Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Дана окружность радиусом 1. В неё вписывается правильный многоугольник и около неё описывается правильный многоугольник, причём с одинаковым числом сторон. Сколько надо взять сторон, чтобы разность их площадей была меньше 0.1?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Сложность — ⭐️⭐️
Дана окружность радиусом 1. В неё вписывается правильный многоугольник и около неё описывается правильный многоугольник, причём с одинаковым числом сторон. Сколько надо взять сторон, чтобы разность их площадей была меньше 0.1?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
а) Дан круг радиусом 1. Его требуется накрыть равными кругами, меньшими данного. Каким должен быть их радиус, если кругов два? А если три?
б) Даны три круга радиусом 1. Чему равен радиус наибольшего круга, который можно покрыть этими кругами? Обобщите задачу.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Сложность — ⭐️⭐️
а) Дан круг радиусом 1. Его требуется накрыть равными кругами, меньшими данного. Каким должен быть их радиус, если кругов два? А если три?
б) Даны три круга радиусом 1. Чему равен радиус наибольшего круга, который можно покрыть этими кругами? Обобщите задачу.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Параллелограмм и его площадь.pdf
314.3 KB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.4: Параллелограмм и его площадь
В данном уроке вы познакомитесь со следующими фигурами: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Узнаете о их свойствах и признаках. Точнее о характеристических свойствах данных фигур.
Например, квадрат называется четырехугольник, у которого все стороны и углы равны. Он является прямоугольником, ромбом и параллелограммом одновременно. (У него нет характерных свойств, так как квадрат — это совокупность свойств параллелограмма, прямоугольника и ромба)
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.4: Параллелограмм и его площадь
В данном уроке вы познакомитесь со следующими фигурами: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Узнаете о их свойствах и признаках. Точнее о характеристических свойствах данных фигур.
Например, квадрат называется четырехугольник, у которого все стороны и углы равны. Он является прямоугольником, ромбом и параллелограммом одновременно. (У него нет характерных свойств, так как квадрат — это совокупность свойств параллелограмма, прямоугольника и ромба)
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Конвей, с легкостью делающий невозможное (теория узлов).
👍1
Цитата
"Построения математического ума являются одновременно и свободными, и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? Мы не можем не чувствовать, что некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих учёных, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления. Каждый, кто созерцает зрелище современной алгебры, будет поражён этой взаимодополнительностью свободы и необходимости." — Герман Вейль
"Построения математического ума являются одновременно и свободными, и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? Мы не можем не чувствовать, что некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих учёных, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления. Каждый, кто созерцает зрелище современной алгебры, будет поражён этой взаимодополнительностью свободы и необходимости." — Герман Вейль
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
По преданию. Фалес Милетский измерил высоту пирамиды по длине ее тени в тот момент, когда длина тени предмета была равна его высоте. На что мог опираться Фалес в своих рассуждениях?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Сложность — ⭐️⭐️
По преданию. Фалес Милетский измерил высоту пирамиды по длине ее тени в тот момент, когда длина тени предмета была равна его высоте. На что мог опираться Фалес в своих рассуждениях?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Математика с нуля
Задача дня Сложность — ⭐️⭐️ По преданию. Фалес Милетский измерил высоту пирамиды по длине ее тени в тот момент, когда длина тени предмета была равна его высоте. На что мог опираться Фалес в своих рассуждениях? Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение…
Решение задачи
Фалес опирался на подобие треугольников.
Вставив некоторый предмет перпендикулярно земле (скорее всего посох или что-то в этом роде), он выждал момент, когда тень была равна величине предмета. Получили равнобедренный треугольник.
Имеем момент, когда длина тени предмета равна высоте этого предмета. Отсюда следует, что сейчас высота пирамиды равна длине её тени.
Измеряем тень (отрезок IC на рис.) и получаем высоту пирамиды.
Подобие треугольников явно не использовалось. Сделаем параллельный перенос отрезка AB, так что B=I. Очевидно, что треугольники CED и BAC подобны. Поэтому и были сделаны выводы о высоте пирамиды выше.
Фалес опирался на подобие треугольников.
Вставив некоторый предмет перпендикулярно земле (скорее всего посох или что-то в этом роде), он выждал момент, когда тень была равна величине предмета. Получили равнобедренный треугольник.
Имеем момент, когда длина тени предмета равна высоте этого предмета. Отсюда следует, что сейчас высота пирамиды равна длине её тени.
Измеряем тень (отрезок IC на рис.) и получаем высоту пирамиды.
Подобие треугольников явно не использовалось. Сделаем параллельный перенос отрезка AB, так что B=I. Очевидно, что треугольники CED и BAC подобны. Поэтому и были сделаны выводы о высоте пирамиды выше.
Задача дня
Сложность — ⭐️
Четверо детей сказали друг о друге так.
Маша: Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша.
Саша: Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша.
Наташа: Маша и Саша солгали.
Гриша: Маша, Саша и Наташа сказали правду.
Сколько детей на самом деле сказали правду?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Московская устная олимпиада для 6-7 классов
Сложность — ⭐️
Четверо детей сказали друг о друге так.
Маша: Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша.
Саша: Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша.
Наташа: Маша и Саша солгали.
Гриша: Маша, Саша и Наташа сказали правду.
Сколько детей на самом деле сказали правду?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Московская устная олимпиада для 6-7 классов
Метрические_соотношение_в_треугольнике.pdf
648.6 KB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.5: Метрические соотношения в треугольнике
Одна из самых основополагающих теорем Евклидовой геометрии — теорема Пифагора.
Приведено два доказательства (хотя их весьма и весьма много).
Рассмотренны некоторые неравенства, связанные с прямоугольным треугольником.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.5: Метрические соотношения в треугольнике
Одна из самых основополагающих теорем Евклидовой геометрии — теорема Пифагора.
Приведено два доказательства (хотя их весьма и весьма много).
Рассмотренны некоторые неравенства, связанные с прямоугольным треугольником.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Олимпиада. Турнир городов.
Сложность — ⭐️⭐️
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Олимпиада. Турнир городов.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в три раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?
б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в два раза больше одного из острых углов.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Олимпиада, Турнир городов.
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в три раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?
б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в два раза больше одного из острых углов.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Олимпиада, Турнир городов.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D и C проведена окружность, пересекающая сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Система задач по геометрии Р. К. Гордина.
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D и C проведена окружность, пересекающая сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Система задач по геометрии Р. К. Гордина.
👍1
Применение теоремы Пифагора №1.pdf
777.2 KB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.6: Параллелограмм и его площадь
В данном уроке будут рассмотрены такие понятия как: перпендикуляр, наклонная, проекция, их взаимное отношение, неравенство треугольника, понятие биссектриссы фигуры и т. д.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.6: Параллелограмм и его площадь
В данном уроке будут рассмотрены такие понятия как: перпендикуляр, наклонная, проекция, их взаимное отношение, неравенство треугольника, понятие биссектриссы фигуры и т. д.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок МЦНМО.
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок МЦНМО.
👍2
Применение теоремы Пифагора №2.pdf
1.1 MB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.7: Применения теоремы Пифагора № 2
В этом уроке вы узнаете, что теорема Пифагора позволяет решить две важные задачи:
1) зная стороны треугольника найти его высоты;
2) выразить площадь треугольника через его стороны (формула Герона).
Узнаете об объеме призмы и некоторых других сведениях об элементам треугольника.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.7: Применения теоремы Пифагора № 2
В этом уроке вы узнаете, что теорема Пифагора позволяет решить две важные задачи:
1) зная стороны треугольника найти его высоты;
2) выразить площадь треугольника через его стороны (формула Герона).
Узнаете об объеме призмы и некоторых других сведениях об элементам треугольника.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Выясните какое множество точек определяется соотношениями:
1) |x| = |y|;
2) x = |y|;
3) |x| + x = |y| + y;
4) x/|x| = y/|y|.
(прямоугольная декартова система координат).
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Метод координат" И. М. Гельфанд.
Сложность — ⭐️⭐️
Выясните какое множество точек определяется соотношениями:
1) |x| = |y|;
2) x = |y|;
3) |x| + x = |y| + y;
4) x/|x| = y/|y|.
(прямоугольная декартова система координат).
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Метод координат" И. М. Гельфанд.
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
Жестокий халиф завоевал страну Иванушки-дурацка, а его самого заключил в темницу. Оттуда ведет две двери: одна — в клетку с голодным тигром, а другая — на свободу. У каждой двери стоит по джинну, один из которых всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Халиф разрешил Иванушке задать ровно один вопрос одному из джиннов (по внешности джинны не отличаются), на который тот ответит "да" или "нет".
а) Сможет ли Иванушка выйти на свободу?
б) Сможет ли он выйти на свободу, если один из джиннов уйдет курить кальян?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок ВМШ 57 школы.
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
Жестокий халиф завоевал страну Иванушки-дурацка, а его самого заключил в темницу. Оттуда ведет две двери: одна — в клетку с голодным тигром, а другая — на свободу. У каждой двери стоит по джинну, один из которых всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Халиф разрешил Иванушке задать ровно один вопрос одному из джиннов (по внешности джинны не отличаются), на который тот ответит "да" или "нет".
а) Сможет ли Иванушка выйти на свободу?
б) Сможет ли он выйти на свободу, если один из джиннов уйдет курить кальян?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок ВМШ 57 школы.
Синус.pdf
1 MB
Основной курс (Г8К)
Урок 1.8: Синус
И откроется же наконец тригонометрия.
В этом уроке вы познакомитесь с определением синуса угла и некоторых его свойствах.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.8: Синус
И откроется же наконец тригонометрия.
В этом уроке вы познакомитесь с определением синуса угла и некоторых его свойствах.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
🎲 Тест «Тест на знание некоторых фактов из математики»
Вы имеете возможность пройти тест на знание некоторых фактов из жизни математиков, более того, ежели вы что-то не знаете, то имеете возможность тотчас узнать.
🖊 5 вопросов · ⏱ 2 мин
Вы имеете возможность пройти тест на знание некоторых фактов из жизни математиков, более того, ежели вы что-то не знаете, то имеете возможность тотчас узнать.
🖊 5 вопросов · ⏱ 2 мин
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят.
Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело
а) девять;
б) десять
жителей Пустоземья. Объясните своё решение.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Олимпиада "Математический праздник".
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят.
Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело
а) девять;
б) десять
жителей Пустоземья. Объясните своё решение.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Олимпиада "Математический праздник".
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Всероссийская олимпиада по математике.
Сложность — ⭐️⭐️⭐️
На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: Всероссийская олимпиада по математике.