А вы знали, что произвольные числа равны между собою?

Вот смотрите:

Докажем, что любые n чисел равны, т. е. если а ₁, а ₂ ..., а ₙ — произвольные числа, то а ₁ = а ₂ = а ₃ =. . . = а ₙ.

При n = 1 утверждение, очевидно, верно: у нас
есть одно число и оно равно самому себе.

Пусть утверждение верно для номера n, т. е. если а ₁, а ₂, ..., а ₙ — произвольные числа, то а ₁ = а ₂ = а ₃ = ... = а ₙ. Докажем утверждение с номером n + 1. Пусть у нас есть n + 1 число: а ₁ а ₂, ..., а ₙ, а ₙ ₊ ₁ Рассмотрим первые n чисел. Они равны по предположению индукции. Осталось доказать, что им равно и число а ₙ ₊ ₁. Для этого рассмотрим числа а ₂, ..., а ₙ, а ₙ ₊ ₁. Их ровно n, и, значит, по индукционному предположению они равны, т. е. а ₙ ₊ ₁ равно первым n числам, что и требовалось доказать.

;^)

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Докажите, что для всех натуральных n число, записываемое З ⁿ единицами, делится на 3 ⁿ.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Докажите, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов, начиная с шести.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня №2

Сложность – ⭐️⭐️

У каждого из n человек появилась новость. Два человека в разговоре передают друг другу все известные им новости. Докажите, что n человек (при n > 3) могут за 2n - 4 разговора передать друг другу все новости (т. е. чтобы каждый знал новость каждого).

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Сколько различных натуральных делителей имеет число 2 ⁿ ⋅ 3 ᵐ?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️⭐️

Обобщение предыдущей задачи.
Сколько натуральных деталей у числа на фото, если числа p ₁, p ₂, p ₃,..., p ₙ – простые, а ₁, а ₂, а ₃,..., а ₙ – натуральные?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Решение

Натуральный делитель числа 2 ⁿ ⋅ 3 ᵐ имеет вид 2 ᵃ ⋅ 3 ᵇ, где

0 <= a <= n,
0 <= b <= m.

Указанные пары однозначно определяют делитель. Поэтому делителей столько же, сколько пар чисел a и b.

Число а можно выбрать n + 1 способом, число b можно выбрать m + 1 способом. Поэтому искомое число пар равно (m + 1)(n + 1).

Ответ

(a_1 + 1)(a_2 + 1)(a_3 + 1)*...*(a_n + 1)

Почему так?

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️⭐️

У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня №2

Сложность – ⭐️⭐️⭐️

Сколько точек пересечения диагоналей в выпуклом n-угольнике, если никакие 3 диагонали не пересекаются в одной точке?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Ужасно простое решение, но "заметить" его не так просто.

Подсказка

Ответ совсем рядом.

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️⭐️⭐️

Незаурядная задача у нас сегодня:

На плоскости дано 1980 векторов, причем среди них есть неколлинеарные. Известно, что сумма любых 1979 векторов коллинеарна с вектором, не включенным в сумму. Докажите, что сумма всех 1980 векторов равна нулевому вектору.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Основной курс (Г8К)
Урок 1.24: Выпуклые многоугольники

Ознакомимся немного с выпуклыми фигурами. Ну, полуплоскость там, к примеру. Поведаем два определения выпуклых многоугольников и прочее.

Напомню, что каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.

Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️⭐️

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Интересно, что в рассказе «Последнее дело Холмса» Конан Дойль, характеризуя
профессора Мориарти, говорит, что тот потряс ученый мир Европы своим трактатом о биноме Ньютона. Однако в то время (вторая половина XIX в.) ничего нового и потрясающего про бином Ньютона доказать было невозможно.
И Булгаков, и Конан Дойль используют понятие «бином Ньютона» как синоним некоторого сложного недоступного знания, что, очевидно, отнюдь не так!

Почему 0.999... или 0.(9) = 1?

Здесь рассмотрено такой интересный факт, который полезно знать при решении некоторых задач и даже при изучении некоторой теории (как, к примеру, в теории множеств [теорема Кантора]). Данный факт имеет уйму доказательств, но выбран был один, довольно тривиальный, доступный многим.

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️⭐️

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Основной курс (Г8К)
Урок 1.25: Вписанные и описанные окружности

В данном уроке описаны некоторые свойства окружностей и многоугольников, вписанных в них. Рассматривается такая важная теорема, как "Около каждого треугольника можно описать окружность" и другие.

Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.

Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓