На Boosty уже вышли листочки по таким темам:
— Равные функции;
— Образ элемента, образ множества;
— Прообраз элемента, прообраз множества.
https://boosty.to/mathfromzero
— Равные функции;
— Образ элемента, образ множества;
— Прообраз элемента, прообраз множества.
https://boosty.to/mathfromzero
❤7
На Boosty уже вышли листочки по таким темам:
— Отображение;
— Взаимно однозначное отображение;
— Образ всей области определения функции.
https://boosty.to/mathfromzero
— Отображение;
— Взаимно однозначное отображение;
— Образ всей области определения функции.
https://boosty.to/mathfromzero
❤8
Образ элемента, образ множества.pdf
126.9 KB
Математический анализ
Образ элемента, образ множества
Образ элемента, образ множества
❤1
Прообраз_элемента,_прообраз_множества.pdf
154.1 KB
Математический анализ
Прообраз элемента, прообраз множества
Прообраз элемента, прообраз множества
❤1
Давайте сравним сознание со шкалой термометра. Введем 20-градусную шкалу: 10 градусов выше ноля и 10 градусов ниже. Деления выше ноля обозначают степень бодрствования, а ниже — степень сна. Мы знаем, что существуют различные степени глубины сна. Они не имеют определений и классификации, которые можно было бы использовать на практике. Никогда не принимается во внимание то обстоятельство, что наряду с существованием различных степеней глубины сна существуют также различные степени бодрствования. Человек в процессе своей обычной деятельности может быть более бодрствующим или менее бодрствующим.
Мы пытаемся поднять сознание на пьедестал как самое важное качество человека. В действительности единственное истинно человеческое качество, отличающее людей от животных, — это сознание. Чем сознательнее человек, тем дальше он от животного, и наоборот. Многие люди довольствуются состоянием разумных животных, и им не зазорно быть бессознательными. Но те, кто способен мыслить объективно и реалистично, согласятся с важностью повышения уровня человечности. К сожалению, социальная структура делает все возможное, чтобы удержать человека в состоянии сна. Сегодня во всем мире приветствуется то, что способствует сну, и порицается все, ведущее к пробуждению. Мы представляем собой расу «богов», ведущих себя как животные.
Мы пытаемся поднять сознание на пьедестал как самое важное качество человека. В действительности единственное истинно человеческое качество, отличающее людей от животных, — это сознание. Чем сознательнее человек, тем дальше он от животного, и наоборот. Многие люди довольствуются состоянием разумных животных, и им не зазорно быть бессознательными. Но те, кто способен мыслить объективно и реалистично, согласятся с важностью повышения уровня человечности. К сожалению, социальная структура делает все возможное, чтобы удержать человека в состоянии сна. Сегодня во всем мире приветствуется то, что способствует сну, и порицается все, ведущее к пробуждению. Мы представляем собой расу «богов», ведущих себя как животные.
❤1👍1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
В фильме рассказывается, как проблема размерных подгрупп была решена за несколько дней до конца света, как пожилой Гупта случайно встретил в МГУ молодого студента, который через 10 лет опровергнет монументальный труд всей его жизни, как Воеводский зачинал драку в индийском поезде, а Баумслаг с сумасшедшим жонглёром занимались комбинаторной теорией групп
❤3
Математика часто кажется набором правил и техник, но по-настоящему она начинается там, где правила перестают быть очевидными. В школе нас учат «решать задачи», но почти не говорят, что каждая задача это маленькое столкновение с неизвестным, где важно не столько получить ответ, сколько понять, что вообще считается ответом.
В этом смысле математика ближе к философии, чем принято думать. Она не столько про числа, сколько про границы мышления. Что можно доказать? Что считается существующим? Почему из одних и тех же аксиом неизбежно следуют именно эти выводы, а не другие? И что происходит, если аксиомы слегка изменить?
Интересно, что самые важные открытия в математике часто начинаются с сомнения в «очевидном». Евклидова геометрия держалась две тысячи лет, пока кто-то не задал странный вопрос: а что, если параллельные прямые ведут себя иначе? И мир не рухнул, но наоборот, он стал шире. Оказалось, что истина может быть множественной, но строго определённой в каждом своём контексте.
Математика учит редкому навыку: принимать ограничения добровольно. Мы соглашаемся играть по заданным правилам = аксиомам, определениям и внутри них получаем абсолютную свободу мышления. Парадоксально, но именно строгость делает возможной глубину.
Возможно, главная философская ценность математики в том, что она приучает к честности. Здесь нельзя «почти доказать» или «в целом понять». Либо аргумент работает, либо нет. И в этом безжалостном свете становится яснее не только устройство абстрактных объектов, но и качество собственного мышления.
В этом смысле математика ближе к философии, чем принято думать. Она не столько про числа, сколько про границы мышления. Что можно доказать? Что считается существующим? Почему из одних и тех же аксиом неизбежно следуют именно эти выводы, а не другие? И что происходит, если аксиомы слегка изменить?
Интересно, что самые важные открытия в математике часто начинаются с сомнения в «очевидном». Евклидова геометрия держалась две тысячи лет, пока кто-то не задал странный вопрос: а что, если параллельные прямые ведут себя иначе? И мир не рухнул, но наоборот, он стал шире. Оказалось, что истина может быть множественной, но строго определённой в каждом своём контексте.
Математика учит редкому навыку: принимать ограничения добровольно. Мы соглашаемся играть по заданным правилам = аксиомам, определениям и внутри них получаем абсолютную свободу мышления. Парадоксально, но именно строгость делает возможной глубину.
Возможно, главная философская ценность математики в том, что она приучает к честности. Здесь нельзя «почти доказать» или «в целом понять». Либо аргумент работает, либо нет. И в этом безжалостном свете становится яснее не только устройство абстрактных объектов, но и качество собственного мышления.
❤14👍6
Большинство людей воспринимают мир дискретно, набором отдельных фактов. Но математик видит структуры.
Представьте себе хаотичное движение толпы. Для обывателя это шум. Для математика это может быть динамическая система, поток или распределение вероятностей. Там, где один видит сложность, другой находит инвариант — нечто неизменное, сохраняющееся даже при глубоких преобразованиях.
Возьмем фундаментальное понятие предела. В этой лаконичной записи скрыта великая жизненная философия. Она говорит нам: «Не так важно, где ты находишься в конкретный момент времени n. Важно то, к чему ты неуклонно приближаешься». Наше поведение в долгосрочной перспективе определяет нашу «точку сходимости».
Не бойтесь трудностей. Если задача не решается — это прекрасно. Это значит, что ваш мозг столкнулся с границей своих текущих возможностей. И именно в момент преодоления этой границы происходит подлинный рост.
Представьте себе хаотичное движение толпы. Для обывателя это шум. Для математика это может быть динамическая система, поток или распределение вероятностей. Там, где один видит сложность, другой находит инвариант — нечто неизменное, сохраняющееся даже при глубоких преобразованиях.
Возьмем фундаментальное понятие предела. В этой лаконичной записи скрыта великая жизненная философия. Она говорит нам: «Не так важно, где ты находишься в конкретный момент времени n. Важно то, к чему ты неуклонно приближаешься». Наше поведение в долгосрочной перспективе определяет нашу «точку сходимости».
Не бойтесь трудностей. Если задача не решается — это прекрасно. Это значит, что ваш мозг столкнулся с границей своих текущих возможностей. И именно в момент преодоления этой границы происходит подлинный рост.
❤11
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Михаил Громов, математик открывший h-принцип дискретных групп, давший начало теории инвариантов голоморфных кривых Громова-Виттена, которая используется в квантовой теории поля, показывает как брать сложные интегралы на пам-пам-пам-пам!
❤7😁3
Функция f(х) не имеет точек экстремума. Может ли функция
f(х)^2 иметь ровно n точек экстремума? n принадлежит N.
f(х)^2 иметь ровно n точек экстремума? n принадлежит N.
👍2❤1
Математика с нуля
Функция f(х) не имеет точек экстремума. Может ли функция f(х)^2 иметь ровно n точек экстремума? n принадлежит N.
👍4❤1
Математика с нуля
Найдите наименьшее значение функции
Сделаем некоторые преобразования:
y(x^2+1)^2=x^4+x^2+5;
(1-y)x^4+(1-2y)x^2+5-y=0.
Имеем баквадратное уравнение, сделаем замену x^2=t:
(1-y)t^4+(1-2y)t+5-y=0.
Квадратное уравнение имеет решения, когда D>=0.
То есть
(1-2y)^2-4(1-y)(5-y)>=0;
20y-19>=0;
y>=19/20.
y — параметр квадратного уравнения, является значениями исходной функции. С помощью дискриминанта нашли такие значения, откуда видно, что минимальное значение равно 19/20.
❤3👍1