Основной курс (Г8К)
Урок 1.22: Многоугольники и окружности

В данном уроке рассматривается некоторые понятие, касающиеся окружности, ее элементов, рассмотрены многие их свойства, далее вас должна заинтересовать теорема о характерном свойстве касательной к окружности.

Напомню, что каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.

Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Известно, что на вопрос: "Кто из трёх учеников отличник?" получен верный ответ: "Если Андрей – отличник, то и Вася – отличник, но неверно, что если Борис – отличник, то и Вася – отличник". Кто отличник?

Кто тут у нас отличник? Решаем-с.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Решение*

Запишем высказывания:

a: "Андрей – отличник",
b: "Боря – отличник",
c: "Вася – отличник".

Тогда высказывание выглядит так:

(а --> b) ∧ ¬(b --> c). Так как данное истинное высказывание представляет собой конъюнкции двух высказываний, то оба высказывания a --> b и ¬(b --> c) должны быть истинными. Тогда высказывание b --> c должно быть ложно. Импликация ложна, если b истинно, а c ложно. Но если с ложно и а --> с истинно, значит, а ложно. Таким образом, отличником является Борис.

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Пусть имеется полк солдат и в составе этого полка парикмахер. Командир полка издал приказ "Парикмахер бреет тех и только тех воинов полка, кто не бреет себя сам". Может ли этот приказ быть выполнен?

К слову, это так называемый Парадокс Рассела. Дааа в конце концов, всё подстригутся или нет? 😤

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Решение*

Если этот приказ можно выполнить, то полк разобьется на 2 множества:
тех воинов, кого бреет парикмахер, и тех, кого он не бреет.

Попробуем выяснить, в какое множество входит парикмахер.
Если он входит в первое множество, то, по определению этого множества, он бреет себя сам и, тем самым, нарушает приказ. Если же парикмахер входит во второе множество, то, по определению этого
множества, он себя не бреет и, опять-таки, нарушает приказ.
Таким образом, приказ командира полка невозможно выполнить.

Доброго времени суток, ребята.

Хочу обратить ваше внимание, что у нас появился второй канал, где контент полностью на английском.
Это может быть вдвойне полезно тем, кто хочет подтянуть свой математический английский и математику.

https://t.me/mathfromzerotoinf

Интересный факт

Обычно в формулировки теорем не включают квантор всеобщности, а формулируют только импликацию.

Например, «В прямоугольном
треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» вместо «Для любого треугольника если он прямоугольный,
то сумма квадратов его катетов равна квадрату гипотенузы».

На самом деле даже последняя формулировка не совсем точная, поскольку понятия «катет» и «гипотенуза» относятся к
прямоугольным треугольникам. В то же время предикат-посылка
«он прямоугольный» задан на множестве всех треугольников, значит,
предикат-заключение тоже должен быть задан на множестве всех треугольников, а к сторонам произвольного треугольника понятия «катет» и «гипотенуза» неприменимы.

Поэтому уточненная
формулировка может быть такой: «Для любого треугольника если
он прямоугольный, то квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон».

Основной курс (Г8К)
Урок 1.23: Взаимное расположение прямой и окружности

В данном уроке будут перечислены все возможные случаи расположения прямой и окружности, затем обобщение для произвольной фигуры. Рассказано про диаметр и ширину фигуры. Вы узнаете, что такое ограниченная фигура и некоторые ее интересные свойства.

Напомню, что каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.

Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓

Интересный факт

С одним утверждением вида Р => Q (назовем его прямым утверждением)
связаны еще три теоремы:
Q => Р — утверждение, обратное исходному;
¬P => ¬Q — утверждение, противоположное прямому;
¬Q => ¬P — утверждение, противоположное обратному.

Ясно, что истинностные значения прямого и обратного утверждений
могут быть разными (например: «Если углы вертикальны, то они
равны» — истинное утверждение, обратное исходному, «Если углы
равны, то они вертикальны» — ложное утверждение). Вместе с тем
свойство P --> Q = ¬P --> ¬Q указывает, что прямое утверждение и противоположное
обратному истинны или ложны одновременно. Именно на этом
основан метод доказательства от противного: вместо доказательства
теоремы Р => Q мы доказываем теорему ¬P => ¬Q.

Ребята, а как вы думаете:

В чем разница между A --> B и A => B?

P. S.
Сегодня будет ответ на данный вопрос ;)

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Прикаких вещественных a предикат является тождеством:

а) (х < а) ∨ (x > 2);
б) ((x - 1)(x - a) ≤ 0) ∨ ((x - 1)(x - a) > 0;
в) ((x -1)(x - 2) ≤ 0) ∨ ((x - a)(x - 2) > 0;
г) ((x - 2)(x - a) ≥ 0) --> ((x - 3)(x - 1) ≥ 0);
д) ((х - а)(х - 2а) ≤ 0) ∨ (a + 1 ≤ x ≤ a + 2)) --> (x ∈ (2; 15));
е) ((3 ≤ х ≤ 6) --> ((х - а)(х - 2а) ≤ 0)) --> (а - 1 ≤ х ≤ а + 1)?

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Изобразите множество точек, при подстановке соответствующих координат которых данных предикат обращается в истинное высказывание:

(x + y = 1) ∧ ((x ≤ 3) --> (x > y)).

Жду ваши варианты в комментариях

Объяснение

A --> B – импликация, то есть придикат, а А => B – следование, то есть высказывание. Иначе говоря:

Пусть A = P(x), B = Q(x), тогда верно следующее:

∀x (P(x) --> Q(x)) = P(x) => Q(x).

Важно заметить, что высказывание P(x) => Q(x) истинно тогда и только тогда, когда M ⊂ K, где M = {x: P(x)}, K = {x: Q(x)}.

Задача дня

Сложность – ⭐️

Приведите пример возможного универсума для:
а) множества всех ромбов;
б) множества всех равносторонних треугольников;
в) множества всех правильных многоугольников;
г) множества всех кругов и многоугольников.
Приведите пример общего универсума для множеств пунктов а—г.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Найдите все х ∈ R, такие, что:

{х; x² - 1; 2x + 1} ⊂ [0; 17]

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Забавный лингвистический пример

Известна поговорка:
«Кто не рискует, тот не пьет шампанского». Сформулируем ее
в форме следования: «Для любого человека если он не рискует, то
не пьет шампанского». Сформулируем теперь теорему, противоположную
обратной: «Для любого человека если он пьет шампанское,
то он рискует». Иначе говоря: «Кто пьет шампанское, тот рискует»!
Зерно этого парадокса в том, что смысл данных высказываний
в обыденном языке не совпадает с их смыслом в языке формальной
логики.

А вы знали, что произвольные числа равны между собою?

Вот смотрите:

Докажем, что любые n чисел равны, т. е. если а ₁, а ₂ ..., а ₙ — произвольные числа, то а ₁ = а ₂ = а ₃ =. . . = а ₙ.

При n = 1 утверждение, очевидно, верно: у нас
есть одно число и оно равно самому себе.

Пусть утверждение верно для номера n, т. е. если а ₁, а ₂, ..., а ₙ — произвольные числа, то а ₁ = а ₂ = а ₃ = ... = а ₙ. Докажем утверждение с номером n + 1. Пусть у нас есть n + 1 число: а ₁ а ₂, ..., а ₙ, а ₙ ₊ ₁ Рассмотрим первые n чисел. Они равны по предположению индукции. Осталось доказать, что им равно и число а ₙ ₊ ₁. Для этого рассмотрим числа а ₂, ..., а ₙ, а ₙ ₊ ₁. Их ровно n, и, значит, по индукционному предположению они равны, т. е. а ₙ ₊ ₁ равно первым n числам, что и требовалось доказать.

;^)

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Докажите, что для всех натуральных n число, записываемое З ⁿ единицами, делится на 3 ⁿ.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я

Задача дня

Сложность – ⭐️⭐️

Докажите, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов, начиная с шести.

Источник. Алгебра 10, Пратусевич М. Я