Задача дня

Сложность — ⭐️

Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: "Сказки и подсказки", Козлова Е.Г.

Основной курс (Г8К)
Урок 1.15:  Косинус

Продолжаем знакомство с тригонометрическими функциямя.
В данном уроке вы познакомитесь с определение косинуса. Узнаете, что он, в отличии от синуса, определяет угол однозначно.

Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓

Мне кажется, что не зря геометрию считают трудным предметом сравнительно хотя бы с алгеброй. Трудность ее в том, что по сравнению со второй она мало алгоритмизирована. Почти каждую содержательную задачу можно решить несколькими способами, использую различные методы. Поэтому геометрия содержит в себе огромный потенциал для развития гибкости ума, пластичности мышления и конструктивных способностей.

А что вы думаете на этот счёт? Что для вас сложнее?

Задача дня

Сложность — ⭐️

Задайте рекуррентным способом последовательность:
а) треугольных чисел;
б) квадратных чисел;
в) пятиугольных чисел.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Сколько членов последовательности (bₙ), где bₙ = (n²-12)/n, изображаются в координатной плоскости точками, расположенными внутри полосы, ограниченной прямыми y = 3 и y = 6? Найдите эти члены последовательности.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Является ли ограниченной последовательность (aₙ), если:

aₙ = ((-1)ⁿ-(-1)ⁿ⁺¹)/n

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Постройте в координатной плоскости треугольник, который задаёт объединение множеств:

{y | y ≤ x + 2} ∩ {y | y ≤ -x +2} ∩ {y | y ≥ -5}

Определите его площадь.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

#задача
В классе из 10 человек нет двух людей с одинаковым весом. Что больше: среднее арифметическое всех этих весов или среднее арифметическое весов шести самых худых учеников?

Задача дня

Сложность — ⭐️

Выведите формулу суммы первых n нечётных натуральных чисел.

(Помогут знания ММИ)

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня №2

Сложность — ⭐️⭐️

Является ли ограниченной последовательность (aₙ) , если:

а) aₙ = {n² - 4n + 3};
б) aₙ = n² - 4n + 3;
в) aₙ = sgn(n² - 4n + 3).

Ограничена ли какая-то из этих последовательностей?

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня №3

Сложность — ⭐️⭐️

Докажите, что:

5ⁿ - 3ⁿ + 2n кратно 4.

(Помогут знания ММИ)

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

В плоскости проведено n различных прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что эти прямые разбивают плоскость на n(n+1)/2 + 1 частей.


Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Задайте формулой n-го члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

В плоскости проведено n различных окружностей так, что каждые две из них пересекаются в двух точках и никакие три из них не имеют общую точку. Докажите, что окружности разбивают плоскость на n(n - 1) + 2 частей.


Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Выкладываю тестовый вариант вида задач на канале. Пишите свое мнение на этот счёт в комментариях, лучше ли, хуже?

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Найдите x, если:

5³ ⋅ 5⁶ ⋅ 5⁹ ⋅ ... ⋅ 5³ˣ = (0.008)⁻⁵⁵


Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Урок о геометрической прогрессии будет в одном из данных алгебры 9 класса. Впрочем, я не оставлю вас без удовольствия подумать над выводом формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии. Попробуйте сделать это самостоятельно. Сколько способов у вас получится?
Кстати, а что будет если q = 1? (где q – знаменатель прогрессии)

Удачи 🤓

P. S. В течении недели я покажу несколько.

Задача дня

Сложность — ⭐️⭐️

Известно, что геометрическая прогрессия (b ₙ) содержит 2n членов. Сумма членов, стоящих на чётных местах, равна S ₁, а сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна S ₂. Найдите знаменатель прогрессии.


Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Источник: Алгебра 9 класс, Макарычев Ю. Н.

Доказательство №1

Рассмотрим разности соседних членов прогрессии, то есть: b ₂ - b ₁, b ₃ - b ₂, b ₄ - b ₃, ... , b ₙ - b ₙ ₋ ₁, b ₙ ₊ ₁ - b ₙ
Имеем: b ₁ (q - 1), b ₂ (q - 1), b ₃ (q - 1), ... , b ₙ ₋ ₁ (q - 1), b ₙ (q - 1) Если все их выписать, то легко заметить, что это есть искомая сумма умноженная на (q - 1). Получаем:

S ₙ ⋅ (q - 1) = (b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ ) ⋅ (q - 1), но наша сумма b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... + b ₙ ₋ ₁ + b ₙ = b ₙ ₊ ₁ - b ₁, как это видно, если выписать все члены в общем виде, откуда следует:
S ₙ = (b ₙ ₊ ₁ - b ₁)/(q - 1).

P. S. Попробуйте порисовать члены прогрессии в геометрическом представлении и посмотреть на их разности, чтобы лучше уяснить, как до этого доказательства можно дойти.

Задача дня

Сложность — ⭐️

Может ли у множества А быть ровно на 2000 подмножеств больше, чем у множества В?

Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓

Может ли у множества А быть ровно 2000 подмножеств, не являющихся ни подмножествами множества В, ни подмножествами множества С?