Математика с нуля
Найдите остаток от деления 3^11^9 на 7
3^11^9 ≡ 3^5 ≡ 5 (mod 7).
👍2❤1
Математика с нуля
Докажите, что число 199 519 961 997 не является квадратом никакого натурального числа
квадраты натуральных чисел давать не могут
👍1
Математика с нуля
Существует ли натуральное число n, такое, что: а) (n^2 + n +1) | 1996; b) (n^2 + n + 1) | 1995?
b) Верно, что: 1995 | 5.
Тогда n^2+n+1 = 0 (mod 5).
Возможные остатки от деления n на 5: 0, 1, 2, 3, 4.
Пусть n = 0 (mod 5), тогда n^2 = 0 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 1 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 1 (mod 5), тогда n^2 = 1 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 3 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 2 (mod 5), тогда n^2 = 4 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 7 = 2 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 3 (mod 5), тогда n^2 = 9 = 4 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 8 = 3 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 4 (mod 5), тогда n^2 = 16 = 1 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 6 = 1 (mod 5), противоречие.
Перебрав все возможные остатки, мы выяснили, что n^2+n+1 ≠ 0 (mod 5) ни при каких n.
Чтобы n^2+n+1 делилось на 1995, оно должно делится на каждый из делителей 1995, но на 5 n^2+n+1 не делится, следовательно, на 1995 тоже.
👍4
Математика с нуля
Жаль конечно, что ответы не за ⭐ открываются, да?
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Математика с нуля
Докажите, что сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел не есть точный квадрат.
1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
1, 1, 0, 1, 1, 0, ...
Видно, что остатки повторяются. Остаток от деления суммы трех квадратов последовательных натуральных чисел равен либо 1+1+0, либо 0+1+1, то есть всегда равен 2. Квадрат натурального числа имеет остатки 0,1 от деления на 3, получили противоречие.
Следовательно, сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел не есть точный квадрат.
Решите сравнения:
а) 13х - 6 ≡ 6х + 13 (mod 18);
b) х^2 - 2х + 14 ≡ 0 (mod 17).
а) 13х - 6 ≡ 6х + 13 (mod 18);
b) х^2 - 2х + 14 ≡ 0 (mod 17).
Натуральное число n таково, что (n + 1) | 8. Докажите, что сумма всех натуральных делителей числа n также делится на 8.
Операции_над_высказываниями_и_предикатами_Отрицание.pdf
174.4 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.24: Операции над высказываниями и предикатами. Отрицание
Урок 1.24: Операции над высказываниями и предикатами. Отрицание
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.
Теорема Чевы.pdf
350.5 KB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.34: Теорема Чевы
Урок 1.34: Теорема Чевы
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.
Задача дня
Докажите, что при различных m и n числа 2^m и 2^n имеют различные наборы цифр в десятичной записи.
Докажите, что при различных m и n числа 2^m и 2^n имеют различные наборы цифр в десятичной записи.
Математика с нуля
Задача дня Докажите, что при различных m и n числа 2^m и 2^n имеют различные наборы цифр в десятичной записи.
Итак, (2^n)*(2^[m − n] − 1) | 9.
Перебором остатков степеней 2 по модулю 9 убеждаемся, что наименьшее число k, такое, что 2^k − 1 кратно 9 — это число 6. Поэтому m − n ≥ 6.
Но тогда (2^m)/(2^n) ≥ 2^6 > 10, откуда количества цифр в десятичной записи (и подавно последовательности этих цифр) чисел 2^m и 2^n различны.
❤1
Задача дня
Решите в целых числах уравнение:
1) 2^x + 65 = y^2;
2) n! - 1 = k^2.
Решите в целых числах уравнение:
1) 2^x + 65 = y^2;
2) n! - 1 = k^2.
Задача дня
Выписаны подряд все натуральные числа от 1 до n.
а) n = 2008. Делится ли полученное число на 3?
б) Каким должно быть n, чтобы полученное число делилось на 3? (Опишите n в терминах остатков от деления.)
Выписаны подряд все натуральные числа от 1 до n.
а) n = 2008. Делится ли полученное число на 3?
б) Каким должно быть n, чтобы полученное число делилось на 3? (Опишите n в терминах остатков от деления.)
Математика с нуля
Задача дня Решите в целых числах уравнение: 1) 2^x + 65 = y^2; 2) n! - 1 = k^2.
Отметим, что x — положительное число. Кроме того, при одном и том же x из одной пары (x; у), являющейся решением, получается другая пара (x; −у), также являющаяся решением нашего уравнения. Поэтому в дальнейшем можно считать, что у — натуральное число.
Правая часть по модулю 5 может давать остатки 0, 1 или 4. Перебором остатков степеней 2 убеждаемся, что левая часть даёт при делении на 5 остатки 1 или 4 при чётных x. Поэтому решения уравнения существуют лишь с чётными х.
Пусть х = 2а, тогда 2^(2а) + 65 = у^2, откуда 65 = у^2 − 2^(2a), т. е. 65 = (у − 2^a)(у + 2^а).
Поскольку второй множитель положителен, то первый тоже должен быть положителен и при этом меньше, чем второй. Таких разложений числа 65 на множители имеется два: 65 = 1 ⋅ 65 и 65 = 5 ⋅ 13.
Таким образом, осталось решить в натуральных числах две системы уравнений:
1)
y − 2^2 = 1, y + 2^2 = 65, откуда y = 33, a = 5
и
y − 2^a = 5, y + 2^a = 13, откуда у = 9, а = 2.
Таким образом, уравнение в целых числах имеет четыре решения: (10; 33); (10; −33); (4; 9); (4; −9).
2) При n ≥ 3 левая часть даёт остаток 2 при делении на 3, т. е. не может быть равна квадрату целого числа. Проверка показывает, что n = 0, n = 1 и n = 2 дают решения этого уравнения. То есть уравнение имеет три решения: (0; 0); (1; 0); (2; 1).
Математика с нуля
Натуральное число n таково, что (n + 1) | 8. Докажите, что сумма всех натуральных делителей числа n также делится на 8.
Пусть n = kd.
Перебирая остатки от деления на 8, можно убедиться, что если d ≡ m (mod 8), то k ≡ 8 − m (mod 8).
Поэтому все делители числа n разбиваются на пары, сумма чисел в каждой из которых кратна 8 (числа в парах различны, поскольку квадрат от деления на 8 не даёт остаток 7).
Математика с нуля
Полезно знать следующие утверждения для решения данной задачи:
Попробуйте доказать данные утверждения. Как по мне, проще, чем сама задача.
Дроби.pdf
488.3 KB
Основной курс (А8К)
Урок 1.1: Дроби
Урок 1.1: Дроби
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.
👍2