Задача дня
Сложность — ⭐️
Докажите, что функцией, обратной функции y = k / x, где k ≠ 0, является та же функция. Дайте геометрическое истолкование этому факту.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️
Докажите, что функцией, обратной функции y = k / x, где k ≠ 0, является та же функция. Дайте геометрическое истолкование этому факту.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Интересный факт
Знак √ впервые встречается в 1525 году в учебнике алгебры чешского математика Кристофа Рудольфа (1500—1545). Современный знак ⁿ√ появился у голландского математика Альбера Жирара (1595—1632), а горизонтальную черту над выражением, записываемым под знаком радикала, ввел а употребление в 1637 году Рене Декарт.
Знак √ впервые встречается в 1525 году в учебнике алгебры чешского математика Кристофа Рудольфа (1500—1545). Современный знак ⁿ√ появился у голландского математика Альбера Жирара (1595—1632), а горизонтальную черту над выражением, записываемым под знаком радикала, ввел а употребление в 1637 году Рене Декарт.
Фигурные числа
В теории чисел мы часто встречаемся с квадратами, т. е. такими числами, как
3 ² = 9, 7 ² = 49, 10 ² = 100,
и аналогично с кубами, т. е. такими числами, как
2 ³ = 8, 3 ³ = 27, 5 ³ = 125.
Этот геометрический образ рассматриваемой операции с числами является частью богатого наследства, оставленного древнегреческими мыслителями. Греки предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах: произведение с = аb рассматривалось как площадь с прямоугольника со сторонами a и b. Также можно было рассматривать a•b как число точек в прямоугольной таблице с а точками на одной стороне и b точками на другой. Например, 20 = 4•5 есть число точек в прямоугольной таблице на рис. 2.
Любое целое число, которое является произведением двух целых чисел, можно было бы назвать прямоугольным числом. Когда две стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину, то такое число является квадратным числом, или квадратом. Некоторые числа нельзя представлять в виде прямоугольных чисел иначе, как тривиальным способом — в виде цепочки точек, лежащих в одном ряду. Например, пять может быть представлено как прямоугольное число лишь единственным способом, взяв одну сторону равной единице, а другую — пяти (рис. 3).
Такие числа греки называли простыми числами. Точка, взятая в одном экземпляре, не рассматривалась как число. Число 1 явилось тем кирпичом, из которого строились все остальные числа. Таким образом, 1 не была для них и не считается сейчас простым числом.
Можно было бы рассматривать точки, равномерно заполняющие не только прямоугольники и квадраты, но и другие геометрические фигуры. Последовательные треугольные числа изображены на рис. 4.
В общем случае n-е треугольное число задается формулой
(1)
Т ₙ = ½•n•(n+1), n = 1, 2, 3…
(1)
У этих чисел масса интересных свойств: например, сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратом
(2)
1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16 и т. д.
(2)
Обобщением треугольных чисел и квадратов явились многоугольные числа. Метод их получения проиллюстрируем на примере пятиугольных чисел. Для этого рассмотрим рис. 5.
Глядя на него, легко найти несколько первых пятиугольных чисел,
(3)
1, 5, 12, 22, 35.
(3)
Можно показать, что n-е пятиугольное число выражается формулой
(4)
p ₙ = ½ (3n2 — n).
(4)
Шестиугольные числа, и вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильного k-угольника, и мы не будем больше тратить времени на их обсуждение. Фигурные числа, особенно треугольные, пользовались большой популярностью при изучении чисел в конце эпохи Возрождения, после того как греческая теория чисел проникла в Западную Европу. И сейчас их можно иногда встретить в статьях по теории чисел.
Проводя анализ такого геометрического представления чисел, можно получить несколько простых соотношений. Остановимся лишь на одном примере. Уже давно было известно, что складывая последовательно нечетные числа, мы все время будем получать квадраты, например,
1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т. д.
Чтобы доказать это соотношение, достаточно лишь взглянуть на рис. 6, на котором изображены последовательно вложенные квадраты.
В теории чисел мы часто встречаемся с квадратами, т. е. такими числами, как
3 ² = 9, 7 ² = 49, 10 ² = 100,
и аналогично с кубами, т. е. такими числами, как
2 ³ = 8, 3 ³ = 27, 5 ³ = 125.
Этот геометрический образ рассматриваемой операции с числами является частью богатого наследства, оставленного древнегреческими мыслителями. Греки предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах: произведение с = аb рассматривалось как площадь с прямоугольника со сторонами a и b. Также можно было рассматривать a•b как число точек в прямоугольной таблице с а точками на одной стороне и b точками на другой. Например, 20 = 4•5 есть число точек в прямоугольной таблице на рис. 2.
Любое целое число, которое является произведением двух целых чисел, можно было бы назвать прямоугольным числом. Когда две стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину, то такое число является квадратным числом, или квадратом. Некоторые числа нельзя представлять в виде прямоугольных чисел иначе, как тривиальным способом — в виде цепочки точек, лежащих в одном ряду. Например, пять может быть представлено как прямоугольное число лишь единственным способом, взяв одну сторону равной единице, а другую — пяти (рис. 3).
Такие числа греки называли простыми числами. Точка, взятая в одном экземпляре, не рассматривалась как число. Число 1 явилось тем кирпичом, из которого строились все остальные числа. Таким образом, 1 не была для них и не считается сейчас простым числом.
Можно было бы рассматривать точки, равномерно заполняющие не только прямоугольники и квадраты, но и другие геометрические фигуры. Последовательные треугольные числа изображены на рис. 4.
В общем случае n-е треугольное число задается формулой
(1)
Т ₙ = ½•n•(n+1), n = 1, 2, 3…
(1)
У этих чисел масса интересных свойств: например, сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратом
(2)
1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16 и т. д.
(2)
Обобщением треугольных чисел и квадратов явились многоугольные числа. Метод их получения проиллюстрируем на примере пятиугольных чисел. Для этого рассмотрим рис. 5.
Глядя на него, легко найти несколько первых пятиугольных чисел,
(3)
1, 5, 12, 22, 35.
(3)
Можно показать, что n-е пятиугольное число выражается формулой
(4)
p ₙ = ½ (3n2 — n).
(4)
Шестиугольные числа, и вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильного k-угольника, и мы не будем больше тратить времени на их обсуждение. Фигурные числа, особенно треугольные, пользовались большой популярностью при изучении чисел в конце эпохи Возрождения, после того как греческая теория чисел проникла в Западную Европу. И сейчас их можно иногда встретить в статьях по теории чисел.
Проводя анализ такого геометрического представления чисел, можно получить несколько простых соотношений. Остановимся лишь на одном примере. Уже давно было известно, что складывая последовательно нечетные числа, мы все время будем получать квадраты, например,
1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т. д.
Чтобы доказать это соотношение, достаточно лишь взглянуть на рис. 6, на котором изображены последовательно вложенные квадраты.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем 5, принадлежащих промежутку 0.2, 6.4
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем 5, принадлежащих промежутку 0.2, 6.4
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
👍1
Вещественное возведение в степень (когда и основание, и показатель, и результат вещественны) - не определено для отрицательного основания вообще (кроме целочисленных степеней).
Конечно же, -2 можно извлекать кубический корень - но не возводить в степень 1/3. Иногда говорят, что всё-таки можно возводить в степень 1/3, имея в виду извлечение кубического корня; но, по-моему, это запутывает, приводя к парадоксам и противоречиям.
Возведение комплексного числа в рациональную степень. В том числе и возведение отрицательного числа в рациональную степень, в том числе -2 в степень 1/2 или 1/3. Но это уже другая операция - в отличие от вещественного возведения в степень, эта операция многозначна. Если возвести что-то в степень 1/2, будет два значения, если в степень 1/3 - будет три значения (одно из которых, да, кубический корень). Даже 1^(1/2) в смысле этой операции имеет два значения: 1 и -1
Часто ли у вас возникали ошибки и недопонимания ввиду подобного?
Конечно же, -2 можно извлекать кубический корень - но не возводить в степень 1/3. Иногда говорят, что всё-таки можно возводить в степень 1/3, имея в виду извлечение кубического корня; но, по-моему, это запутывает, приводя к парадоксам и противоречиям.
Возведение комплексного числа в рациональную степень. В том числе и возведение отрицательного числа в рациональную степень, в том числе -2 в степень 1/2 или 1/3. Но это уже другая операция - в отличие от вещественного возведения в степень, эта операция многозначна. Если возвести что-то в степень 1/2, будет два значения, если в степень 1/3 - будет три значения (одно из которых, да, кубический корень). Даже 1^(1/2) в смысле этой операции имеет два значения: 1 и -1
Часто ли у вас возникали ошибки и недопонимания ввиду подобного?
Косинус острого угла прямоуголь.pdf
2.3 MB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.17: Косинус острого угла ПГ
Продолжаем знакомство с тригонометрией.
В этом уроке дано определение косинуса отсрого угла прямоугольного треугольника, объясняется, что это есть функцией величины угла, рассказаны некоторые его свойства и показан график.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.17: Косинус острого угла ПГ
Продолжаем знакомство с тригонометрией.
В этом уроке дано определение косинуса отсрого угла прямоугольного треугольника, объясняется, что это есть функцией величины угла, рассказаны некоторые его свойства и показан график.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Математика с нуля
Задача дня Сложность — ⭐️⭐️ Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓 Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Решение 951 заданияИспользуйте решение с умом, открывайте для себя что-то новое.
👍1