Операции_над_высказываниями_и_предикатами_Отрицание.pdf
174.4 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.24: Операции над высказываниями и предикатами. Отрицание
Урок 1.24: Операции над высказываниями и предикатами. Отрицание
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.
Теорема Чевы.pdf
350.5 KB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.34: Теорема Чевы
Урок 1.34: Теорема Чевы
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.
Задача дня
Докажите, что при различных m и n числа 2^m и 2^n имеют различные наборы цифр в десятичной записи.
Докажите, что при различных m и n числа 2^m и 2^n имеют различные наборы цифр в десятичной записи.
Математика с нуля
Задача дня Докажите, что при различных m и n числа 2^m и 2^n имеют различные наборы цифр в десятичной записи.
Итак, (2^n)*(2^[m − n] − 1) | 9.
Перебором остатков степеней 2 по модулю 9 убеждаемся, что наименьшее число k, такое, что 2^k − 1 кратно 9 — это число 6. Поэтому m − n ≥ 6.
Но тогда (2^m)/(2^n) ≥ 2^6 > 10, откуда количества цифр в десятичной записи (и подавно последовательности этих цифр) чисел 2^m и 2^n различны.
❤1
Задача дня
Решите в целых числах уравнение:
1) 2^x + 65 = y^2;
2) n! - 1 = k^2.
Решите в целых числах уравнение:
1) 2^x + 65 = y^2;
2) n! - 1 = k^2.
Задача дня
Выписаны подряд все натуральные числа от 1 до n.
а) n = 2008. Делится ли полученное число на 3?
б) Каким должно быть n, чтобы полученное число делилось на 3? (Опишите n в терминах остатков от деления.)
Выписаны подряд все натуральные числа от 1 до n.
а) n = 2008. Делится ли полученное число на 3?
б) Каким должно быть n, чтобы полученное число делилось на 3? (Опишите n в терминах остатков от деления.)
Математика с нуля
Задача дня Решите в целых числах уравнение: 1) 2^x + 65 = y^2; 2) n! - 1 = k^2.
Отметим, что x — положительное число. Кроме того, при одном и том же x из одной пары (x; у), являющейся решением, получается другая пара (x; −у), также являющаяся решением нашего уравнения. Поэтому в дальнейшем можно считать, что у — натуральное число.
Правая часть по модулю 5 может давать остатки 0, 1 или 4. Перебором остатков степеней 2 убеждаемся, что левая часть даёт при делении на 5 остатки 1 или 4 при чётных x. Поэтому решения уравнения существуют лишь с чётными х.
Пусть х = 2а, тогда 2^(2а) + 65 = у^2, откуда 65 = у^2 − 2^(2a), т. е. 65 = (у − 2^a)(у + 2^а).
Поскольку второй множитель положителен, то первый тоже должен быть положителен и при этом меньше, чем второй. Таких разложений числа 65 на множители имеется два: 65 = 1 ⋅ 65 и 65 = 5 ⋅ 13.
Таким образом, осталось решить в натуральных числах две системы уравнений:
1)
y − 2^2 = 1, y + 2^2 = 65, откуда y = 33, a = 5
и
y − 2^a = 5, y + 2^a = 13, откуда у = 9, а = 2.
Таким образом, уравнение в целых числах имеет четыре решения: (10; 33); (10; −33); (4; 9); (4; −9).
2) При n ≥ 3 левая часть даёт остаток 2 при делении на 3, т. е. не может быть равна квадрату целого числа. Проверка показывает, что n = 0, n = 1 и n = 2 дают решения этого уравнения. То есть уравнение имеет три решения: (0; 0); (1; 0); (2; 1).
Математика с нуля
Натуральное число n таково, что (n + 1) | 8. Докажите, что сумма всех натуральных делителей числа n также делится на 8.
Пусть n = kd.
Перебирая остатки от деления на 8, можно убедиться, что если d ≡ m (mod 8), то k ≡ 8 − m (mod 8).
Поэтому все делители числа n разбиваются на пары, сумма чисел в каждой из которых кратна 8 (числа в парах различны, поскольку квадрат от деления на 8 не даёт остаток 7).
Математика с нуля
Полезно знать следующие утверждения для решения данной задачи:
Попробуйте доказать данные утверждения. Как по мне, проще, чем сама задача.
Дроби.pdf
488.3 KB
Основной курс (А8К)
Урок 1.1: Дроби
Урок 1.1: Дроби
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.
👍2
Геометрия окружности.pdf
802.2 KB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.35: Геометрия окружности
Урок 1.35: Геометрия окружности
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.
👍1
Решил переработать формат конспектов. Теперь будут выходить приблизительно таким образом, как в прикреплённом файле выше. В них будет формальное определение, иногда идея более простыми словами, более того, можно найти "Связанные понятия", которые ссылаются на будущие или предыдущие конспекты. Свойства или другие сведения будут находится в других блоках (конспектах).
❤8
Иррациональные числа.pdf
68.2 KB
Теория чисел
Иррациональные числа
Иррациональные числа
Почему 1 не простое число?
Никто не мешает включить число 1 в определение простого числа. Однако такое определение будет неудобным в практических применениях понятия простого числа, в том числе в главном таком применении — основной теореме арифметики.
Из основной теоремы арифметики следует, что у каждого натурального числа, большего 1, имеется единственная каноническая форма записи.
Теперь становится ясным, почему 1 неудобно считать простым числом. Ведь если 1 — простое число, то основная теорема арифметики не будет выполнена. В самом деле,
18 = 2 * 3^2 = 1 * 2 * 3^2 = 1^(2009) * 2 * 3^2.
Таким образом, не будут совпадать ни наборы множителей, ни наборы показателей степеней в такой канонической форме записи.
Никто не мешает включить число 1 в определение простого числа. Однако такое определение будет неудобным в практических применениях понятия простого числа, в том числе в главном таком применении — основной теореме арифметики.
Из основной теоремы арифметики следует, что у каждого натурального числа, большего 1, имеется единственная каноническая форма записи.
Теперь становится ясным, почему 1 неудобно считать простым числом. Ведь если 1 — простое число, то основная теорема арифметики не будет выполнена. В самом деле,
18 = 2 * 3^2 = 1 * 2 * 3^2 = 1^(2009) * 2 * 3^2.
Таким образом, не будут совпадать ни наборы множителей, ни наборы показателей степеней в такой канонической форме записи.
❤2👍2
Математика с нуля
Почему 1 не простое число? Никто не мешает включить число 1 в определение простого числа. Однако такое определение будет неудобным в практических применениях понятия простого числа, в том числе в главном таком применении — основной теореме арифметики. Из…
Основная теорема арифметики.pdf
88.1 KB
Теория чисел
Основная теорема арифметики
Основная теорема арифметики
❤2
📌 Не забываем, что у нас есть англоязычная версия канала!
Если ты учишь английский или хочешь повторить математику в новом формате — у нас есть канал Math from Zero, где те же темы объясняются на английском языке.
🎓 Подойдёт и для практики языка, и для закрепления материала с другой стороны.
🔗 Ссылка: https://t.me/mathsfromscratch
Если ты учишь английский или хочешь повторить математику в новом формате — у нас есть канал Math from Zero, где те же темы объясняются на английском языке.
🎓 Подойдёт и для практики языка, и для закрепления материала с другой стороны.
🔗 Ссылка: https://t.me/mathsfromscratch
Telegram
Math From Zero
He took up geometry late; someone asked, "Is now the time for that?" "Isn't it time yet?" asked Lakid.
Channel chat: @mathsfromscratchchat
For any questions: @ederika
Channel chat: @mathsfromscratchchat
For any questions: @ederika
❤4