Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Задайте формулой n-го члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Задайте формулой n-го члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
👍1
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
В плоскости проведено n различных окружностей так, что каждые две из них пересекаются в двух точках и никакие три из них не имеют общую точку. Докажите, что окружности разбивают плоскость на n(n - 1) + 2 частей.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
В плоскости проведено n различных окружностей так, что каждые две из них пересекаются в двух точках и никакие три из них не имеют общую точку. Докажите, что окружности разбивают плоскость на n(n - 1) + 2 частей.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
👍1
Задача №1.pdf
80.6 KB
Выкладываю тестовый вариант вида задач на канале. Пишите свое мнение на этот счёт в комментариях, лучше ли, хуже?
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите x, если:
5³ ⋅ 5⁶ ⋅ 5⁹ ⋅ ... ⋅ 5³ˣ = (0.008)⁻⁵⁵
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите x, если:
5³ ⋅ 5⁶ ⋅ 5⁹ ⋅ ... ⋅ 5³ˣ = (0.008)⁻⁵⁵
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Урок о геометрической прогрессии будет в одном из данных алгебры 9 класса. Впрочем, я не оставлю вас без удовольствия подумать над выводом
Кстати, а что будет если q = 1? (где q – знаменатель прогрессии)
Удачи 🤓
P. S. В течении недели я покажу несколько.
формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии. Попробуйте сделать это самостоятельно. Сколько способов у вас получится? Кстати, а что будет если q = 1? (где q – знаменатель прогрессии)
Удачи 🤓
P. S. В течении недели я покажу несколько.
👍3❤1
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Известно, что геометрическая прогрессия (b ₙ) содержит 2n членов. Сумма членов, стоящих на чётных местах, равна S ₁, а сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна S ₂. Найдите знаменатель прогрессии.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Известно, что геометрическая прогрессия (b ₙ) содержит 2n членов. Сумма членов, стоящих на чётных местах, равна S ₁, а сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна S ₂. Найдите знаменатель прогрессии.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
👍2
Математика с нуля
Урок о геометрической прогрессии будет в одном из данных алгебры 9 класса. Впрочем, я не оставлю вас без удовольствия подумать над выводом формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии. Попробуйте сделать это самостоятельно. Сколько способов у вас…
Доказательство №1
Рассмотрим разности соседних членов прогрессии, то есть: b ₂ - b ₁, b ₃ - b ₂, b ₄ - b ₃, ... , b ₙ - b ₙ ₋ ₁, b ₙ ₊ ₁ - b ₙ
Имеем: b ₁ (q - 1), b ₂ (q - 1), b ₃ (q - 1), ... , b ₙ ₋ ₁ (q - 1), b ₙ (q - 1) Если все их выписать, то легко заметить, что это есть искомая сумма умноженная на (q - 1). Получаем:
S ₙ ⋅ (q - 1) = (b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ ) ⋅ (q - 1), но наша сумма b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ = b ₙ ₊ ₁ - b ₁, как это видно, если выписать все члены в общем виде, откуда следует:
S ₙ = (b ₙ ₊ ₁ - b ₁)/(q - 1).
P. S. Попробуйте порисовать члены прогрессии в геометрическом представлении и посмотреть на их разности, чтобы лучше уяснить, как до этого доказательства можно дойти.
Рассмотрим разности соседних членов прогрессии, то есть: b ₂ - b ₁, b ₃ - b ₂, b ₄ - b ₃, ... , b ₙ - b ₙ ₋ ₁, b ₙ ₊ ₁ - b ₙ
Имеем: b ₁ (q - 1), b ₂ (q - 1), b ₃ (q - 1), ... , b ₙ ₋ ₁ (q - 1), b ₙ (q - 1) Если все их выписать, то легко заметить, что это есть искомая сумма умноженная на (q - 1). Получаем:
S ₙ ⋅ (q - 1) = (b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ ) ⋅ (q - 1), но наша сумма b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ = b ₙ ₊ ₁ - b ₁, как это видно, если выписать все члены в общем виде, откуда следует:
S ₙ = (b ₙ ₊ ₁ - b ₁)/(q - 1).
P. S. Попробуйте порисовать члены прогрессии в геометрическом представлении и посмотреть на их разности, чтобы лучше уяснить, как до этого доказательства можно дойти.
Задача дня
Сложность — ⭐️
Может ли у множества А быть ровно на 2000 подмножеств больше, чем у множества В?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Сложность — ⭐️
Может ли у множества А быть ровно на 2000 подмножеств больше, чем у множества В?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Математика с нуля
Задача дня Сложность — ⭐️ Может ли у множества А быть ровно на 2000 подмножеств больше, чем у множества В? Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Может ли у множества А быть ровно 2000 подмножеств, не являющихся ни подмножествами множества В, ни подмножествами множества С?
Задача дня №2
Сложность — ⭐️⭐️
Выведите формулу произведения первых n членов геометрической прогрессии.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Выведите формулу произведения первых n членов геометрической прогрессии.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Докажите, что если (x ₙ) – последовательность десятичных дробей, которые получаются, если в бесконечной периодической десятичной дроби 0.(3) оставить одну, две, три и т. д. цифры после запятой, то данная последовательность имеет предел, который равен 1/3.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Докажите, что если (x ₙ) – последовательность десятичных дробей, которые получаются, если в бесконечной периодической десятичной дроби 0.(3) оставить одну, две, три и т. д. цифры после запятой, то данная последовательность имеет предел, который равен 1/3.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Оценки успеваемости в академии генерального штаба
Насколько глубокая система оценивания, но этим она и сложна, с другой стороны – проблематична, так как посредственному преподавателю оценить таким образом, где рамки весьма абстрактны, в высшей степени трудно, следственно, получаем уж слишком субъективную зависимость.
А что вы думаете насчёт такого оценивания? Хотели бы подобное?
Насколько глубокая система оценивания, но этим она и сложна, с другой стороны – проблематична, так как посредственному преподавателю оценить таким образом, где рамки весьма абстрактны, в высшей степени трудно, следственно, получаем уж слишком субъективную зависимость.
А что вы думаете насчёт такого оценивания? Хотели бы подобное?
Задача дня
Сложность — ⭐️
Докажите, что при любых a, b и с уравнение
(x - a)(x - b) + (x - a)(x - c) + (x - b)(x - c) = 0
имеет корни
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️
Докажите, что при любых a, b и с уравнение
(x - a)(x - b) + (x - a)(x - c) + (x - b)(x - c) = 0
имеет корни
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Представтье бесконечную десятичную периодическую дробь 0.8(3) в виде обыкновенной.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Представтье бесконечную десятичную периодическую дробь 0.8(3) в виде обыкновенной.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
В равносторонний треугольник со стороной 12 см вписан треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника. В полученный треугольник таким же способом вписан третий треугольник и т. д. Найдите сумму периметров и сумму площадей этих треугольников.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
В равносторонний треугольник со стороной 12 см вписан треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника. В полученный треугольник таким же способом вписан третий треугольник и т. д. Найдите сумму периметров и сумму площадей этих треугольников.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член относится к сумме последующих членов как 3 : 5
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член относится к сумме последующих членов как 3 : 5
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Задача дня
Сложность — ⭐️
Является ли ограниченной последовательность (c ₙ), если с ₙ = [5 + (-1) ⁿ]/n?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️
Является ли ограниченной последовательность (c ₙ), если с ₙ = [5 + (-1) ⁿ]/n?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Математика с нуля
Задача дня Сложность — ⭐️ Является ли ограниченной последовательность (c ₙ), если с ₙ = [5 + (-1) ⁿ]/n? Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓 Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
*Решение задачи
Пишите ваши замечания и решения в комментариях.
👍2
Задача дня
Сложность — ⭐️
Докажите, что если (a ₙ) – арифметическая прогрессия и
a ₚ + a ₘ = a ᵣ + a ᵢ, то p + m = r + i.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Сложность — ⭐️
Докажите, что если (a ₙ) – арифметическая прогрессия и
a ₚ + a ₘ = a ᵣ + a ᵢ, то p + m = r + i.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.
Теория чисел — это ветвь математики, имеющая дело с целыми положительными числами
1, 2, 3…,
которые также называют натуральными числами.
Археология и история учат нас, что человек рано начал считать. Сначала он научился складывать числа, потом, много позже, умножать и вычитать их. Деление чисел было необходимым для распределения на равные части кучи яблок или улова рыбы. Эти действия над числами называются вычислениями. В некоторых случаях последовательность вычислений называют «калькуляцией». Это слово происходит от латинского calculus, означающего «маленький камень», поскольку римляне пользовались морской галькой при вычислениях на своих счетных досках.
Как только люди немного научились считать, этот процесс стал приятным времяпровождением для многих людей, склонных к абстрактному теоретизированию. Знания о числах накапливались в течение многих веков, порождая интерес к новым исследованиям, которые в свою очередь приумножали эти накопления. И сейчас, в современной математике, мы имеем величественную конструкцию, известную как теория чисел. Некоторые части этой теории все еще составляют простые игры с числами, а другие относятся к наиболее трудным и сложным разделам математики.
А чем удивил вас этот раздел математики? Насколько серьезно с ним сталкивались?
1, 2, 3…,
которые также называют натуральными числами.
Археология и история учат нас, что человек рано начал считать. Сначала он научился складывать числа, потом, много позже, умножать и вычитать их. Деление чисел было необходимым для распределения на равные части кучи яблок или улова рыбы. Эти действия над числами называются вычислениями. В некоторых случаях последовательность вычислений называют «калькуляцией». Это слово происходит от латинского calculus, означающего «маленький камень», поскольку римляне пользовались морской галькой при вычислениях на своих счетных досках.
Как только люди немного научились считать, этот процесс стал приятным времяпровождением для многих людей, склонных к абстрактному теоретизированию. Знания о числах накапливались в течение многих веков, порождая интерес к новым исследованиям, которые в свою очередь приумножали эти накопления. И сейчас, в современной математике, мы имеем величественную конструкцию, известную как теория чисел. Некоторые части этой теории все еще составляют простые игры с числами, а другие относятся к наиболее трудным и сложным разделам математики.
А чем удивил вас этот раздел математики? Насколько серьезно с ним сталкивались?