Урок о геометрической прогрессии будет в одном из данных алгебры 9 класса. Впрочем, я не оставлю вас без удовольствия подумать над выводом формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии. Попробуйте сделать это самостоятельно. Сколько способов у вас получится?
Кстати, а что будет если q = 1? (где q – знаменатель прогрессии)

Удачи 🤓

P. S. В течении недели я покажу несколько.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Известно, что геометрическая прогрессия (b ₙ) содержит 2n членов. Сумма членов, стоящих на чётных местах, равна S ₁, а сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна S ₂. Найдите знаменатель прогрессии.


Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Доказательство №1

Рассмотрим разности соседних членов прогрессии, то есть: b ₂ - b ₁, b ₃ - b ₂, b ₄ - b ₃, ... , b ₙ - b ₙ ₋ ₁, b ₙ ₊ ₁ - b ₙ
Имеем: b ₁ (q - 1), b ₂ (q - 1), b ₃ (q - 1), ... , b ₙ ₋ ₁ (q - 1), b ₙ (q - 1) Если все их выписать, то легко заметить, что это есть искомая сумма умноженная на (q - 1). Получаем:

S ₙ ⋅ (q - 1) = (b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ ) ⋅ (q - 1), но наша сумма b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ = b ₙ ₊ ₁ - b ₁, как это видно, если выписать все члены в общем виде, откуда следует:
S ₙ = (b ₙ ₊ ₁ - b ₁)/(q - 1).

P. S. Попробуйте порисовать члены прогрессии в геометрическом представлении и посмотреть на их разности, чтобы лучше уяснить, как до этого доказательства можно дойти.

Задача дня

Сложность — ⭐️

Может ли у множества А быть ровно на 2000 подмножеств больше, чем у множества В?

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Может ли у множества А быть ровно 2000 подмножеств, не являющихся ни подмножествами множества В, ни подмножествами множества С?

Задача дня №2

Сложность — ⭐️⭐️

Выведите формулу произведения первых n членов геометрической прогрессии.


Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Докажите, что если (x ₙ) – последовательность десятичных дробей, которые получаются, если в бесконечной периодической десятичной дроби 0.(3) оставить одну, две, три и т. д. цифры после запятой, то данная последовательность имеет предел, который равен 1/3.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️

Докажите, что при любых a, b и с уравнение

(x - a)(x - b) + (x - a)(x - c) + (x - b)(x - c) = 0

имеет корни

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Представтье бесконечную десятичную периодическую дробь 0.8(3) в виде обыкновенной.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

В равносторонний треугольник со стороной 12 см вписан треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника. В полученный треугольник таким же способом вписан третий треугольник и т. д. Найдите сумму периметров и сумму площадей этих треугольников.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член относится к сумме последующих членов как 3 : 5

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️

Является ли ограниченной последовательность (c ₙ), если с ₙ = [5 + (-1) ⁿ]/n?

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️

Докажите, что если (a ₙ) – арифметическая прогрессия и
a ₚ + a ₘ = a ᵣ + a ᵢ, то p + m = r + i.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Теория чисел — это ветвь математики, имеющая дело с целыми положительными числами

1, 2, 3…,

которые также называют натуральными числами.

Археология и история учат нас, что человек рано начал считать. Сначала он научился складывать числа, потом, много позже, умножать и вычитать их. Деление чисел было необходимым для распределения на равные части кучи яблок или улова рыбы. Эти действия над числами называются вычислениями. В некоторых случаях последовательность вычислений называют «калькуляцией». Это слово происходит от латинского calculus, означающего «маленький камень», поскольку римляне пользовались морской галькой при вычислениях на своих счетных досках.
Как только люди немного научились считать, этот процесс стал приятным времяпровождением для многих людей, склонных к абстрактному теоретизированию. Знания о числах накапливались в течение многих веков, порождая интерес к новым исследованиям, которые в свою очередь приумножали эти накопления. И сейчас, в современной математике, мы имеем величественную конструкцию, известную как теория чисел. Некоторые части этой теории все еще составляют простые игры с числами, а другие относятся к наиболее трудным и сложным разделам математики.

А чем удивил вас этот раздел математики? Насколько серьезно с ним сталкивались?

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Докажите, что если знаменатель геометрической прогрессии равен (1 + √5)/2, то каждый ее член, начиная со второго, равен разности последующего и предыдущего членов.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Основной курс (Г8К)
Урок 1.16:  Основные тригонометрические тождества

Продолжаем знакомство с тригонометрией.
В данном уроке вы познакомитесь с ОТТ и его доказательством. Используя это, мы можем показать, что косинус, как и синус, зависит только от величины угла.

Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓

Некоторые следы размышлений о числах в давние времена можно обнаружить в суеверных предрассудках, связанных с числами. Среди чисел есть «счастливые», которым нужно отдавать предпочтение и радоваться при встрече с ними, и «несчастливые», которых нужно остерегаться, как дурного глаза. Мы обладаем обширными сведениями о нумерологии в античной Греции, мыслях и предрассудках, связанных с символическим значением различных чисел. Например, нечетные числа, большие единицы, символизировали мужское начало, а четные — женское; таким образом, число 5 — сумма первого мужского и первого женского чисел — символизировало супружество или союз.
Желающие познакомиться с более развитой «теорией» магических чисел могут сделать это, прочтя восьмую книгу «Республики» Платона. Такая «наука» мало что дает в смысле математических идей, но она содержит умение обращаться с числами и их свойствами. Некоторые замечательные проблемы в теории чисел, до сих пор занимающие умы математиков, берут свое начало из греческого учения о магических числах.
До сих пор у нас нет оснований считать себя выше предрассудков, связанных с числами. Вероятно, у каждого есть знакомые, которые ни за что не посадят за стол 13 гостей, а как мало в гостиницах США этажей и комнат с номером 13. По существу, мы не знаем, откуда взялись подобные «табу» на числа. Существует множество всевозможных объяснений, но большинство из них совершенно безосновательны. Например, в «Библии» записано, что на Тайной вечере было 13 гостей, разумеется, тринадцатым был Иуда. Если же заметить, что многие предметы считаются дюжинами, а число 13 дает «чертову дюжину», т. е. лишний предмет, то это соображение имеет больший реальный смысл.
В «Библии», особенно в «Ветхом Завете», особую роль играет число 7, в древнегерманском фольклоре часто встречаются числа 3 и 9, индусы же, как видно из их мифологии, неравнодушны к числу 10.


А что вы знаете о нумерологии? Как часто встречаетесь с данной псевдонаукой? Как много из вас не верят, но всё же "опасаются" чисел?