Пусть n ∈ N. Тогда количество цифр q в десятичной записи числа n вычисляется по формуле
q=[log(10,n)]+1.
Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим (q+1)-значным числом. Наименьшее q-значное число равно 10^(q-1), а наименьшее (q+1)-значное число равно 10^q. То есть верно следующее двойное неравенство:
10^(q-1) ≤ n ≤ 10^q
Применим логарифмическую функцию по основанию 10 ко всем частям двойного неравенства:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ q
Знак сохранился ввиду того, что основание логарифмической функции больше 1 и она строго монотонно возрастающая на всей области определения.
Обратимся к определению функции антье (нижняя целая часть числа):
для любого действительного числа x его нижняя целая часть — это такое наибольшее целое число m, что выполняется условие:
m ≤ x ≤ m+1
Перепишем наше равенство в эквивалентном виде:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ (q-1)+1
Видно, что оно точно совпадает с определением функции антье, где роль x играет log(10,n), а роль целого числа m играет (q-1).
Следовательно, по определению:
[log(10,n)]=q-1 <=> q=[log(10,n)]+1
Тоерема доказана.
q=[log(10,n)]+1.
Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим (q+1)-значным числом. Наименьшее q-значное число равно 10^(q-1), а наименьшее (q+1)-значное число равно 10^q. То есть верно следующее двойное неравенство:
10^(q-1) ≤ n ≤ 10^q
Применим логарифмическую функцию по основанию 10 ко всем частям двойного неравенства:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ q
Знак сохранился ввиду того, что основание логарифмической функции больше 1 и она строго монотонно возрастающая на всей области определения.
Обратимся к определению функции антье (нижняя целая часть числа):
для любого действительного числа x его нижняя целая часть — это такое наибольшее целое число m, что выполняется условие:
m ≤ x ≤ m+1
Перепишем наше равенство в эквивалентном виде:
q-1 ≤ log(10,n) ≤ (q-1)+1
Видно, что оно точно совпадает с определением функции антье, где роль x играет log(10,n), а роль целого числа m играет (q-1).
Следовательно, по определению:
[log(10,n)]=q-1 <=> q=[log(10,n)]+1
Тоерема доказана.
❤5
Математика с нуля
Пусть n ∈ N. Тогда количество цифр q в десятичной записи числа n вычисляется по формуле q=[log(10,n)]+1. Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим…
Интуитивно не так сложно понять это и прийти к этой формуле.
Если посмотреть на числа n:
1≤n<10 => 1 цифра
10≤n<100 => 2 цифры
100≤n<1000 => 3 цифры
10^(q-1)≤n<10^(q) => q цифр.
И тут хотелось бы как-то перейти от степени 10 к показателю 10, тк этот показатель и есть q. Вспоминаем, что log(n,n)=1. Отсюда мысль о том, что тут нужен логарифм. А мысль, почему нужна функция антье, ввиду того, что нам нужны целые части получаемых чисел от log(10,n). Так мы и приходим к тому, что n может быть аргументом функции функции [log(10,n)] и если рассмотреть при тех же n:
1≤n<10 => [log(10,n)]=0
10≤n<100 => [log(10,n)]=1
100≤n<1000 => [log(10,n)]=2
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]=q-1
остается добавить 1 и получится искомое количество цифр
1≤n<10 => [log(10,n)]+1=1
10≤n<100 => [log(10,n)]+1=2
100≤n<1000 => [log(10,n)]+1=3
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]+1=q.
Если посмотреть на числа n:
1≤n<10 => 1 цифра
10≤n<100 => 2 цифры
100≤n<1000 => 3 цифры
10^(q-1)≤n<10^(q) => q цифр.
И тут хотелось бы как-то перейти от степени 10 к показателю 10, тк этот показатель и есть q. Вспоминаем, что log(n,n)=1. Отсюда мысль о том, что тут нужен логарифм. А мысль, почему нужна функция антье, ввиду того, что нам нужны целые части получаемых чисел от log(10,n). Так мы и приходим к тому, что n может быть аргументом функции функции [log(10,n)] и если рассмотреть при тех же n:
1≤n<10 => [log(10,n)]=0
10≤n<100 => [log(10,n)]=1
100≤n<1000 => [log(10,n)]=2
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]=q-1
остается добавить 1 и получится искомое количество цифр
1≤n<10 => [log(10,n)]+1=1
10≤n<100 => [log(10,n)]+1=2
100≤n<1000 => [log(10,n)]+1=3
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]+1=q.
❤3
Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые принимает выражение a*sin^2(x)+b*cos^2(x) в зависимости от значений параметров a и b
Математика с нуля
Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые принимает выражение a*sin^2(x)+b*cos^2(x) в зависимости от значений параметров a и b
a*sin^2(x)+b*cos^2(x) <=> a*sin^2(x)+b*(1-sin^2(x)) = b+(a-b)*sin^2(x).
Получается линейная функция относительно sin^2(x), т. е.:
f(sin^x))=b+(a-b)*sin^2(x), где sin^2(x) ∈ [0;1].
Линейная функция на отрезке достигает своих экстремумов строго на концах этого отрезка.
При sin^2(x)=0, f(0)=b.
При sin^2(x)=1, f(1)=a.
То есть, выражение принимает значения только от a до b (или наоборот, смотря что больше a или b).
Наибольшее значение max(a,b), наименьшее значение min(a,b).
Тут если кто хоть немного задачи решал, то сразу увидит, что задачи, на первый взгляд, шаблонные. И я конечно согласен, что те, кто бездумно зубрят, будут в этих задачах сразу видеть этот зазубренный шаблон и решить будет сложно, но про лауреатов было, с одной стороны грубо и глупо, но, с другой, гениально. Очевидно, что решить они смогут, но разве был бы в таком случае хайп вокруг задачи этих, коль не было бы этого высказывания.
У него еще про французских школьников есть похожее, мол они дроби складывают 1/2+1/3=2/5, зато знают, что такое коммутативность. И некоторые даже думают, что он шиз, но как по мне все таки гений математики и долгосрочного хайпа.
Автор книги: В. И. Арнольд "Задачи для детей от 5 до 15 лет"
У него еще про французских школьников есть похожее, мол они дроби складывают 1/2+1/3=2/5, зато знают, что такое коммутативность. И некоторые даже думают, что он шиз, но как по мне все таки гений математики и долгосрочного хайпа.
❤1
Докажите, что значения cos(x) и sin(x) одновременно являются рациональными числами тогда и только тогда, когда рационально значение tg(x/2) (кроме пары значений (-1;0))
❤3
Математика с нуля
Докажите, что значения cos(x) и sin(x) одновременно являются рациональными числами тогда и только тогда, когда рационально значение tg(x/2) (кроме пары значений (-1;0))
tg(x/2)=sin(x)/(1+cos(x))
Пусть, sin(x), cos(x) ∈ Q, то так как Q — поле, то частное двух рациональных чисел sin(x) и 1+cos(x) является рациональным числом. Следовательно, tg(x/2) ∈ Q.
Пусть теперь tg(x/2) ∈ Q. Тогда по известным формулам:
sin(x)=2tg(x/2)/(1+tg^2(x/2)),
cos(x)=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2)).
Так как tg(x/2) ∈ Q, а Q — поле, замкнутое относительно применяемых алгебраических операций, и 1+tg^2(x/2) не равно 0, то sin(x), cos(x) ∈ Q.
❤3