дуги.

Вписанный угол

— угол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды. Он тоже опирается на дугу.

Главное правило:

вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
∠вписанный = ½ · ∠центральный = ½ · дуги

Из этого правила вытекают три важных следствия:

🤩

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны — сколько бы их ни было, все одинаковые.

🤩

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — равен 90°, потому что дуга полуокружности 180°, а половина — 90°. Это знаменитая теорема Фалеса.

🤩

Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180° — четырёхугольник можно вписать в окружность только при этом условии.

Теорема Фалеса даёт простой способ построить прямой угол без угольника — достаточно циркуля. Вписанные углы используются в задачах на доказательство, в тригонометрии, в навигации и в компьютерной графике при построении окружностей и дуг.

Центральный угол

❤️

∠AOB = 80° опирается на дугу AB.
Найти: вписанный угол

❤️

∠ACB, опирающийся на ту же дугу — ?

Решение:
Вписанный угол равен половине центрального:

❤️

∠ACB = ½ · 80° = 40°

Ответ:

❤️

40°.