Основной курс (Г8К)
Урок 1.23: Взаимное расположение прямой и окружности

В данном уроке будут перечислены все возможные случаи расположения прямой и окружности, затем обобщение для произвольной фигуры. Рассказано про диаметр и ширину фигуры. Вы узнаете, что такое ограниченная фигура и некоторые ее интересные свойства.

Напомню, что каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.

Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓

Интересный факт

С одним утверждением вида Р => Q (назовем его прямым утверждением)
связаны еще три теоремы:
Q => Р — утверждение, обратное исходному;
¬P => ¬Q — утверждение, противоположное прямому;
¬Q => ¬P — утверждение, противоположное обратному.

Ясно, что истинностные значения прямого и обратного утверждений
могут быть разными (например: «Если углы вертикальны, то они
равны» — истинное утверждение, обратное исходному, «Если углы
равны, то они вертикальны» — ложное утверждение). Вместе с тем
свойство P --> Q = ¬P --> ¬Q указывает, что прямое утверждение и противоположное
обратному истинны или ложны одновременно. Именно на этом
основан метод доказательства от противного: вместо доказательства
теоремы Р => Q мы доказываем теорему ¬P => ¬Q.

Ребята, а как вы думаете:

В чем разница между A --> B и A => B?

P. S.
Сегодня будет ответ на данный вопрос ;)

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Прикаких вещественных a предикат является тождеством:

а) (х < а) ∨ (x > 2);
б) ((x - 1)(x - a) ≤ 0) ∨ ((x - 1)(x - a) > 0;
в) ((x -1)(x - 2) ≤ 0) ∨ ((x - a)(x - 2) > 0;
г) ((x - 2)(x - a) ≥ 0) --> ((x - 3)(x - 1) ≥ 0);
д) ((х - а)(х - 2а) ≤ 0) ∨ (a + 1 ≤ x ≤ a + 2)) --> (x ∈ (2; 15));
е) ((3 ≤ х ≤ 6) --> ((х - а)(х - 2а) ≤ 0)) --> (а - 1 ≤ х ≤ а + 1)?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Изобразите множество точек, при подстановке соответствующих координат которых данных предикат обращается в истинное высказывание:

(x + y = 1) ∧ ((x ≤ 3) --> (x > y)).

Жду ваши варианты в комментариях

Объяснение

A --> B – импликация, то есть придикат, а А => B – следование, то есть высказывание. Иначе говоря:

Пусть A = P(x), B = Q(x), тогда верно следующее:

∀x (P(x) --> Q(x)) = P(x) => Q(x).

Важно заметить, что высказывание P(x) => Q(x) истинно тогда и только тогда, когда M ⊂ K, где M = {x: P(x)}, K = {x: Q(x)}.

Задача дня

Сложность – ⭐️

Приведите пример возможного универсума для:
а) множества всех ромбов;
б) множества всех равносторонних треугольников;
в) множества всех правильных многоугольников;
г) множества всех кругов и многоугольников.
Приведите пример общего универсума для множеств пунктов а—г.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Найдите все х ∈ R, такие, что:

{х; x² - 1; 2x + 1} ⊂ [0; 17]

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Забавный лингвистический пример

Известна поговорка:
«Кто не рискует, тот не пьет шампанского». Сформулируем ее
в форме следования: «Для любого человека если он не рискует, то
не пьет шампанского». Сформулируем теперь теорему, противоположную
обратной: «Для любого человека если он пьет шампанское,
то он рискует». Иначе говоря: «Кто пьет шампанское, тот рискует»!
Зерно этого парадокса в том, что смысл данных высказываний
в обыденном языке не совпадает с их смыслом в языке формальной
логики.

А вы знали, что произвольные числа равны между собою?

Вот смотрите:

Докажем, что любые n чисел равны, т. е. если а ₁, а ₂ ..., а ₙ — произвольные числа, то а ₁ = а ₂ = а ₃ =. . . = а ₙ.

При n = 1 утверждение, очевидно, верно: у нас
есть одно число и оно равно самому себе.

Пусть утверждение верно для номера n, т. е. если а ₁, а ₂, ..., а ₙ — произвольные числа, то а ₁ = а ₂ = а ₃ = ... = а ₙ. Докажем утверждение с номером n + 1. Пусть у нас есть n + 1 число: а ₁ а ₂, ..., а ₙ, а ₙ ₊ ₁ Рассмотрим первые n чисел. Они равны по предположению индукции. Осталось доказать, что им равно и число а ₙ ₊ ₁. Для этого рассмотрим числа а ₂, ..., а ₙ, а ₙ ₊ ₁. Их ровно n, и, значит, по индукционному предположению они равны, т. е. а ₙ ₊ ₁ равно первым n числам, что и требовалось доказать.

;^)

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Докажите, что для всех натуральных n число, записываемое З ⁿ единицами, делится на 3 ⁿ.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Докажите, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов, начиная с шести.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня №2

Сложность – ⭐️⭐️

У каждого из n человек появилась новость. Два человека в разговоре передают друг другу все известные им новости. Докажите, что n человек (при n > 3) могут за 2n - 4 разговора передать друг другу все новости (т. е. чтобы каждый знал новость каждого).

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Сколько различных натуральных делителей имеет число 2 ⁿ ⋅ 3 ᵐ?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️⭐️

Обобщение предыдущей задачи.
Сколько натуральных деталей у числа на фото, если числа p ₁, p ₂, p ₃,..., p ₙ – простые, а ₁, а ₂, а ₃,..., а ₙ – натуральные?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Решение

Натуральный делитель числа 2 ⁿ ⋅ 3 ᵐ имеет вид 2 ᵃ ⋅ 3 ᵇ, где

0 <= a <= n,
0 <= b <= m.

Указанные пары однозначно определяют делитель. Поэтому делителей столько же, сколько пар чисел a и b.

Число а можно выбрать n + 1 способом, число b можно выбрать m + 1 способом. Поэтому искомое число пар равно (m + 1)(n + 1).

Ответ

(a_1 + 1)(a_2 + 1)(a_3 + 1)*...*(a_n + 1)

Почему так?

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️⭐️

У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я