Задача дня

Докажите, что катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы

Дроби: Полное Руководство

Дробь — это число, которое состоит из двух частей: числителя и знаменателя.

Дробь записывается в виде:
a / b

где:
• a — числитель,
• b — знаменатель (b ≠ 0, так как на ноль делить нельзя).

Пример:

3 / 5 означает, что целое разделено на 5 равных частей, из которых взяты 3.

Виды дробей

1. Обыкновенные дроби

Это дроби вида a / b, где a и b — целые числа.

Они делятся на:
• Правильные дроби: |a| < |b|. Пример: 3 / 7.
• Неправильные дроби: |a| ≥ |b|. Пример: 7 / 5.

Неправильные дроби можно представить в виде смешанных чисел:
7 / 5 = 1 + 2 / 5.

2. Десятичные дроби

Это дроби, у которых знаменатель — степень 10 (например, 10, 100, 1000). Они записываются через запятую:
0.5 = 5 / 10, 1.25 = 125 / 100.

Десятичные дроби бывают:
• Конечные: дробь имеет ограниченное число цифр после запятой. Пример: 0.75.
• Бесконечные: дробь имеет бесконечное количество цифр после запятой.
Такие дроби делятся на:
• Периодические: цифры повторяются циклично. Пример: 0.333... = 0.(3).
• Непериодические: цифры не повторяются. Пример: π = 3.141592....

3. Смешанные числа

Это числа, состоящие из целой части и дробной. Пример:
2 3 / 4, что равно 2 + 3 / 4.

4. Отрицательные дроби

Если дробь умножить на -1, она становится отрицательной:
-3 / 4.

Основные свойства дробей

1. Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля), её значение не изменится:
a / b = ka / kb, где k ≠ 0.

Пример:

3 / 5 = 6 / 10 = 9 / 15.
2. Сокращение дробей
Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь можно сократить:
6 / 9 = 2 / 3.
3. Приведение к общему знаменателю
Для сложения или вычитания дробей их приводят к общему знаменателю:
1 / 3 + 1 / 4 = 4 / 12 + 3 / 12 = 7 / 12.

Как устроена бесконечность: исследуем парадокс Гильберта

Бесконечность — понятие, которое завораживает людей на протяжении тысячелетий. Но как математика обращается с этим загадочным явлением? Один из самых ярких примеров её странной природы — парадокс Гильберта, история про бесконечный отель, который никогда не бывает полным.

Что такое отель Гильберта?
Представьте себе отель с бесконечным числом номеров. Все они пронумерованы:
1, 2, 3, 4, …
Однажды в этот отель приезжает бесконечное количество постояльцев, и каждый из них занимает свой номер. На первый взгляд, отель полностью занят. Но что произойдёт, если приедет ещё один гость?

Переселение одного гостя
Администратор отеля находит выход! Он просит каждого постояльца из номера n переселиться в номер n + 1:
n → n + 1
Теперь номер 1 свободен, и нового гостя можно разместить в освободившемся месте. Бесконечный отель легко справляется с новыми "гостями".

Что делать, если приедет бесконечное количество гостей?
Теперь в отель приезжает ещё одна бесконечная группа людей. Как разместить их всех? Администратор переселяет всех нынешних постояльцев в номера с чётными номерами:
n → 2n
После этого все нечётные номера (1, 3, 5, …) остаются свободными, и новые гости могут занять их:
k → 2k - 1, где k = 1, 2, 3, …

Бесконечность плюс бесконечность: странности не заканчиваются
Что, если к отелю приедет бесконечное количество бесконечных групп? Сможет ли отель справиться? Ответ — да!
Администратор находит новый план. Пусть:

нынешние гости переселяются в номера, кратные 2:
n → 2^1 * n,
новая бесконечная группа занимает номера, кратные 3:
k → 3^1 * k,
следующая группа занимает номера, кратные 5, и так далее, по всем простым числам.
Таким образом, каждому гостю можно выделить уникальное место, используя свойства взаимно простых чисел.

Что мы узнали о бесконечности?
Отель Гильберта показывает, что бесконечность в математике не ведёт себя как конечные числа. Например:
∞ + 1 = ∞,
∞ + ∞ = ∞,
даже ∞ * ∞ = ∞.
Эти свойства описываются с помощью теории множеств, разработанной Георгом Кантором. Например, натуральные числа и целые числа имеют одинаковую мощность, даже если кажется, что целых чисел "больше".

Пусть радианная мера отрого угла равна x. Докажите неравенство: sin(x)<x.

Пусть радианная мера отрого угла равна x. Докажите неравенство: tg(x)>x.

S_ABC=tg(x)/2;
S_AMC=x/2;
S_ABC>S_AMC => tg(x)/2>x/2 => tg(x)>x.

Докажите формулу: sin^2(x)+cos^2(x)=1.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, угол при основании равен х.

Найдите:
1) высоту, опущенную на основание;
2) высоту, опущенную на боковую сторону.

Интересная задачка: Найти cos 72°

Ясно, что не в гугле ответ посмотреть из калькулятора

А потом cos 36°.

Да, без формулы двойного угла

Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров?
1) в радианах;
2) в угловых минутах.

Если произведение двух взаимно простых чисел, больших 1, является k-й степенью натурального числа, то каждое из них является k-й степенью некоторого натурального числа.

То есть a*b=n^k, a,b>1, (a;b)=1, то a=n_1^k, b=n_2^k.

Докажите это.

Докажите, что число 199 519 961 997 не является квадратом никакого натурального числа

Существует ли натуральное число n, такое, что:
а) (n^2 + n +1) | 1996;
b) (n^2 + n + 1) | 1995?